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环形跑道

知识框架
本讲中的行程问题是特殊场地行程问 题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决
多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是 否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合
理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：
路程和=相遇时间×速度和
路程差=追及时间×速度差
二、解环形跑道问题的一般方法：
环形跑道问题，从同 一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，
则每追上一圈相遇一次．这个 等量关系往往成为我们解决问题的关键。


同一出发点
同向：路程差
相对(反向)：路程和



直径两端
环线型
nS
nS
nS
+0.5
S
nS-
0.5
S
例题精讲
【例 1】两辆电动小汽车在周长为3 60米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分
别从相距90米的A，B两点相背 而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点
时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时 甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与
乙车相遇？

【题型】解答 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】 右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所 以
甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180－90＝90（米）．甲从A到C用了
180÷20＝9（分），所以乙每分行驶90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A ，B
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 1 of 20

出发相向而行相遇需要90÷（20＋10）＝3（分）．
【答案】3分

【巩固】 周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B 两点．甲、乙两人分别从A，B两点同时相背
而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时 ，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑
的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少 米?

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程； 而当甲跑了400米时，乙
跑了2BC的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的 时间是甲再次到达A
点所需时间的
11
.即AC=×400=200(米)，也就是甲 跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速
22
度是乙速度的2倍．那么甲到达A，乙到达 B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，
所以此后甲还需跑300÷(2-1) ×2=600米，加上开始跑的l圈400米．所以甲从出发到甲追上乙
时，共跑了600+400=1 000米．
【答案】1000米


【例 2】甲、乙两车同时从同一点
A
出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶
65千米，乙车 每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上
一车，则甲车立刻调头 ，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米？
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 首先是一个相遇过程，相遇 时间：
6(6555)0.05
小时，相遇地点距离
A
点：
5 50.052.75
千
米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：
6(65 55)0.6
小时，乙车在此过程中走的路
程：
550.633
千米 ，即5圈余3千米，那么这时距离
A
点
32.750.25
千米．甲车调 头后又
成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离
A
点
0.252.7 53
千米，而第4次相遇时两车又
重新回到了
A
点，并且行驶的方向与开始 相同．所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在
A
点，
又
1133
【答案】3000米

【巩固】 二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4 分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同
向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时 二人都要击掌。问第十五次击掌
时，甲走多长时间乙走多少路程？
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2
，所以第 11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离
A
点是3000米．

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】 1428
【答案】1428


【题型】解答
【例 3】下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别 从两
个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才< br>能看到乙？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300 米长，当甲追上乙一条
边（300米）需300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了90×15 ÷300＝4．5（条）边，甲、乙
不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走0．5条边就可以看到乙了， 即甲走5条边后可看到乙，
共需 300×5÷90＝16
【答案】16分40秒

【巩固】 如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒 钟
行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?
2
（分钟0，即16分40秒．
3

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】
【题型】解答

开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米．
甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时 甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．
甲、乙的位置如右图所示：
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 3 of 20

显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面
的那条边之前到达上 面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为
2÷3=
【答案】16< br>
【例 4】如图，长方形
ABCD
中
AB
∶
BC< br>=5∶4。位于
A
点的第一只蚂蚁按
A
→
B
→
C
→
D
→
A
的方向，位于
C
点的第二只蚂蚁按< br>C
→
B
→
A
→
D
→
C
的方 向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两只蚂蚁第
一次在
B
点相遇，则两只蚂蚁 第二次相遇在( )边上。
222
秒．所以经过16+=16秒后甲第一次看见乙.
333
2
秒
3

(
A
)
AB
(
B
)
BC
(
C
)
CD

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【关键词】2006年，第十一届，华杯赛，初赛
【解析】 如图，长方形
ABCD
中
AB
∶
BC
= 5∶4。将
AB
，
CD
边各5等分，
BC
，
DA< br>边各4等分。设每份长度为
【题型】解答
a
。由于两只蚂蚁第一次在B
点相遇，所以第一只蚂蚁走5
a
，第二只蚂蚁走4
a
，接下来 ，第一只
蚂蚁由
B
走到
E
点时，第二只蚂蚁由
B
走 到
F
点，再接下来，当第一只蚂蚁由走到
G
点时，第二
只蚂蚁由F
也走到
G
，这时，两只蚂蚁第二次相遇在
DA
边上。

【答案】DA边上

【巩固】 甲、乙两人从周长为1600米的正方形 水池ABCD相对的两个顶点A，C同时出发绕池边沿
A→B→C→D→A的方向行走。甲每分行50米 ，乙每分行46米，甲、乙第一次在同一边上行走，
是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走 了多少分？
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】 第
104
分；
【题型】解答
8
分。甲追上乙一条边长，即追上400米需
23
400÷（50－46）＝ 100（分），此时甲走了50×100＝5000（米），位于一条边的中点，与
乙相距400米（见右图）。甲再走200米到达前面的顶点还需4分。这4分乙走了184米，距下< br> 五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 4 of 20

< br>一个顶点还差16米。所以甲、乙第一次在同一边上行走，发生在出发后第100＋4＝104（分），< br>第一次在同一边上行走了
1646
8
（分）。
23

【答案】

【例 5】在一个周长90厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。A，B， C三个爬虫分别在这三点上，它们每
秒依次爬行10厘米、5厘米、3厘米。如果它们同时出发按顺时针 方向沿圆周爬行，那么它们第
一次到达同一位置需多长时间？
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
8
分
23
【解析】 60秒。A第一次追上B需30÷（10－5）＝6（秒），以后每隔90÷（ 10－5）＝18（秒）追上B
一次，即A，B到达同一位置的时间（单位：秒）依次是
6，24，42，60，78，…
同理，B，C到达同一位置的时间（单位：秒）依次是15，60，105，…
比较知，A，B，C第一次到达同一位置需60秒。
【答案】60秒


【巩固】 如图2，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿闹墙按 顺时
针方向运动，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，则至少经过 秒甲、乙走到正方形的
同一条边上。

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【关键词】2010年，希望杯，第八届，四年级，二试，第8题
【解析】 行程问题
由题设可知，甲走完一条边需要10秒，乙需要
【题型】填空
50
秒， 要在同一条边上，首先路程差应小于一个
3
边长．经过
50(53)25
秒后，甲、乙路程差为一个边长，此时甲在
CD
边的中点，而乙在
AD
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边的 中点．因此需要再经过5秒后，甲到达
D
点，甲、乙才走到同一条边上．综上，至少需要
30秒．
【答案】至少需要30秒

【例 6】如图所示，大圈是400米跑道 ，由
A
到
B
的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从
A

点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到
B
点便 沿直线跑。父亲每100
米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第 几圈时，第一次与父
亲相遇？
A
B

【题型】解答 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】 首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由
A
沿逆时针方向到
B这一段跑道上相遇．而且儿子比父
亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲．儿子跑一圈所 用的时间是
19(400100)76
（秒），也就是说，儿子每过76秒到达
A
点一次．同样道理，父亲每过50秒到达
A
点一次．在
从
A
到
B
逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑
19(200100)38
（秒），父亲要跑
．因此，只要在父亲到达
A
点后的2秒之内，儿子也到达
A
点，儿子就
20(200100)40
（秒）
能从后面追上父亲．于是 ，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈
数），它比50的一个整数倍大， 但至多大2．换句话说，要找76的一个倍数，它除以50的余数
在0到2之间．这试一下就可以了：< br>7650
余26，
76250
余2，正合我们的要求．因此，在
父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈．
【答案】第3圈

【巩固】 如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重 ．甲以每秒
6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从 两跑
道的交点
A
处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?
甲乙
A
乙
甲
乙
B
甲
甲乙
A

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
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【题型】解答
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【解析】 根据题意可知，甲、乙只可 能在
AB
右侧的半跑道上相遇．易知小跑道上
AB
左侧的路程为100
米,右侧的路程为200米,大跑道上
AB
的左、右两侧的路程均是200米．我们将甲、乙 的行程状
况分析清楚．当甲第一次到达
B
点时,乙还没有到达
B
点, 所以第一次相遇一定在逆时针的
BA
某
处．而当乙第一次到达
B
点时 ，所需时间为
200450
秒,此时甲跑了
650300
米,在离< br>B
点
300200100
米处．乙跑出小跑道到达
A
点需 要
100425
秒,则甲又跑了
625150
米,在
A点左边
(100150)20050
米处．所以当甲再次到达
B
处 时,乙还未到
B
处,那么甲必定能在
B
点右边某处与乙第二次相遇．从乙再次 到达
A
处开始计算,还需
(40050)(64)35
秒,甲、乙< br>第二次相遇,此时甲共跑了
502535110
秒．所以，从开始到甲、乙第二次 相遇甲共跑了
6110660
米．
【答案】
660
米

【例 7】三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从
A
、
B
两地按箭
头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8 ”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道
作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为 每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、
乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?
A
1
23
B

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 根据题意，甲爬虫爬完半圈 需要
2102205.25
分钟，乙爬虫爬完半圈需要
2102157< br>分
钟．由于甲第一次爬到1、2之间要
5.25
分钟，第一次爬到2、3之间要
10.5
分钟，乙第一次爬到
2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形 跑道的上半圈处．
由于甲第一次爬到2、3之间要
10.5
分钟，第二次爬到1、2 之间要
15.75
分钟，乙第一次爬到1、
2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点 在2号环形跑道的下半圈处．
当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了
201428 0
米，
210221028035
(米)，所以
甲在距1、2交点3 5米处，乙在1、2交点上，还需要
35(2015)1
(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了
14115
分钟．
所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了
2015300
厘米．
【答案】
300
厘米

【巩固】 一个圆周长90厘米，3个点把 这个圆周分成三等分，3只爬虫
A
，
B
，
C
分别在这3个点 上．它
们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行．
A
的速度是10厘米秒，
B
的速度是5厘米秒，
C
的速度是3厘米秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一 位置？
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 7 of 20

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 先考虑
B
与
C
这两只爬虫，什么时候能 到达同一位置．开始时，它们相差30厘米，每秒钟
B
能
追上
C
(5 -3)厘米．
30(53)15
(秒)．因此15秒后
B
与
C
到达同一位置．以后再要到达同一
位置，
B
要追上
C
一圈， 也就是追上90厘米，需要
90(53)45
(秒)．
B
与
C
到达同一位置，
出发后的秒数是15，60，105，150，195，……再看看
A
与
B
什么时候到达同一位置．第一次是
出发后
30(105) 6
(秒)，以后再要到达同一位置是
A
追上
B
一圈．需要
9 0(105)18
(秒)，
A
与
B
到达同一位置，出发后的秒 数是 6，24，42，60，78，96，…对照两行列出的秒数，就
知道出发后60秒3只爬虫到达 同一位置．
【答案】60秒

【例 8】下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆 直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点
出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个 圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲
虫首次相距最远？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两 端，所以当一只甲虫在
A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，

所以在小圆甲 虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋
48(m＋
1
圈；于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲 虫跑了
2
1
)＝48m＋24。因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同， 所以30n＝48m＋24；
2
即5n＝8m＋4，有不定方城知识，解出有n＝4，m＝2， 所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最
远。
【答案】2圈

【巩固】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲的速度为每秒6米，
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 8 of 20

乙的 速度为每秒4米。甲、乙二人同时由
A
点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、
乙 可能相遇的位置距离
A
点的路程是多少？(路程按甲跑的计算)
甲
的
方
向
甲
的
方
向
乙
的
方
向

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆 环跑一周需要100秒，
乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在
A
点；而以后在小圆周上肯定
还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以 乙为中心，可以看出，每次
乙回到
A
点，如果甲也在
A
点，则两人在
A
点相遇；如果甲不在
A
点，则此时甲相当于顺时针跑，
乙则逆时针 跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇．
设乙第
m
次回到
A
点的时间为
t
秒，则
t100m
，此时甲跑了
6100m60 0m
米．而甲一个周期
为
6004001000
米，因此，
t< br>时刻甲跑了
而
600m
个周期．
1000
600m3m
3m

3m





5

，其中整数部分表示甲回到
A
点，小数部分表示甲又从
A点跑了一
10005

5


3m
< br>部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是

1000
米．由此 ，我们可以算出甲

5

的位置：

3m

小数部分表示的路程
甲、乙相距的路程
甲、乙相遇还需的时间
甲、乙相遇的位置

5k

0
0
0
0
5k1

200
800
80
80
5k2

400
600
60
160
5k3

600
400
40
240
5k4

800
200
20
320
< br>3m

以其中的第三列
(5k1)
为例进行说明：这一列表示
3m5k1
，于是

1000200
，这表明

5

甲回到
A
点后又跑了200米，此时乙在
A
点处，甲 要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两
人相距
1000200800
米，所 以需要的时间为
800(46)80
秒，在80秒内乙跑了
480320< br> 五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 9 of 20

< br>米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为
40032080
米，这就是此时相 遇点与
A
点的距
离．其它情况同理可得．
所以甲、乙可能相遇的位置在距离
A
点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米．
【答案】甲、乙可 能相遇的位置在距离
A
点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米

【例 9】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后
甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求
甲原来的速度。
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑
一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的
1
路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V =
7
米秒
3
1
【答案】
7
米秒
3

【巩固】 环 形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米，乙每分跑
100 米，两人都是每跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分？
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 55分。解：甲比乙多跑5 00米，应比乙多休息2次，即2分。在甲多休息的2分内，乙又跑了
200米，所以在与甲跑步的相同 时间里，甲比乙多跑500＋200＝700（米），甲跑步的时间为700
÷（120－100）＝3 5（分）。共跑了120×35＝4200（米），中间休息了4200÷200－1＝ 20（次），
即20分。所以甲第一次追上乙需35＋20＝55（分）。
【答案】55分

【例 10】如图所示，甲、乙两人从长为
400
米的圆形跑道的
A
点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）
道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正 常的跑道上甲、乙速度均为每秒
8
米，而在泥泞
道路上两人的速度均为每秒
4
米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距
A
点还
有 米。
A

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 10 of 20

着 圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间
也就相同， 所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到
A
点，即两人在
A
点迎面相遇，然后 再从
A
点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．
在第 一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人
第一次迎面相 遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相
遇，再回到出发点是第 四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是
本题要求的是第99次迎面相遇 的地点与
A
点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与
A
点
A
点．
的距离．
对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快 ，所以甲从出发到
跑完正常道路时，乙才跑了
20084100
米，此时两人相 距100米，且之间全是泥泞道路，此
时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时 乙跑了
10050150
米，这就
是第一次相遇点与
A
点的距离 ，也是第99次迎面相遇的地点与
A
点的距离．
【答案】
150
米

【巩固】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反 方向跑，每人
跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23. 甲跑第
二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第< br>二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度 为4，乙跑第二圈的速
度为
12
.如下图：
5

2
3
第一次相遇地点逆时针方向距出发点的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了的跑道长度.
3
5
12
11
在乙接下来跑了跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了
24
圈．所以还剩下的跑道长
33
33
度，甲以4的速度，乙以112

12


112
的速度相对而跑，所以乙跑 了




4



圈.也就 是第二
3

5

5


85
31 19
1
次相遇点逆时针方向距出发点圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差
圈，所以，
5840
8
这条椭圆形跑道的长度为
190

19
400
米．
40
Page 11 of 20 五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版

【答案】
400
米

【例 11】如图3-5,正方形ABCD是 一条环形公路．已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120
千米，在CD上的时速是6 0千米,在DA上的时速是80千米．从CD上一点P,同时反向各发出一辆
汽车,它们将在AB中点相 遇．如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点
N相遇．问A至N的距离除以 N至B的距离所得到的商是多少?


【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”.

有甲从P到达AB中点O所需时间为
PDDAAOPD10.5
.

6
乙从P到达AB中点O所需时间为
PCBCBOPD10.5
.

60
有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有：
PD1PC1
=

608060120
且有PD=DC- PC=1-PC,代入有
所以PM=MC=
1PC1PC1
5
,解得PC=.

608060120
8
5
3
,DP=.
16
8
现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为
x
.
35

x
MDDAAN
816
1

； 有甲从M到达N点所需时间为

608090
608090
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 12 of 20

5
11x
MCCBBN
16

乙从M到达N点所需时间为. < br>
6012090
6012090
355

1x11x< br>11

16

有
816

，解得
x
.即AN=.
6
3232
所以AN÷BN

【答案】

1311


323231
1

31
【巩固】 一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2 周．现有自行车
2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑 ．已知
甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时< br>20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只 需时间
1
；乙、丙情
20
况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行 较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比
为：

11

11< br>



:



3:4


520

420

而他们需同时出发， 同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，
即为4:3；因为丙的情 形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．
因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．
于是，甲步行的距离为2×
所以甲需要时间为(
4
=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；
433
0.83.2
)×60=19.2分钟

520
环形两周的最短时间为19.2分钟．
参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；
乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ；
丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 13 of 20

【答案】19.2分钟


课堂检测
【随练1】下图是一个玩具火车轨道，
A
点有个变轨开关，可以连接
B
或者
C
. 小圈轨道的周长是1.5 米，
大圈轨道的周长是3 米. 开始时，
A
连接
C
，火车从
A
点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，
同时变轨开关每隔1 分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟10 米，则火车第10 次回
到
A
点时用了 秒钟.
A
B
C

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【关键词】第十五届，华杯赛，初赛
【解析】 126秒
根据题意，
AC
段连在一起为第0分钟、2分钟、4分钟、6分钟…
【题型】填空
AB
段连在一起为第1分钟、3分钟、5分钟、7分钟…
第1分钟，
AC
连在一起，火车走了10米，走了3圈，还多1米；
此时< br>AB
段连在一起，也就是说当火车第4次回到
A
点时，走了4个3米，共12米 ；
火车两分钟可以走20米，所以在第二分钟又重新连回
AB
前，火车沿着小圈走了 8米，而8=5×
1.5+0.5，也就是说火车第9次回到
A
点还多走了0.5米， 当火车第10次回到
A
点时，火车共走
了12米，加上6个小圈，共21米。火车速度 为10米分，所以火车回到
A
点用了21÷10=2.1
分钟，合计126秒。
【答案】126秒

【随练2】如图所示，甲沿长为
400
米大圆 的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动
路线的次序：
1234 1
）。如果甲、乙两人同时从
A
点出发，且甲、乙二人的速度分
别是每秒3 米和5米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 14 of 20

A
14
3
B
2

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 从图中可以看出，甲、乙两 人只有可能在
A
、
B
两点处相遇（本题中，虽然在
B
处时两 人都是顺
时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）．
从
A
到
B
，在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是20 0米．两人
的速度之比为
3:5
，那么两人跑200米所用的时间之比为
5: 3
．设甲跑200米所用的时间为5个
时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位． 根据题意可知，1个时间单位为
20035
40
秒．
3
可以 看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在
A
点或
B
点， 而且是奇数倍
时在
B
点，是偶数倍时在
A
点；乙跑的时间是3个时间 单位的整数倍时，乙才可能在
A
点或
B
点，
同样地，是奇数倍时在< br>B
点，是偶数倍时在
A
点．
要使甲、乙在
A
、B
两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5
的奇偶性相同 ，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单
位、30个时间单位 、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是
说，出发后
40
45600
秒两人第三次相遇．
3
也可以画表如下：


甲
乙
A

0
0

B

5
3
A

10
6
B

15
9
A

20
12
B

25
15
A

30
18
B

35
21
A

40
24
B

45
27
A


30
B


33
A


36
B


39
A


42
B


45
从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在
B
点，经过30个时间单位后两人同在
A
点，经过
45个时间单位后两人同 在
B
点，这是两人第三次相遇．
【答案】
600
秒


【随练3】如图，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地顺 时针方向沿长方形
ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出 发.丙由D向A
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 15 of 20

走去,8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙 追上.问三角形BEF的
面积为多少平方米?

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．
【题型】解答

先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，
乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程．
所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程．

AD 60DF
AD60AE60DF

有，有



7AEED560AE

101410


然 后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED的路程,再看丁的情况,
丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF的距离．
有
EDDF
，即5ED＝2DF．

410

A DAEED60DF

AE87


联立
7

AEED

5

60AE

，解得

ED18


DF45

5ED 2DF


于是,得到如下的位置关系：

S
BEF< br>S
四边形ABCD
S
ABE
S
EDF
S
FCB
111
60(87+18)6087184515( 87+18)

222
=2497.5
【答案】
2497.5




五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 16 of 20

家庭作业

【作业1】在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到
达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）
从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以
甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.
【答案】30分

【作业2】甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速
度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 30分钟乙落后甲（5.4 －4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因
为乙和丙从出发到相 遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）。
【答案】4.2千米

【作业3】下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行7 5米，乙顺时
针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次 相遇？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】 两人第一次相遇需
360(7545)3
分，其间 乙走了
453135
（米）．由此知，乙没走135米
两人相遇一次，依次可推出 第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）
【答案】第7次

【 作业4】如图是一个跑道的示意图，沿
ACBEA
走一圈是
400
米，沿ACBDA
走一圈是
275
米，其中
A
到
B

的直线距离是
75
米．甲、乙二人同时从
A
点出发练习长跑，甲沿< br>ACBDA
的小圈跑，每
100
米用
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 17 of 20

24
秒，乙沿
A CBEA
的大圈跑，每
100
米用
21
秒，问：
⑴ 乙跑第几圈时第一次与甲相遇？
⑵ 发多长时间甲、乙再次在
A
相遇？
A
C
D
E
B

【题型】解答 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】 因为甲、乙沿不同的路线，所以并不是谁多跑一圈，就一定有一次超过．超过只可能发生在他 们
共同经过的路线上，也就是
ACB
上．
⑴甲跑半圈
ACB
用时
48
秒，乙跑半圈
ACB
用时
42
秒．也就是说如果 某次乙经过
A
点的时间比
甲晚不超过
6
秒，他就能在这半圈上追上甲 ．
甲跑一圈用的时间为
2751002466
秒，乙跑一圈用的时间为
4001002184
秒，下面看甲、
乙经过
A
点的时间序列表（单 位：秒）
甲 0 66
2
乙 0 84
8
16
2
13
8
25
6
19
4
33
26
0

33
可以看出336秒与330秒恰好差6秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相遇．
⑵要在
A
点相遇，两人跑的必须都是整数圈，甲跑一圈用
66
秒，乙跑一圈用
84
秒，它们的最小
公倍数为

66,84

9 24
．因此
924
秒即
15
分
24
秒后，甲、乙第 一次同时回到
A
点．
【答案】⑴第五圈 ⑵
15
分
24
秒

【作业5】有一种机器人玩具装置，配 备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300
厘米，且有200厘米的公用跑道 (如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑
道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒 4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器
人同时从
A
点出发，那么当两个机 器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点
A
点
多少厘米?
A
200100
200

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版
【题型】解答
Page 18 of 20

【解析】 第一次在
B
1
点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米(见左下图)；
A200100
200
A
200100
B
1
200
B
2
B
1

第二次在
B
2
点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米(见右上图)；
同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米．

那么到第三次相遇时两者共 跑了
4007007001800
厘米，共用时间
1800(64)18 0
（秒），
甲跑了
61801080
（厘米），距
A
点
40031080120
（厘米）．
【答案】
120
厘米

【作业6】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的
2.5
倍，当乙
第一次追上甲时，甲的速度立即提高
25%
，而乙的 速度立即减少
20%
，并且乙第一次追上甲的
地点与第二次追上甲的地点相距100米 ，那么这条环形跑道的周长是 米．
A
C
B

【题型】解答 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从
A
点 同时出发，按逆时针方
向跑．由于出发时两者的速度比为
2:5
，乙追上甲要比甲多跑 1圈，所以此时甲跑了
2
5
1(52)2
，乙跑了；此时双方速度发 生变化，甲的速度变为
2(125%)2.5
，乙的速
3
3
度 变为
5(120%)4
，此时两者的速度比为
2.5:45:8
；乙 要再追上甲一次，又要比甲多跑1
圈，则此次甲跑了
1(85)5
5
5
，这个就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从
3
3
52
环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是
1
个周长，又可
33
51
能是
2
个周长．
33
那么，这条环 形跑道的周长可能为
100
【答案】
300
米
五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 19 of 20
21
150
米或
100300
米．
33

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版Page 20 of 20