潮流语录-科技发展的好处

§3.2.2函数模型的应用实例（第二课时）教学设计

一、 教学内容解析
1、本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），
3.2.2 函数模型的应用实例.（第二课时），属于“事实性知识”。
2、“函数模型的应用实例”是《函数的 应用》这一章的核心内容，又是数学与
生活实践相互衔接的枢纽。
本节课是上一节“几类不同 增长的函数模型”的延续和发展，同时又为今后的
选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺 垫。 它要求学生能够对现实
情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的 函数模
型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立
函数 模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟
合的思想在现实生活中的应 用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应
用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让 学生感受到达到目标并不是一帆风
顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队 意识。
3、本小节重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题.
（2）初步形成用函数观点处理问题的意识.
二、 教学目标设置
1、知识与技能：
（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器.
（2）能拟合函数解决实际问题.
2、过程与方法：

（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法.
（2）经历建立函数模型解决实际问 题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数
方程、待定系数等数学思想方法.
（3）通过转化 实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、
数据处理、语言转换、数学建模等数学 能力.
3、情感、态度与价值观：
（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度.
（2）通过整 个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分
组讨论、合作交流获得成功带来的快乐 .
三、 学生学情分析
1、学生具备的认知基础：①已掌握一些基本初等函数相关知识②初 步体会了建
立函数模型解决实际问题的过程③初步掌握了图形计算器和温度传感器的使用方法.
2、有待提高的实际能力：①数形转化的意识有待加强.
②从实际问题中抽象出数学问题的能力有待加强.
3、教学难点: ①数据拟合②选择模型③求解模型.
4、突破难点策略：借助图形计算器强大的拟合和解方程功能有效的进行了突破.
对例1学生 可能遇到的困难是：①不理解数据表格中销售单价与日均销售量的
函数关系；②不会用销售单价x表示日 均销售量和日均销售利润；③不能准确写出
函数的定义域.④书写不规范.不说明x的含义. 面对这些困难我将采取学生讨论、相
互评价和老师点评相结合的方式解决。
对例2学生可能遇到的困难是：①不知如何寻找温度与时间的函数关系. ②图形
计算器的使用不熟练. ③不能恰当的选择函数模型④在选择模型遇到挫折时容易灰

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心，产生放弃的念头. ④用指数模型时只从数学角度考虑却 很难想到水温不可能降到
室温以下，指数型函数图像的渐近线不是x轴.⑤当图形计算器没有所需要的函 数模
型时不会转化.面对这些困难我将采取如下策略：①独立思考②小组讨论③互帮互学
④及时 鼓励⑤合作交流⑥成果展示⑦启发诱导等方式进行。
四、教学策略分析
在设定教学目标后基于对教学内容和学生情况的分析，为解决问题采用了如下
教学策略。
1、教学理念：
①倡导积极主动、勇于探索、不怕挫折的学习精神和合作探究的学习方式
②营造一个生动和谐充满人文关怀的教学氛围
③追求信息技术与数学课程有机整合的高效课堂
2、教学方法设计
任务驱动教学法（自主探究、合作交流、分享评价）
（1）从教 与学的现实出发，为了使得使得数学建模的开放性更大些，探究性更强
些，设计了学生自主提出问题、试 验探究、分析数据、建立解决问题的基本模型的
方案.本节课的教学分两个阶段：第一阶段，是学生自己 提出课题在老师的建议下实
验采集数据；第二阶段是这45分钟的课堂教学.“课标”要求我们教师对待 教材，不
单单是课程的消费者和执行者，而应该是课程的策划者和设计者，是“用”教材，
而不 是“教”教材.我对教材例题进行了精心改造，把例1中原来的泛指桶装水变成
了具体的淮北一中对面的 农夫山泉桶装水，把例2中原来的身高与体重问题改成了
水温下降问题，使得教学内容更加贴近学生，更 显真实。
（2）根据教学内容的特点和对学生情况分析，从学生原有的知识基础和实际能力

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出发，以任务驱动、问题引导为主线，以学生探究为载体，利 用主动观察、思考、
动手操作、小组合作、分享评价等形式来组织教学，努力营造一个合作学习、共同< br>探究、展示成果、愉悦学习的舞台。
（3）在教学过程中对基础较弱的同学进行指导，并请组内 同学给予帮助指导。经
历了整个建模过程后，给学生当堂练习的机会，及时反馈评价。并留下新的问题课
后探究，让学生带着问题走进课堂，带着新的问题离开课堂。同时又给学有余力的
学生提供继续 学习的平台（网络资源链接）。
五、教学技术支持
1、利用温度传感器进行“数学实验”
2、利用图形计算器进行“合作探究”
3、利用实物展台进行“成果展示”

六、教学过程描述
教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图

11

温

故

知

新

导

入

新

课

上节课我们学习了应用已知函数模型解决问
题。面对没有给出模型或无法建立确定模 型的问
题该如何求解呢？
本节课让我们继续研究——函数模型的应用实例











































教学内容
1、师生共同回忆上节课学习的
实际问题的特点。 2、教师提出
问题，上节课学习了给出函数模
型来解决实际问题，然而实际生
活中还有 许多问题没有给出函
数模型，又无法建立确定性的函
数模型，我们又该如何解决实际
问 题？
3、教师点题，板书课题
以旧引新，承上
启下；创设情境，
激发兴趣 ，产生
悬念，使学生积
极思考，激发主
动探究的欲望！
并点明主题。


教学
环节
师生互动 设计意图

11

巧
设
情
境
提
出
问
题

【例1】淮北一中附近的农夫山泉桶装水经营
部每天的房 租、人员工资等固定成本为200元，
每桶水的进价是13元，销售单价与日均销售量的
关系如 下表所示：
销
售
14 15 16 17 18 19 20
单价
元
日 均
销 48444036322824
售量 0 0 0 0 0 0 0
桶
请根据以上数据作出分析，怎样定价才能获得最
大利润？










教师提出如下问题： ①复习上节课的
①观察表格数据思考销售单价解决实际问题的
与日均销售量之间有何关系？ 过程和方法，以
②销售利润有哪些因素决定？及书写的规范要
如何计算？ 求。
③根据分析独立写出本题的解②培养学生阅读
答。 理解、抽象概括、
学生在讨论的基 础上独立数据分析、语言
解答，再用实物投影仪展示两位转换等数学能力
学生的解题作品.针 对学生的解③让学生体验解
题过程进行评价，给出肯定解答决实际问题的过
的规范，书写的工整 ；或指出缺程和方法，培养
点如书写的潦草，答题的不规分析概括能力。
范，定义域漏掉等等，强调从高④培养学生优秀
一开始要养成良好的解题习惯。 的解题习惯和反
预设解法一：设每桶水定思解题过程的习
价为x元时，日均销售利润为y惯。
元. ⑤通过本例的教
因为销售单价每增加1元，日均学，使学生感知
销售量就减少40桶，则 提取 数表信息、
日均销售量＝480－40(x－14)抽象函数关系的
＝1040－40x(桶) . 思维过程，领悟
由于x＞13且1040－40x＞0， 建立函数模型解
即13＜x＜26， 决最值问题的基
所以y＝(1040－40x)(x－1 3)－本方法，渗透化
2
200＝－40x＋1560x－13720， 归转换的数学思
2
=-40(x-19.5)+1490 (13＜x＜想.
26)
易知，当x＝19.5时，y有最大
值. 故将销售单价定为19.5元，
就可获得最大的利润.
预设解法二：设每桶水在
进价基础上增加x元后，日均销
售利润为y 元.
因为销售单价每增加1元，日均
销售量就减少40桶，则日均销
售量＝480－40(x－1) ＝520－
40x(桶).
由于x＞0且520－40x＞0，即0
＜x＜13，
所以y＝(520－40x)x－200＝－
2
40x＋520x－200，0＜x＜ 13.
易知，当x＝6.5时，y有最大值.
故将销售单价定为19.5元，就
可获得最大的利润.





11

教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图

11

< br>【问题背景】第三数学学习小组组长马雨晴看到
《淮北日报》上的医学专家提醒：人们日常饮用< br>水时既不能喝生水，也不能喝过烫的水。生水含
实 有大量的寄生虫，过烫的水不仅会损伤牙釉质 ，
还会强烈刺激咽喉、消化道和胃的粘膜，长期饮
验
用热水会导致各种器官起变化。
00
因此推荐：饮用的最佳水温为 18C—45C。
探
【问题提出】
在室温下，一杯烧开的水从初始温度开始，大约
经过多长时间可以冷却到45
0
c？
究
【数学实验】
马雨晴带领小组成员在化学实验室，室温为
呈
29.2
0
C的条件下，利用温度传感器采集了1—12
分钟范围内的水温数 据，具体过程见视频。采集
现
的数据如下：90.6,89,87.3,85.8,84.5,83.2,
81.9,80.7,79.6,78.5,77.5,76.5.
任
【例2】1 ～12分钟之间每隔1分钟采集一次水的
温度（单位
0
C），数据分别如下：


时
务
间
1 2 3 4 5 6
min


温

度
90.89.87.85.84.83.
0
c
6 0 3 8 5 2

时
间
7 8 9 10 11 12
min

温
度
81.80.79.78.77.76.
0
c
9 7 6 5 5 5


请根据以上数据预测，经过多长时间水温可以冷
却到45
0
C？


【步骤1】收集数据
（见上表）















1、整个实验数据的采集过程请
马雨晴给同学们作简要介绍。
（马雨晴上台介绍具体做法和
遇到的困惑）
2、【问1】仔细观察这组数据，
在观察过程中你能发现什么？
（学生回答）
3、【问2】你又能想到什么？
（学生回答.预设回答1：温度与
时间之间存在某种 函数关系。预
设回答2：温度与时间之间有某
种联系）
【对预设回答1的提问】是函数
关系吗？为什么？谁是谁的函
数？
（学生回答）
【对预设回答2的提问】
每一个时刻对应几个温度？这
种关系，我们该怎么称呼呢？
4、【问3】我们能否用确定的函
数模型来刻画他们的关系？
（学生回答）
（为了研究规律，我们能否用学
过的函数模型近似的刻画他们
之间的关系呢？这在数学上称< br>为函数的拟合。）
5【问4】我们有没有更加直观的
方法帮助我们选择熟悉的函数
模型呢？
（学生回答）

培养学生动
手操作的能力和
交流表达的能力
以及将数据转化
为图表的能力。
组织学生讨
论解决问题的方
案，培养其合 作
精神和团队意
识，以及用数学
语言交流的能
力。

< br>在学生的最
近发展区寻找突
破口，通过问题
串启发诱导，利
用所学知识 ，信
息迁移，解决新
的问题。并在解
决过程中渗透数
形结合的思想。
11

教学
环节



合
作
交
流
探
究
新
教学内容
【步骤2】画散点图
师生互动
1、 师生共同利用图形计算器
画出散点图.
2【问1】观察散点分布特点，与
学过的常见 函数图像对比，说明
应该选择怎样的函数模型？
（学生各自交流看法）
3、师生合作挨个求解模型并验
证。
（1）【问2】先从直线开始尝试，
思考：如何求出直线方程？
（学生回答）
（2）【问3】为了减少误差，我
们想选择一条离点最近的直线，
又该如何解决？
（学生回答）
教师带着学生一起用图形计算
器的拟合功能，求出直线方程。
（师生合作）
（介绍这个原理将在选修中学
习）
以4人为一组，组内自由分工合
作，分别选择二次型和指数型拟
合。（生生合作）
（在大家做好好，请一小组上台
演示）
5、每组4位同学把图形计算器
拟合 出的指数型和二次型函数
图形放一起，并与黑板上的直线
型比较，看一下哪种拟合的效果
更好？（学生讨论，生生合作）



设计意图
引导学生利< br>用图形计算器，
小组合作，主动
探索索、不断交
流尝试，比较可
能的函 数模型优
劣，进而选择初
步最佳的函数模
型，在实际问题
的检验中不断修正，最终确定函
数模型。在整个
探索过程中充分
感受函数拟合的
思想，并 总结出
函数建模的基本
步骤。体验解决
问题带来的喜
悦。①培养学生
团结合作的精神
②体验到图形计
算器给研究数学
带来的便捷。






【步骤3】分别求解可能的函数模型



知















【步骤4】比较各模型拟合的优劣，初步确定函
数模型。
结果：经过比较初步确定选用二次函数模型
y=ax
2
+bx+c 来拟合,
其中a=0.0343906,b=-1.7194555,c=92.2386363






教学内容
教学
环节
师生互动 设计意图

11

合
作
交
流
探
究
新
知
【步骤5】在实际问题中检验模型。
【问题】一杯烧开的水从初始 温度（92.9
0
C）开
始，经过多长时间水温可以降到45
0
C？






【步骤6】返回重新选择模型，最终确定。
结果：最终一致选择y=ae
bx
+c 其中
a=62.4374282，b=-0.0,236356，c=29.2










【步骤7】利用选择好的模型解决实际问题。
求解方程ae
bx
=45-29.2，解得x≈59
结论：水温从初始温度降到45摄氏度大约需要59
分钟。




【总结】自己建立模型解决实际问题的基本过程：

收集数据
画散点图
选择函数模型



No

求函数模型
用函数
Yes
检验
释实际
问 题
模型解
4、利用图形计算器的解方程功
能，求y=45时对应的x值.结果
发现方程无实数根.
师生共同讨论，发现二次函数最
小值远比45大，故不可能有实
数解。不得不重新选择，绝大多
数比较后选择y=ae
bx
进行拟合。
教师 提问：是否都同意这个看
法？激发学生思考。预设1：学
生发现问题，并提出方案。让其
说明理由并上台演示。预设2：
学生没有发现。教师可通过问题
串启发：水温可以降到室温以 下
吗？渐近线可以是x轴吗？应该
是什么？应该如何改进？让学
生自己提出：y=ae
bx
+c这个模
型。再让学生操作。求出了
a=62.4374282，b =-0.0,236356，
c=29.2
5、学生利用图形计算器的解方
程功能求解实际问题.
6、解题反思
【问 】反思整个解题过程，我们
分别用一次型、指数型、二次型
进行了拟合。至于有人提出对数型，到底行不行大家课后思考下
节课告诉大家答案。还有困惑
吗？
【预设】学生 可能提出分段函数
拟合【预设回答】想法非常好！
不过使用分段函数要想拟合的
更好就 得搜集大量数据，我想请
大家回去后仍然以4人为小组做
实验多搜集些数据，进行拟合，
下节课上台展示。
【师】谁能给大家总结一下函数
拟合解决实际问题的基本过程。
【生】口述



通过学生主动参
与问题解决的过
程，在不断反思
中提出新的问
题，又解决了新
出现的问题，激
发学生的创新 精
神和实践能力。









培养学生对问题
进行反思总结的
习惯，并渗透算
法思想。




教学
环节


教学内容 师生互动 设计意图

11

实

践

应

用


感

悟

新

知

交
流
评
价
分
享
成
功

某地区今年1月、2月、3月，患某种 传染病的人
数分别为52,61,68，为了预测以后各月的患病人
数，甲选择了模型
yax
2
bxc
x
乙选择了模型
ypq
（其中y是患病人数，x为月份数。a,b,c,p,q都是
常数)，结果4月，5月，6月份的患病 人数分别
为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？
学生利用图形计算器
独立完成， 上台展示
让学生通过刚才
学得得解决问题
的方法，来独立
处理 这个他们感
兴趣的话题，极
大地增强了挑战
的欲望，和探索
的激情，并极大< br>地提高了他们的
自信心，充分的
感受到问题解决
所带来的成功的
喜悦。
【师】这节课你学到了什么？印象最深的是什
么？还有一些什么想法？
教师总结：数学来源于生活，又服务于生活。我
学生总结
们不但要在生活中学习，更要在学习中生活。让
我们一起共勉：“Try it again and again , until you
succeed!”
启发学生对本节
课学习的内容进
行总结，提醒学
生重视研究问题
的方法和过程.
培养学生归纳总
结的能力，和用
数学语言交流的
能力

学
以
致
用
课
后
延
伸
1、必做作业：P106练习第2题、 P107A组—1、2
2、选做作业：P107B组—1
3、研究课题：英国物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在 常温下温度变化的冷却
作业是学生信息
的反馈，能在作业
模型。若物体的初始温度是

1
，环境温度是

0
，则经过时间t后物体的温度


中发现和弥补教
kt

将满足




0



(


1





0

)



e
，其中k为正的常数。请设计一个方案，对牛顿
学中的不足，同时
的冷却模型进行验证。然后探究应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
注重个体差异，因

材施教。让学生带

着问题走进课堂，

再带着问题离开

课堂。




11

提
供
资
源
为
您
服
务

网络资源：
1、构造函数模型,解生活中的实际问题：
2、函数拟合 ：
给学生在课外自

主学习提供一个

舞台，使每个学生
都能最大的发展。
板书
附后
设计

（附）板书设计

一、函数拟合的基本过程














电脑投影屏幕
板书设清楚整洁,
便于突出知识目
标
§3.2.2函数模型的应用实例



（附）安徽省淮北市第一中学数学建模实验报告

11

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