小学五年级数学奥林匹克竞赛题(含答案)
后母的三巴掌-无尽的平安夜
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小学五年级数学奥林匹克竞赛题（含答案）
一、 小数的巧算
（一）填空题
1. 计算 1.996+19.97+199.8=_____。
答案：221.766。
解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2)
=222-(0.004+0.03+0.2)
=221.766。
2. 计算
1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=
_____。
答案：103.25。
解析：原式=1.1
(1+3+…
+9)+1.01
(11+13+…+19)
=1.1
25+1.01
75
=103.25。
3. 计算
答案：46.8。
解析：4.68×（2.89+6.11+1）=46.8
4. 计算 17.48
37-17.48
19+17.48
82=_____。
答案：1748。
解析: 原式=17.48×37-17.48×19+17.48×82
=17.48×(37-19+82)
=17.48×100
=1748。
5. 计算
答案：1。
解析：原式=(
=1
1
=1。
6. 计算 75
4.7+15.9
25=_____。
答案：750。
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原式=75
4.7+5.3
(3
25)
=75
(4.7+5.3)
=75
10
=750。
7. 计算 28.67
67+
答案：2867。
原式=28.67
67+32
28
.67+28.67
(20
0.05)
=28.67
(67+32+1)
=28.67
100
=2867。
（二）解答题
8. 计算
答案：原式=
=
=
=172.4
(6.2+3.8)+380
=172.4
10+380
=1724+380
=2104。
9.
。
答案：181是三位,11是两位,相乘后18
1
11=1991是四位,三位加两位是五位,
因此1991前面还要添一个0,又
963+1028=1991,所以
0.
00…0181
0.00…011=0.00…01991
963个0 1028个0 1992个0 。
10.计算 12.34+23.4
5+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.23。
答案：9个加数中,十位、个位、十分位、百分位的数都是1~9，所以，
原式=11.11
(1+2+…+9)
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=11.11
45
=499.95 。
二、数的整除性
（一）填空题
1.
四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
答案：7。
解析：已知四位数3A
A1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9
的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用
试验法试之。
设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=
7,符合题意。事实
上,3771
9=419。
2.
在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填
_____。
答案：1。
解析：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这
个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等
于
12,□内应填12-2-9=1。
3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。
答案：990。
解析：要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0。要能被3整除,
又要
是最大的三位数,这个数是990。
4.
能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
答案：99960。
解析：解法一:
能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999
□0,可知方框内应填6。所以
,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960。
解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公
倍数是70,而能被70整除的最小六位
是100030。它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,
5,7整除的最大五位数是
100030-70=99960。
5.
1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。
答案：3367。
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解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能
被3整除的数的和,
以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。
(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）
=(1+100)
2
100-(3+99)
2
33
=5050-1683
=3367 。
6.
所有能被3整除的两位数的和是______。
答案：1665。
解析：能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位
数如下:
12,15,18,21,…，96，99
这一列数共30个数，其和为
12+15+18+…+96+99
=(12+99)
30
2
=1665 。
7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____。
答案：96910或46915。
解析：五位数
A691B
能被55整除,
即此五位数既能被5整除,又能被11整除。所
以B=0或5。当B=0时,
A6910
能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整
除,因此A=9；当B=5时,
同样可求出A=4。所以,所求的五位数是96910或46915。
（二）解答题
8.
173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,
所得到的3个四位数,依次
可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
数字的和是多少？
答案：∵能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，
1+7+3+□=11+□
∴□内只能填7。
∵能被11整除的四位数的个位与百位
的数字和减去十位与千位的数字和
所得的差能被11整除。
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∴ (7+□)-(1+3)=3+□ 能被11整除, ∴□内只能填8。
∵能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除,
而1+7+3+□=11+□,
∴□内只能填4。
所以,所填三个数字之和是7+8+4=19。
9．在1992后面补
上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11
整除，这个七位数最小值是多少？ <
br>解析：设补上的三个数字组成三位数
abc
,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0
；
由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a
+b能
被3整除；由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-
1能被
11整除；由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=1。
所以这个最小七位数是1992210。
[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能
被2,3,5,11整除的条件,这个
七位数必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的
最小公倍数是
2
3
5
11=330。这样,
30=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)
倍的数,即
1992000+(330-120)=1992210。
10．在“改革”村的黑市上,
人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3
张其他票券,也可以反过来交换。试问,合作社成员
瓦夏能否将100张黄油票换成
100肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？
答案：不可能。
由于瓦夏原有100张票,最后还有100张票,所以他作了多少次“两换三
”,
那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了2k+3k=5k张票,而1991不是
5的倍数。
三 质数与合数
（一）填空题
1. 在一位的自然数中，既是奇数
又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的
有_____；既是偶数又是质数的有_____。
答案：9，1，2。
解析：在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9。
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在一位自然数中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，
所以既不是合
数又不是质数的为1。
在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为2。
2.
最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____。
答案：202。
解析：最小的质数
是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2
101=202。
3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____。
答案：420。
解析：首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,
这是两个
连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是
20
21=42
0。
4. 在下式□中分别填入三个质数,使等式成立。
□+□+□=50
答案：2、5、43。
解析：接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即
2+5+43=50。
另外,还有
2+19+29=50，
2+11+37=50。
[注]填法不是唯一的，如也可以写成
41+2+7=50。
5.
三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____。
答案：11,12,13。
解析：将1716分解质因数得：
1716=2
2
3
11
13
=11
(2
2
3)
13
由此可以看出这三个数是11,12,13。
6.
找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____。
答案：88。
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解析：先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和。
1992=2
2
2
3
83
所以1992所有不同的质因数有:2,3,83。它们的和是
2+3+83=88。
7. 如果自然数有四个不同的质因数,
那么这样的自然数中最小的是_____。
答案：210。
解析：最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是
2
3
5
7=210。
(二）解答题 8．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数。已
知一个长方形
的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位。问这个长方形的
面积至多是多少个平方单位?
答案：由于长+宽是 36
2=18，
将18表示为两个质数和
18=5+13=7+11，
所以长方形的面积是
5
13=65或7
11=77，
故长方形的面积至多是77平方单位。
9.
把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。
答案：先把7
，14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,
再分摊在两组中,使两
组数乘积相等。
14=7
2
20=2
2
5
21=3
7
28=2
2
7
30=2
3
5 7
从上面五个数分解质因数来看
,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,
二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个
5,二个7。
六个数可分成如下两组(分法是唯一的):
第一组: 7、28、和30
第二组：14、21和20
且7
28
30=14
21
20=5880满足要求。
[注]解答此题的关键是审题,抓
住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”。
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实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同。
10.
学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之
间,问哪几种分法?
答案：把1430分解质因数得：
1430=2
5
11
13
根据题目的要求
,应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100
到200之间，于是得三种答案：
（1）2
5
11=110；
（2）2
5
13=130；
（3）11
13=143.
所以,有三种分法:一种是分为13队,每队
110人；二是分为11队，每队130
人；三是分为10队，每队143人。
四
约数与倍数
1．28的所有约数之和是_____。
答案：56。
解析：28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56。
2.
用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法。
答案：4。
解
析：因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别
是1
05和1,35和3,21与5,15与7。所以能拼成4种不同的长方形。
3. 一个两位数,十位
数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的
积是24.这个两位数是_____。
答案：64。
解析：因为28=2
2
7,所以28的
约数有6个:1,2,4,7,14,28。在数字0,1,2,…，
9中，只有6与4之积，或者8与
3之积是24，又6-4=2，8-3=5。故符合题目
要求的两位数仅有64。
4. 李老
师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,
如果师生每人种的棵数一样
多,那么这个班共有学生_____人。
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答案：28。
解析：因为667=23
29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约
数:1
,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的。
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能。
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题
目要求。
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能。
所以,一班共有28名学生。
5.
两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____。
答案：40或20。
解析：两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15
和35,
它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20。
[注]这里的关
键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之
和:50=5+45=15+35。
6.
现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,
最多可分给____
_个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个。
答案：36,1,3。
解析
：要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔
子相等，小朋友的人数一定
是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和
108的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋
友,可知小朋友的人数是36和108
的最大公约数。36和108的最大公约数是36,也就是可分给
36个小朋友。
每个小朋友可分得梨: 36
36=1(只)，
每个小朋友可分得桔子: 108
36=3(只)，
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只。
7.
一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片
_____块。
答案：56。
解析：剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,
所
以它是48与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48
<
br>页眉内容
与42的最大公约数。
因为48=2
2
2
2
3,42=2
3
7,所
以48与42的最大公约数是6。这样,
最大正方形的边长是6厘米。由此可按如下方法来剪:长边每排
剪8块,宽边可剪
7块,共可剪(48
6)
(42
<
br>6)=8
7=56(块)正方形布片。
8．写出小于20的三个自然数，使
它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请
问有多少组这种解？
答案：三组。
解
析：三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分
别是2,3和5,这种自
然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组。
9．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？
答案：四个数的最大公
约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约
数应该是1111的约数。将1111作质因数
分解,得
1111=11
101
最大公
约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别
除以101,所得商
的和应为11。现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,101
2,101
3,101
5,
它们的和恰好是
101
(1+2+3+5)=101
11=1111,
它们的最大公约数为101，所以101为所求。
13
10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃
比赛，狐狸每次跳
4
米，黄鼠狼每次跳
2
米，它
24
3们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔
12
米设有一个陷井,当它们之
8
中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
33
99
答案：黄鼠狼掉进陷
井时已跳的行程应该是
2
与
12
的“最小公倍数”，即
48
4
13
99
11
=9次掉进陷井，跳了狐狸掉进陷井时已跳的行程
应该是
4
和
12
的“最
428
4
9999
9
=11次掉进陷井。 小公倍数”，即跳了
2
22
经过比较可知
,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是
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4
1
9=40.5(米)。
2
五 带余数除法
（一）填空题
1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8
.正确
的商是_____,余数是_____。
答案：48,44。
解析：依题意
得：被除数=78
54+8=4220，而4220=87
48+44,
所以正确的商是
48,余数是44。
2.
a
24=121……b,要使余数最大，被除数应该等于_____。
答案：2927。
解析：因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有，
被除数=24
121+23=2927。
3.
一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____。
答案：831
解析：这个三位数可以写成：
37
商+17=36
商+(商+17)。
根据“被3
6除余3”。(商+17)被36除要余3。商只能是22(如果商更大的
话,与题目条件“三位数”不
符合)。
因此,这个三位数是37
22+17=831。
4.
393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_____个,它们是_____。
答案：11,35,55,77。
解析：393减8,那么差一定能被两位数整除。
∵393-8=385，
页眉内容
385=5<
br>
7
11=(5
7)
11=(5
11)
7=(7
11)
5，
∴385能被两位数11，35，55，77整除。本题的答案是4个:11,35,55,77。
5.
的积,除以4的余数是_____。
答案：1。
解析：∵31453
4=7863…1
68765
4=17191…1
987657
4=246914…1
1
1
1=1
∴
的积除以4余数是1。
6. 888……8乘以666……6的积，除以7余数是_____。
50个8
50个6
答案：5。
解析：因为111111能被7整除,所以888888和66666
6均能被7整除。而50=6
8+2,
故得被乘数与88被7除的余数相同,乘数与
66被7除的余数相同,进而得:被乘
数被7除余4,乘数被7除余3。所以乘积与(4
3=)12被7整除的余数相同。因
此得乘积被7除的余数是5。
7.
如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟。
答案：16。
解析：因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转24圈,时针旋转2圈.若以现
时18点整
为起点与终点,这样时针又回到18点整的位置上。
由1990
24=82…余22，可知那时时钟表示的时间应是16点整。
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（二）解答题
8．幼儿园某班学生做游戏，如果每个学生
分得的弹子一样多，弹子就多12颗，
如果再增加12颗弹子，那么每个学生正好分得12颗，问这班有
多少个学生？原
有多少颗弹子？
答案：依题意知，原来每个学生分相等的若干颗，余12颗，
则学生人数大于12.
同时由增加12颗后每个学生正好分得12颗,即12+12=24(颗),24
能被班级人数
整除,又24能分解为
24=1
24=2<
br>
12=3
8=4
6
由班级人数大于12,可
知符合题意的是24人。所以,共有弹子数
12
24-12=276(颗)。
9．已知：a=1991……1991,问：a除以13,余数是几？
1991个1991
答案：用试除的方法可知:1991可以被13除尽。原数a有199
1个1991.因为1991
除以3余2,所以a与除以13所得余数相同。又除以13余8,所以a除
以13的余
数也是8。
10．100个7组成的一百位数,被13除后,问：
(1)余数是多少？
(2)商数中各位数字之和是多少？
答案：因为
<
br>=59829,即777777能被13整除,把这100个7,从第一个起,每6个
分成一组,
100
6=16…4，共16组还多4个。
每一组除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余数是3。
所以,100个7组成一百位数除以13后,余数是3,商数中各位数字之和是
页眉内容
(5+9+8+2+9)
16+(5+9+8) =550。
六 中国剩余定理
（一）填空题
1.
有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_____。
答案：7。
解析：因为除以3余数是1的数是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…
除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31…
所以，同时符合除以
3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…
这些数除以12余数均为7。
2.
一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是_____。
答案：14。
解析：用一个两位数除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56,
73-3
=70,85-1=84能被这个两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约
数.
2 56 70 84
7 28 35 42
4 5 6
由可可见,56、70、84的两位数公约数是2
7=14，可见这个两位数是14。
3. 学习委员收买练习本的钱,她只记下四
组各交的钱,第一组2.61元,第二组
3.19元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每
本练习本价格都超过1角,全
班共有_____人。
答案：41
解析：根据题意得：
319-261=练习本单价
第二、一组人数之差，
348-319=练习本单价
第四、二组人数之差。即
练习本单价
第二、一组人数之差=58,
练习本单价
第四、二组人数之差=29，
所以,练习本单价是58与29的公约数,这样,练习本的单价是29分,即
0.29元。
页眉内容
因此,全班人数是
(2.61
2+3.19+3.48)
0.29
=
=41(人)。
[注]这里为了利用练习本单价是总价的公
约数这一隐含条件,将小数化成整
数来考虑,为解决问题提供了方便.这里也可直接找261、319和
348的公约数，
但比较困难.上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。
4. 五
年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10
人排一行，同样多出一个人.
这两个班最少共有_____人。
答案： 91
解析：如果将两个班的人数减少1人,则9
人一排或10人一排都正好排完没有剩
余,所以两班人数减1是9和10的公倍数,又要求这两班至少有
几人,可以求出9
和10的最小公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有9
1
0+1=91(人)。
5.
一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是____。
答案：210。
解析：一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依
次为:
105,210,315,420,……，其中被11除余数为1的最小数是210，所以这个
最小数是
210。
6. 同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一
排少4人，参加队列训练的学生最少有_____人。
答案：46人。
解析：如果总人数
少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余。由此可
见,人数比10和8的最小公倍数多6人
,10和8的最小公倍数是40,所以参加队
列训练的学生至少有46人。
7. 把几十个苹
果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余
3个.这堆苹果共有_____个。
答案：71。
解析：依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后,正好是9,8,4的倍数
.因为
9,8,4的最小公倍数是9
8=72,所以这堆苹果至少有9
<
br>8-1=71(个)。
页眉内容
[注]本题为什么求9,8,4的最
小公倍数呢?这是根据限制条件“这堆苹果共
几十个”决定的.若限制条件改为“这堆苹果的个数在10
0-200之间”的话，那
么这堆苹果共有9
8
2-1=141
（个）。因此，在解答问题时，一定要把条件看清
楚，尤其要注意“隐含条件”的应用。
（二）解答题
8．有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数
，最后
总是剩下3个。这盒乒乓球至少有多少个?
答案：如果这盒乒乓球少3个的话,8个8
个地数,10个10个地数,12个12个的
数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10
,12的公倍数,又要求至少
有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3
。
2 8 10 12
2 4 5 6
2 5 3
故8,10,12的最小公倍数是2
2
2
5
3=120。所以这盒乒乓球有123个
。
9. 求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数。
答案：设所求数为
x
,则
x
+2就能同时被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以
x
=120-2=118。
10. 一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多
四只,七只七只数多六只,若
此盒围棋子的个数在200到300之间,问有多少围棋子?
答案：设有
x
个围棋子,则
x
+1是3,5,7的倍数,
x
+1是[3,5,7]=3
5
7=105的
倍数,
x
+1=210,
x
=209。
七 奇数与偶数
（一）填空题
1. 2，4，6，8，……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，
这五个数
中最小的一个是______。
答案：60。
解析：这五个连续偶数的第
三个(即中间的那一个)偶数是320
5=64。所以，最
小的偶数是60。
2.
有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是
页眉内容
_____。
答案：2,83。
解析：因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是
2。小于100的17的奇数倍有
17,51和85三个,17,51与2的差都不是质数,所以另一个
质数是85-2=83。
3. 100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比
偶数的个数多,
那么,这些数里至多有_____个偶数。
答案：48
解析：由于
100个自然数的和是10000,即100个自然数中必须有偶数个奇数,又
由于奇数比偶数多,因此
偶数最多只有48个。
4. 下图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.
甲说:我打
了六枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得
了27分。
1
3 5 7 9
已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____。
答案：甲
解析：由于分数都是奇数,6个奇数之和为偶数,不可能是奇数27,所以说假话的
是甲。
5. 一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题
不计分。
考试结束后,小明共得23分。他想知道自己做错了几道题,但只记得未
答的题的数目是个偶数。请你帮
助小明计算一下,他答错了_____道题。
答案：3。
解析：小明做错的题的数目一定是
奇数个,若是做错1个,则应做对12个才会得
12
2-1=23分,这样小明共做
13个题,未做的题的个数7不是偶数；若是做错3
个，则应做对13个才能得13
2-3=23分，这样未答的题是4个，恰为偶数个。
此外小明不可能做错5个或5个以上的题.故他做
错的题有3个。
7. 有一批文章共15篇,各篇文章的页数分别是1页、2页、3页……14页和1
5
页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码。那么每篇文
章的第一页是
奇数页码的文章最多有_____篇。
答案：11。
页眉内容
解
析：根据奇数+偶数=奇数的性质,先编排偶数页的文章(2页,4页,…，14页)，
这样共有7篇文
章的第一页都是奇数页码。
然后,编排奇数页的文章(1页,3页,…，15页)，根据奇数+奇数=
偶数的
性质，这样编排，就又有4篇文章的第一页都是奇数页码。
所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7+4=11(篇)。
7. 一本书中间的
某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有_____
页,撕掉的是第_____页和
第_____页。
答案：48,21,22。
解析：设这本书的页码是从1到n的自然数,正确的和应该是
1
1+2+…+n=
n
( n+1)
2
由题意可知，
1
n
( n+1)>1133
2
1
1
由估算，当n=48时，
n
( n+1)=
48
49=1176，1176-1133=43。根据书页的
2
2
页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22。所以,这本书有
48页,被撕的一张是第21页和第22页。
（二）解答题
9．如下图，从0点起每隔3米
种一棵树。如果把3块“爱护树木”的小木牌分
别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之
间的距离是偶数（以米
为单位）。试说明理由。
答案：相距最远的两块木牌的距离
,等于它们分别与中间一块木牌的距离之和。
如果三块木牌间两两距离都是奇数,就会出现“奇+奇=奇
”，这显然不成立，所以
0 3 6 9 12 15 18 21 24
必有两块木牌的距离是偶数。
13．如图所示，一个圆周上有9个位置，依次编为1~9号.
现在有一个小球在1
号位置上。第一天顺时针前进10个位置,第二天逆时针前进14个位置。以后,第
奇数天与第一天相同,顺时针前进10个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前
进14个位置
。问:至少经过多少天,小球又回到1号位置。
答案：顺时针前进10个位置,相当于顺时针前进1个位置；逆时针前进14个位
9
2
8
3
1
7
4
页眉内容
置，相当于顺时针前进18-14=4（个）位置。所以原题相当于
:顺时针每天1个
位置,4个位置交替前进,直到前进的位置个数是9的倍数为止。
偶数天依次前进的位置个数:
5,10,15,20,25,30,35,40，……
奇数天依次前进的位置个数：
1，6，11，16，21，26，31，36 ，41，……
第15天前进36个位置，36天是9的倍数，所以第15天又回到1号位置。
八
周期性问题
（一）填空题
1.
某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____。
答案：二。
解析：因为7<
br>
4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，
且2月1日与2
月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日
起到这年6月1日共经过了31+30+
31+1=93(天)。
因为937=13…2，所以这年6月1日是星期二。
2.
1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____。
答案：日。
解析：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365
10+2=3652（天）。
因为3652
7
=521…5，1989年12月5日是星期二所以再过十年的12月5日是
星期日。
3.
按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的。
……
答案：39。
解析：从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列
，也就
是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形。
因为80
6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角
形13
3=39（个）。
4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿
页眉内容
各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3
盏彩灯,
小明想第73盏灯是_____灯。
答案：白。
解析：依题意知,电灯的
安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一
排列是按“白，红，黄，绿”交替循环
出现的，也就是这一排列的周期为4。
由73
4=18…1,可知第73盏灯是白灯。
5.
时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是
____。
答案：13时。
解析：分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时。一天24小
时,1991
24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时
正,经过82天仍
然是14时正,再过23小时,正好是13时。
[注]在圆面上,沿着圆周
把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一
根短针,就组成了我们天天见到的钟面。钟面虽
然是那么的简单平常,但在钟面上
却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面。
6. 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列。
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
1
2
9
3
8
12
17
…
…
4
7
13
16
…
…
5
6
14
15
…
…
10
11
18
…
…
…
答案：3。
解析：仔细观察题中表格。
1 2 3 4 5 (奇数排)
第一组
9 8 7
6 (偶数排)
10 11 12 13 14
(奇数排)
页眉内容
第二组
18 17 16 15 (偶数排)
19 20 21
22 23 (奇数排)
第三组
27 26 25 24 (偶数排)
可发现规律如下:
(1)连续自然数按每组
9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四
个数的规律循环排列；
(2)观察第二
组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9
除余数为1,第2列用9除余数为2,
…，第5列用9除余数为。
(3)10
9=1…1，10在1+1组，第1列
19
9=2…1，19在2+1组，第1列
因为1992
9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3
列数的位置
上。
7. 把分数
4
化成小数后，小数点第110位上的数字是_____。
7
答案：7。
4
解析：=0.……
7
它的循环周期是6，具体地六个数依次是：
5，7，1，4，2，8
110
6=18…2
因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7。
（二）解答题
8. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个
位数.例
如8
9=72,在9后面写2,9
2=18,在2后面写8,……得到一
串数字:
1 9 8 9 2 8 6……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
答案：依照题述规则多写几个数字:……
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286
884，每6个一组，即循环周期为
6.因为(1989-4)
6=330…5，所
以所求数字是8。
页眉内容
9.
1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两
位数是多少？
答案：1991个1990相乘所得的积末尾两位是0,我们只需考察1990个1991相乘
的积末尾两位数即可。1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末尾两位数
是81,3个1
991相乘的积末尾两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位
数分别是61,51,41
,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，
由此可见，每10个1
991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10。因为
1990
10=199,所
以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01。
14．在一根长100厘米的木
棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至
左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐
段锯开，那么长度是1厘米
的短木棍有多少根？
答案：因为100能被5整除,所以自右至左
染色也就是自左至右染色.于是我们可
以看作是从同一端点染色。
6与5的最小公倍数是3
0,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会
出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所
示。
6
12 18 24
30 96
100
.
. . . . .
.
5 10 15
1
20 25
90
95
,如第1周期由图示可知长厘米的短木棍,每一周期中有两段
中,6-5=1,
5
5-6
4=1。剩余10厘米中有一段。所以锯开后长1厘米的短木棍
共
有7段.综合算式为:
2
[(100-10)
30]+1
=2
3+1
=7(段)。
[注]解决这一问题的关键是根据整
除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自
左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为
易。
九 图形的计数
（一）填空题
1．下图中一共有（ ）条线段。
答案：30
解析：图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6
5=30条线段。
页眉内容
2. 如下图,O为三角形A
1
A
6
A
12
的边A
1
A
12
上的一点,分别连结OA
2
,OA
3
,…OA
11
，
这样图中共有_____个三角形。
答案：37。
解析：将△A
1
A<
br>6
A
12
分解成以OA
6
为公共边的两个三角形。△OA1
A
6
中共有
5+4+3+2+1=15(个)三角形,△OA
6
A
12
中共有6+5+4+3+2+1=21(个)三角形。这样,
图中共
有15+21+1=37(个)三角形。
3. 下图中有_____个三角形。
答案：15。
解析：这样的问题应该通过分类计数求解。此题中的三角形可先分成含顶点C<
br>的和不含顶点C的两大类。含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在
线段BD:
C
B
上的两小类.分类图解如下
所以原图有
D
D
C
C
B
B
C
D
B
(3+2+1)+(3+2+1)+3
B
个)三角形。 =15(
A A
A
D
A
4. 下图中共有_____个梯形。
答案：18。
解析：梯形一共有三行,每行
都有3+2+1=6(个),所以一共有6
3=18(个)梯形。
5. 数一数
(1)一共有( )个长方形。
(2)一共有( )个三角形。
D
C
A
B
(1) (2)
答案：108,36。
解析：(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方
形的长和宽的
可能种数。按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将
它
们相乘就是所有长方形的个数。
页眉内容
因为AB边上有8+7+6+…+
2+1=
98
=36条线段，AD边上有2+1=3条线段，
2
所以图中一
共有36
3=108个长方形。
(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=
6(个),所以一共有6
6=36(个)三角
形。
6.
在下图中,所有长方形的个数是______。
答案：30。
解析：图形中共有1
2
+2
2
+
3
2
+4
2
=30个正方形。
7. 一块相邻的横竖两排距离都相
等的钉板,上面有4
4个钉(如右图)。以每个
钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和
长方形共_____个。
答案：44。
解析：因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分
,仍用分类计数的方法求解。
别求正方形和长方形的个数
先考虑有一组对边平行于这一类按其水平边的位置
BC
的长方形有多少个。
可分为6小类,
即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC。同样,其竖直边也分为6
类。所以这一类有6
6=36个长方形。
A
D
B
F
E
C
另一
类是没有边平行于BC的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,
其中分别有6个和2个长方形。
页眉内容
所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个。
(二）解答题
8. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之
比。
3
1
2
答案：白色小三角形个数=1+2+3+…+6=
(16)6
=21，
4
2
5
(17)7
黑色小三角形个数=1+2+3+…+7==28，
6
2
7
213
所以它们的比==。
284
O
12.
下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是
多少？
答案
：解法一：本图中三角形的个数为(1+2+3+4)
4=40(个)。下面求梯形的个C D
A B
数，梯形由两底唯一确定.首先在AB,CD,EF,MN中,考虑两底所在的线段,共有
E
F
(4
3)
2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条
线段，共有10（10=4+3+2+1）
个梯形。共60个梯形，故所求差为20。
M
N
解法二：在图 中可数出4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个。
而在题图中,这种恰有10个。.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为
2
1
0=20(个)。
13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、<
br>4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的
小正方形都是涂有
红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要
组成这样4个大小不同的正方形，总共需要
红色正方形多少个？白色正方形多少
个？
答案：边长2厘米的正方形:
2
2=4(个) ……红色
边长4厘米的正方形
(4-1)
4=12(个)
……红色
(4-2)
(4-2)=4(个) ……白色
边长8厘米的正方形
(8-1)
4=28(个)
……红色
页眉内容
(8-2)
(8-2)=36(个)
……白色
边长9厘米的正方形
(9-1)
4=32(个)
……红色
(9-2)
(9-2)=49(个)
……白色
所以,红色小正方形共有
4+12+28+32=76(个)，
白色小正方形共有
4+36+49=89(个)。
[注]本题的要求是由边长为1
厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长
是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,
可以看作方阵问题来解。
四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵。因此,涂红色正方形的个数等
于
4
(n-1)。其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵。所以，涂白色的正方
形
的个数等于(n-2)
(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9
厘米的正
方形,涂红色的小正方形的个数是:4
(9-1)=32(个),涂白色的
小正方形的个数
是:(9-2)
(9-2)=49(个)。
十
图形与面积
1. 如下图,把三角形
ABC
的一条边
AB
延长1倍
到
D
,把它的另一边
AC
延长2
倍到
E
,得到一个
较大的三角形
ADE
,三角形
ADE
的面积是三角形
ABC
面积的
______倍。
答案：6倍。
解析：过B、D点分别作BG⊥AC，DH⊥AE。
由题意知，E为AD的中点，得到高BG：DH=1∶2，
底边AC∶AE=1∶3，
根据面积公式得出：三角形ADE的面积是三角形ABC面积的6倍。
2.
如下图,在三角形
ABC
中,
BC
=8厘米,
AD
=6
厘米,
E
、
F
分别为
AB
和
AC
的中点。
那么三角形
EBF
的面积是______平方厘米。
答案：6平方厘米。
解析：由题意知，E、F分别为AB、AC的中点，
1
我们可得出，
EF∥BC
，
EF=BC=4厘米
。
2
页眉内容
1
△
BEF的高=
AD3厘米
。
2
1
故，△BEF的面积=
436平方厘米。
2
3. 有一个等腰梯形,底角为45
0
,上底为8厘米,下底为12厘米,
这个梯形的面积应是
______平方厘米。
答案：20平方厘米。
解析：我们知
道梯形的面积公式=（上底+下底）×高÷2。本题上底和下底已知，
我们只要求出高，面积就可得到。
由题中给出的条件，底角为45°，可以得出梯形
的高为2厘米，代入面积公式得到面积为20平方厘米
。
十一 观察与归纳
（一）填空题
1. 找规律,填得数。
2
2
=2×2=1
2
×4=4；
22
2
=22×22=11
2
×4=484；
222
2
=222×222=111
2
×4=49284；
… … … … … …
2
2
=(
)
2
×____
=______×____
=_________。
答案：1,4；1,4；49。
解析：根据已知等式的观察和分析,可知算式演变规律有两种形式:
其一是等积
恒变；其二是11×11=121,111×111=12321,……。
222
2
=222×222=111
2
×4=49284;
2
2
=1
2
×4
=1×4
=49。
2. 图中第1格内放着一个立方体木块,木块六个面上分别
写着
A,B,C,D,E,F
六
个字母,其中
A
与
D,B<
br>与
E,C
与
F
相对.如果将木块沿着图中方格滚动,当木块
滚
动到第21个格时,木块向上的面写的字母是______。
页眉内容
答案：A。
解析：木块沿直线滚动4格,与原来的状态相同,所以木块到第5,9,13,1
7，21
格时,与在第1格的状态相同,写的字母是A。
3.
下面是
A,B,C
三行按不同规律排列的,那么当
A
=32时,
B
+
C
=______。
2
1
2
4
5
5
6
9
10
8
13
17
10
17
26
……
……
……
答案: 318。
解析：由数表可知A和B都是等差数列,根据等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n
1)
d
进行解答。
当
A
n
32时,
n
=(32-2)×
1
+1=16；
2
当
n
=16时,
B
16
=1+(16-1)×4=61。
再由数表可知C数列的相邻两项
的差值3,5,7,9,11,…,31组成等差数列,
根据等差数列求和公式
S
n<
br>
(
a
1
a
n
)×
n
×
这15个差值的和是(3+31)×15×
因此,
B
16
1
进行解答。
2
1
=255,则当
n
=16时,
c
16
=2+255=257。
2
C
16
=61+257=318。
4. 如图所示,
在左上角(第一行第一列)的位置上画上第1个点,然后按箭头方向
依次画上第2,3,4,…个点。那
么,第1999个点在第______行第______几列。
答案：27，45。
解析：
正长形网格内的所有格点数之和必是平方数,如2×2方格网中共有格点
3
2
=9(个
),3×3方格网中共有格点4
2
=16(个)。
因为1999=44
2<
br>+63=45
2
-26,所以第1999个点必在第45行或第45列上。因为
第45
2
点在第1行第45列上,而1999=45
2
-26,从第1行倒退
26行,所以第1999
个点在第27行第45列上。
5. 有一张黑白相间的相间的方格纸
,用记号(2,3)表示从上往下数第2行,从左
往右数第3列的这一格(如图),那么(19,98)
这一格是______色。
答案：白
页眉内容
解析：观察归纳得:“行数+列数=奇数”时为白色,“行数+列数=偶数”时为黑色。
而19+98为奇数,因此(19-98)这一格是白色。
6. 如图所示,在正六边形A
周围画出6个同样的正六边形(阴影部分),围成第1
圈；在第1圈外面再画出12个同
样的正六边形,围成第2圈;…….按这个方法继
续画下去,当画完第9圈时,图中共有______个
与A相同的正六边形。
答案：271。
解析：提示:第
n
几圈有6
n
个正六边形,所以共有1+6×(1+2+…+9)=271(个)。
7.
下面是按规律列的三角形数阵:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
………………
那么第1999行中左起第三个数是______。
答案：1995003
解析：第三行左起第三个数是1=1；
第四行左起第三个数是3=1+2；
第五行左起第三个数是6=1+2+3；
第六边左起第三个数是10=1+2+3+4；
……
归纳可知,第1999行左起第三个数是1+2+3+…+1997=
（二）解答题
8. 将自然数1,2,3,4…按箭头所指方向顺序排列(如图),依次在2,3,5,7,10…<
br>等数的位置处拐弯。
(1)如果2算作第一次拐弯处,那么第45次拐弯的数是什么?
(2)从1978到2010的自然数中,恰好在拐弯处的数是什么?
答案：观察拐弯处的数的规律,可以得到
n
个拐弯处的数,
19971998
2
=1995003。
页眉内容
当
n
为奇数时为
1+(1+3+5+…+
n
)=(
当
n
为偶数时为
1+2×(1+2+3+…+
n
n1
2
)
2
+1； 2
)=(1+
2
n
2
)×
n
2
+1。
(1)第45次拐弯处的数是(
451
)
2
+1=530。
891
(2)试算
n
=89时,拐弯处的数是(
n
=88时,拐弯处的数是(1+
n
=87时,拐弯处的数是(<
br>88
2
88
)
2
+1=2026；
2
)×
2
+1=1981；
871
2
)
2
+1=1937；
所以1978~2010中,恰在拐弯处的数是1981。
9. 下图是一张把自然数按一定顺序排列
的数表,用一个有五个空格的十字可以
框出不同的五个数字,现在框出的五个数字的四个角上的数字之和
是80,如果当
框出的五个数字的和是500时,四个角上数字的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11 12 13 14
15 16 17
18 19 20 21
22 23 24 25
26 27 28
答案：
仔细观察十字框中的五个数里,中间一个是这五个数的平均值,也是
其余四
个数的平均值,所以中间一个数可由500÷5=100得到,且即得四个角上数字这和
为100×4=400。
13. 如图,在一张方格纸上画折线(用实线表示的部分),图中每个
小方格的边
长为1,从A点出发依次给每条直线段编号。
(1)编号1994的直线段长是多少?
(2)长度为1994的直线段的编号是多少?
答案：通过观察列出编号与长度的关系表:
编号 (1)(2) (3)(4)
(5)(6) (7)(8) (9)(10) ……
长度 1 2 3 4 5 ……
从表中看出:长度为
n
的线段编号为2
n
-1和2
n
。
页眉内容
(1)编号为1994的线段长为:
1994÷2=997。
(2)长度为1994的线段有两条,编号分别为:
1994×2-1=3987;
1994×2=3988。
十二 数列的求和
（一）填空题
1.
1～1991这1991个自然数中,所有的奇数之和与所有的偶数之和的差是
______。
答案：996。
解析：(1+3+…+1991)-(2+4+…+1990)
=1+(3-2)+(5-4)+…+(1991-1990)
=1+1+…+1
=996。
2. 计算:
1-3+5-7+9-11+…-1999+2001=_____。
答案：1-3+5-7+9-11+…-1999+2001
=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(2001-1999)
=1+2+2+…+2
=1001。
3. 计算:
100
+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1
=______。
答案：1130。
解析：100+99+98-97-96+95+94
+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1
=100+(
99-97)+(98-96)+95+(94-92)+(93-91)+…+10+(9-7)+(8-6)
+5+(4
-2)+(3-1)
=(100+95+…+10+5)+2+2+…+2
=
(1005)
20240
2
=105×10+80
页眉内容
=1130。
4. 计算:
1992+-1+2-3+4-5+…+1990-1991=______。
答案：1162。 <
br>1
1
1
1
1
1
1
1
-1+2-3+
4-5+…+1990-1991
2222
3333
1
1
1
1
1
1
=[(2-1)+(4-3)+ …+(1992-1991)]+[(-)+(-)+ …+(-)]
2
3
2
3
2
3
1
1
=996+996×(-)
2
3
1
=996+996× <
br>1
2
1
3
1
2
1
3
1
2<
br>1
3
1
2
1
3
解析：1992+
6
=996+166
=1162。
5.
100与500之间能被9整除的所有自然数之和是______。
答案：13266。
解
析：100到500之间9的倍数有9×12,9×13,…,9×55,共55-12+1=44个,它
们的和是
(108495)44
=13266。
2
6. 如左下图,一个堆放铅
笔的
V
形架的最下层放1支铅笔,往上每一层都比它下
面一层多放一支,最上面一层放
120支.这个
V
形架上共放了______支铅笔。
答案：7260。
解析：
V
型架上铅笔总数是
1+2+3+…+120=
120121
=7260(支)。
2
7. 一
堆相同的立方体堆积如下图所示.第一层1个,第二层3个,第三层6
个,……,第10层有_____
_个立方体。
答案：55。
解析：第一层有1个；第二层有1+2=3个；第三层有1+2+3=6个；……第十层有
1+2+3+…+10=
（二）解答题
8. 如下图,三角形每边2等分时,顶点向下的小三
角形有1个;每边4等分时,顶
1011
=55(个)。
2
页眉内容
点向下的小三角形有6个;每边10等分时,顶点向下的小三角形有几个? 20等分
呢? <
br>答案：三角形每边二、三、四等分后,每排所产生的顶角向下的小三角形的个数
是1,2,3。同
样,三角形每边10等分时,顶角向下的小三角形有
1+2+3+…+9=
910
=45(个)。
2
1920
=190(个)。
2
三角形每边20等分后,产生的顶角向下的小三角形有
1+2+3+…+19=
9.
求1991个自然数,其中一个是1991,使它们的倒数之和恰好为1(这些自然数
不都相同)。
答案： 因为
1
111
+++…+
12
2334
19901991
11
11
1
11
=1-+-+-+…+-
22
33
4
19901991
1
=1-。
1991
所以
1
1111
+++…++=1。
12
233419901
9911991
1×2,2×3,3×4,…,1990×1991和1991这1991个自然数满足
要求。
1
1111
471028?
104088
928
154
1
11111
答案：1+4+7+10+13
+16
1114
25
58
81114171720
1
11111
=(1+4+7+10+13+16)+(+++++)
25
58
811
1114
14171720
(11
6)6
1
111111
=+(-+-+…+-)×
2
558
2
3
17
20
1
11
=51+(-)×
2
203
3
=51。
20
10. 求值:
1
十三 数列的分组
（一）填空题
1. 在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______。
页眉内容
1234,5678,9101112,,……
答案：0。
解析：
按照自然数从小到大的顺序,每四个数构成一数。九位数只能由三个两位
数和一个三位数构成,所以这个
九位数是0。
2.
把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______。
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12
13 14 15
16 × × × × ×
× × × × × × ×
答案：101。
解析：由12=8+4,4正好是8所在的行数值,则必须求出88所在行数值。
根据每行尾
数的排列规律1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,
可知88所在行数应是第13行。
因此,在88的正下方的数是88+13=101。
3. 计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+
…+4+3-2-1,结果是____。
答案：1996。
提示:
从左至右每四个数运算的结果都是4。
4. 下面是一列有规律排列的数组:(1,
1
11
1
1111
,);(,,),(,,);……;第
2
334
5567
100个数组内三个分数分母的和是______。
答案：600
提示:第
n
组中间的分数的分母是2
n
,则第
n
组
内三个分数分母之和是
(2
n
-1)+2
n
+(2
n
+1)=6
n
。
5.
把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),
(
15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41)
,(43),…,则第100
个括号内的各数之和为______。
答案：1992。
页眉内容
解析：每4个括号为一个大组,前100个括号共25个大组,包含
25×
(1+2+3+4)=250个数,正好是从3开始的250个连续奇数。因此第100个括号内
的最后一个数是2×250+1=501,故第100个括号内的各数之和为
501+499+
497+495=1992。
6. 一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5
,5,5,…,其中自然数
n
出现
n
次.那么,
这列数中的第199
9个数除以5的余数是______。
答案：3。
解析：自然数
n
出现了
n
次,这
n
个
n
中的最后一个数
n
位于这
列数中的第
(1+2+…+
n
=
1
n
(
n
+1)个数。
2
11
又
因为
62631953199920166364
。
22
因此,这列数中的第1999个数是63,它除以5的余数是3。
7.
如数表:
第1行 1 2 3 4 5 … … 14 15
第2行 30 29 28 27 26 … … 17 16
第3行
31 32 33 34 35 … … 44 45
… … …
… … … … … …
第
n
行 … … … …
… …
A
… …
第
n
+1行 … … … …
… …
B
… …
第
n
行有一个数
A<
br>,它的下一行(第
n
+1行)有一个数
B
,且
A
和<
br>B
在同一竖
列.如果
A
+
B
=391,那么
n
=______。
答案：13。
解析：观察数表排列规律知,相邻两行(第n
行与第
n
+1行)十五组相应两数的和
值均相等,其和为30
n
+1。
由30
n
+1=391得
n
=13。
11.
假设将自然数如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,
14,15),(16,17,18,19,20,21),……再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下
的前
44
k
个数组之和恒为
k
,如:(1)+(4+5+6)+(1
1+12+13+14+15)=3。
答案：从第一组开始的前19个数组,共包含1+2+3+…+19=
1920
=190个数,这
2
页眉内容
190191
=18145。
2
19
其中顺序数为奇数的数组有[]+1=10组,这1
0个数组所有数的和为
2
些数的和为1+2+3+…+190=
10
4
=10000,因此其中顺序数为偶数的数组中所有数的和为18145-10000=8145。
今有从第一组开始的前19个数组,求其中顺序数为偶数的数组中所有数的
和。
12. 1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,…
其中1,1,2,2,3,3这六个数字按此规律
重复出现,问:
(1)第100个数是什么数?
(2)把第一个数至第52个数全部加起来,和是多少?
(3)从第一个数起,顺次加起来,如果和为304,那么共有多少个数字相加?
答案：(1)因为100÷6=16……4,所以第100个数与第4个数相同,为2。
(2)因为52÷6=8……4,所以第1个数至第52个数的和为(1+1+2+2+3+3)×
8+
(1+1+2+2)=102。
(3)因为1+1+2+2+3+3=12,304÷12=
25……4,又1+1+2=4,所以从第一个数起,
顺次相切,共加到第25×6+3=153个数,
其总和才恰为304。
10. 数1,2,3,4,…,10000按下列方式排列:
1 2 3 … 100
101 102 103 …
200
… … … … …
9901
9902 9903 … 10000
任取其中一数,并划去该数所在的行与列。这样做了10
0次以后,求所取出的100
个数的和。
答案：将第2行的每个数减去100,第3行每个数
减去200,…,第100行每个数减
去9900,我们就得到一个各行都是1,2,…,100的数表
。在后一个数表按规定方法
取出的各数之和是1+2+…+100=5050。于是在原表中所求各数之
和
为:5050+(100+200+…+9900)=5050+495000=500050。
十四 相遇问题
（一）填空题
1.
两列对开的火车途中相遇,甲车上的乘客从看到乙车到乙车从旁边开过去,共
页眉内容
用6秒钟。已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行36千米,乙车全长_____米。
答案：135。
解析：根据相向而行问题可知乙车的车长是两车相对交叉6秒钟所行路之和。所
以乙车全长
(45000+36000)×
=81000×
1
×6
6060
1
600
=135(米)。
2. 甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速
度
从甲地开往乙地.货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在
全程的中点
相遇,货车必须在上午______点出发。
答案：7。
解析：根据中点相遇的条件,可知两车各行600×
1
=300(千米).
2
其间客车要行300÷60=5(小时);
货车要行300÷50=6(小时).
所以,要使两车同时到达全程的中点,货车要提前一小时出发,即必须在上午7点
出发。
3. 甲乙两地相距450千米,快慢两列火车同时从两地相向开出,3小时后两车在
距中点1
2千米处相遇,快车每小时比慢车每小时快______千米。
答案：8。
解析：快车和慢
车同时从两地相向开出,3小时后两车距中点12米处相遇,由此
可见快车3小时比慢车多行12×2=
24(千米)。所以,快车每小时比慢车快24÷
3=8(千米)。
4. 甲乙两站相距36
0千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站,客车每小时行
60千米,货车每小时行40千米,客车到
达乙站后停留0.5小时,又以原速返回甲
站,两车对面相遇的地点离乙站______千米。
答案：60。
解析：利用图解法,借助线段图(下图)进行直观分析。
解法一
客车从甲站行至乙站需要
页眉内容
360÷60=6(小时)。
客车在乙站停留0.5小时后开始返回甲站时,货车行了
40×(6+0.5)=260(千米)。
货车此时距乙站还有
360-260=100(千米)。
货车继续前行,客车返回甲站(化为相遇问题)“相遇时间”为
100÷(60+40)=1(小时)。
所以,相遇点离乙站60×1=60(千米)。
解法二 假设客车到达乙站后不停,而是继续向前行
驶(0.5÷2)=0.25小时后返
回,那么两车行驶路程之和为
360×2+60×0.5=750(千米)
两车相遇时货车行驶的时间为
750÷(40+60)=7.5(小时)
所以两车相遇时货车的行程为
40×7.5=300(千米)
故两车相遇的地点离乙站
360-300=60(千米)。
5. 列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道
用23秒,又知列车的
前方有一辆与它行驶方向相同的货车,货车车身长320米,速度为每秒17米,
列车
与货车从相遇到离开需______秒。
答案：190。
解析：列车速度为(
250-210)÷(25-23)=20(米秒).列车车身长为20×25-250=
250(米)。列车与货车从相遇到离开需(250+320)÷(20-17)=190(秒)。
6. 小冬从甲地向乙地走,小青同时从乙地向甲地走,当各自到达终点后,又立刻
返回,行走
过程中,各自速度不变,两人第一次相遇在距甲地40米处,第二次相遇
在距乙地15米处。甲、乙两地
的距离是______米。
答案：105。
解析：根据题意,作线段图如下:
根据相向行程问题的特点,小冬与小青第一次相遇时,两人所行路程之和恰是甲、
页眉内
容
乙之间的路程。
由第一次相遇到第二次相遇时,两人所行路程是两个甲、乙间的路程.因
各自速度
不变,故这时两人行的路程都是从出发到第一次相遇所行路的2倍。
根据第一次相遇
点离甲地40米,可知小冬行了40米,从第一次到第二次相遇小冬
所行路程为40×2=80(米)。
因此,从出发到第二次相遇,小冬共行了40+80=120(米)。由图示可知,甲、乙两
地
的距离为120-15=105(米)。
7. 甲、乙二人分别从
A,B
两地同时相
向而行,乙的速度是甲的速度的
2
,二人相
3
遇后继续行进,甲到
B
地、乙到
A
地后都立即返回.已知二人第二次相遇的地点距
第一次相遇的地点
是20千米,那么
A,B
两地相距______千米。
答案：50。
解析
：因为乙的速度是甲的速度的
2
,所以第一次相遇时,乙走了
A,B
两地距离
的
3
232
(甲走了),即相遇点距
B
地个单程。因为第一次相遇两
人共走了一个单程,
555
26
第二次相遇共走了三个单程,所以第二次相遇乙走了×
3=(个)单程,即相遇
55
1122
点距
A
地个单程(见下图)。
可以看出,两次相遇地点相距1--=(个)单程,
5555
2
所以两地相距20÷=
50(千米)。
5
（二）解答题
8.甲、乙两地相距352千米.甲、乙两汽车从
甲、乙两地对开.甲车每小时行36
千米,乙车每小时行44千米.乙车因事,在甲车开出32千米后才
出发.两车从各自
出发起到相遇时,哪辆汽车走的路程多?多多少千米?
答案：相遇问题的特点及基本关系知,在甲车开出32千米后两车相遇时间为
(352-32)÷(36+44)=4(小时)
所以,甲车所行距离为
36×4+32=176(千米)
乙车所行距离为
44×4=176(千米)
故甲、乙两车所行距离相等。
页眉内容
注: 这里的巧妙之处在于将不是同时出发的问题,通过将甲车从开出32千米
后算起,化为
同时出发的问题,从而利用相遇问题的基本关系求出“相遇时间”。
9.甲、乙两车从
A,B
两城市对开,已知甲车的速度是乙车的
5
。甲车先从
A
城开
6
55千米后,乙车才从
B
城出发。两车相遇时,甲车比乙车多行驶30千米。试求<
br>A,B
两城市之间的距离。
答案：从乙车出发到两车相遇,甲车比乙车少行55-30=25(千米)。
25千米是乙车行的1-
A,B
两城市的距离为
511
,所以乙车行了25÷=150(千米)。
666
150×2+30=330(千米)。
10.一条单线铁路线上有
A,B,C,D,E
五个车站,它们之间的路程如下图所示(单
位:千米)。两列火车从
A,E
相向对开
,
A
车先开了3分钟,每小时行60千米,
E
车
每小时行50千米,
两车在车站上才能停车,互相让道、错车.两车应该安排在哪一
个车站会车(相遇),才能使停车等候的
时间最短,先到的火车至少要停车多长时
间?
答案：
A
车先开3分,行3千米.除去这3千米,全程为
45+40+10+70=165(千米)。
若两车都不停车,则将在距
E
站
165
50
75
(千米)
6050
处相撞,正好
位于
C
与
D
的中点.所以,
A
车在
C
站等
候,与
E
车在
D
站等候,等候
的时间相等,都是
A
,
E
车各行5千米的时间和,
十五
追及问题
（一）填空题
1．当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先
20米，如果乙
和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先 米。
答案：12。
5611
(时)=11分。
606060
页眉内容
解析：解法一 依题意,画出线段图如下:
丙
乙
甲
·
·
·
·
·
20
60
30
40
50
60
起点
10
,
甲跑在同样时间内米,乙跑50米,丙跑4
0米,也就是在相同单位时间内
甲跑6米,乙跑5米,丙跑4米。所以,由上图看出,当乙跑10米到达
终点时,丙又
跑了8米,此时丙距终点
60-40-8=12(米)。
解法二
相同时间内,乙跑50米,丙跑40米,所以丙速是乙速的
到达终点时,丙的行程为
60
4
.因此当乙
5
4
=48(米)，
5
此时丙距终点
60-48=12(米)。
解法三 由于乙、丙两人速
度不变,又丙与乙在第一段时间内的路程差
1
(50-40)=10米是乙的路程的1050
=,所以当乙跑完后10米时,丙在第二段时间
5
与乙的路程差为
1
10=2(米)
5
两次路程差和10+2=12(米),就是乙比丙领先的路程。
2.一只兔子奔跑
时,每一步都跑0.5米；一只狗奔跑时,每一步都跑1.5米.狗跑
一步时,兔子能跑三步.如果让狗
和兔子在100米跑道上赛跑,那么获胜的一定
是 。
答案：兔子。
解析
：从题面上看,狗和兔子的速度是一样的,但因为当狗跑了66步后,狗共跑了
99米,剩下1米,这时
它也得再花一步的时间,这相当于狗要往反100.5米,而当
狗跑了66步后,兔子跑了(366)
=198步,再花2步的时间,即到达终点。所以狗
较慢.兔子一定获胜。
3.骑车人以每分
钟300米的速度,从102路电车始发站出发,沿102路电车线前进,
骑车人离开出发地2100米
时,一辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行
500米,行5分钟到达一站并停车1分钟。那
么需要 分钟,电车追上骑车人。
答案：15.5。
页眉内容 <
br>解析：电车追及距离为2100米.电车每分钟行500米,骑车人每分钟行300米,1
分钟追
上(500-300)=200米,追上2100米要用(2100200)=10.5(分钟).但电车行<
br>10.5分钟要停两站,共花(12)=2分钟,电车停2分钟,骑车人又要前行
(3002
)=600米,电车追上这600米,又要多用(600200)=3分钟.所以,电车追上
骑车人共
要用10.5+2+3=15.5(分钟)。
4.亮亮从家步行去学校,每小时走5千米.回家时,骑
自行车,每小时走13千米.
骑自行车比步行的时间少4小时,亮亮家到学校的距离是 。
答案：32.5。
解析：此题可看成同向而行问题:
有两人从亮亮家出发去学校，
一人步行,每小时走5千米；一人骑自行车,
每小时行13千米。那么,当骑自行车的人到学校时,步行
的人离学校还有(骑车人
比步行人早到4小时):54=20(千米)，
又骑车比步行每小时快
13-5=8(千米)，
所以,亮亮家到学校的距离是
(208)13=32.5(千米)。
5.从时针指向4点开始,再经过
分钟,时钟与分针第一次重合。
答案：21
9
。
11
41
=；
123
解析：设钟面一周的长度为1,则在4点时,分针落后于时针是钟面周长的
同时分钟和时针的速度之差为钟面周长的
1111
，
60720720
由追及问题的基本关系知,两针第一次重合需要
1<
br>
11
9
21
(分钟)。
3
60720
11
6.甲、乙两人在400米长
的环形跑道上跑步，甲以每分钟300米的速度从起点跑
出1分时,乙从起点同向跑出,从这时起甲用5
分钟赶上乙。乙每分跑 米。
答案：280。
解析：甲以每分钟300米的速度从起点跑出1分钟,这时甲离乙
页眉内容
400-3001=100(米)
甲用5分钟比乙多跑100米,则甲每分钟比乙多跑1005=20(米)
所以,乙每分钟跑300-20=280(米)。
7.一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点
开始爬行一周.在三条边上爬行的速度
分别为每分50厘米、每分20厘米、每分30厘米(如右图).
它爬行一周的平均速
度是 。
答案：
29
20
1
厘米分。
31
50
300300300
解析：设边长
为300厘米,则爬行一周需
31
(分钟),
A
502030
30
1
平均速度为(3003)31=
29
(厘米分)。
31
（二）解答题
11．在周长为200米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙二
人骑自行车分别以
6米秒和5米秒的速度同时、相向出发(即一个顺时针一个逆时针),沿跑道行
驶.问:16分钟内,甲乙相遇多少次?
答案：甲、乙二人第一次相遇时,一共走过的路程是
以需要的时间是
以后,两人每隔
200
=100米,所
2
100100
秒。
5611
200200
秒相遇一次。
乙
甲
5611
所以,16分钟内二人相遇的次数是
100
<
br>6016
11
+1=
96011
1
1
264
1
1
=
52.3
1
=52+1=53(次)
200
2
2
200
5
11
这里的中括号[
]不是普通的括号,[
x
]表示
x
的整数部分,如
5
2.5
2
,
3
3
,
0.6
0
。
2
12.如图,A,B,C三个原料加工厂分别停着甲、乙、丙三辆汽车，各车
速度依次
是60，48，36千米时，各厂间的距离如图所示(单位:千米),如果甲、丙车按箭
头方向行驶，乙车反向行驶，每到一厂甲车停2分，乙车停3分，丙车停5分。
6
那么,三车同时开动后何时何处首次同时相遇。
A B
10
8
页眉内容
答案：甲车绕一圈后再到B厂,共用60[(6+8+10+6)60]+23=36 (分)；
乙车绕一圈后再到B厂,共用60[(8+10+6)48]+32=36(分)；
2
丙车从C厂到B厂，共用60[(10+6)36]+5=
31
(分)。
3
因为丙车到B厂要停5分,所以三车同时开出后36分在B厂同时相遇。
14.甲
、乙二人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,
开始时甲的速度为每
秒8米,乙的速度为每秒6米。当甲每次追上乙以后,甲的速
度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5
米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后
面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加0.5米,直到
终点.那么领先者到
达终点时,另一人距终点多少米?
答案：甲追乙1圈时,甲跑了8[400(8-6)]=1600(米),
此时甲、乙的速度分别变为6米秒和5.5米秒。甲追上乙2圈时,甲跑了
1600+6[400(6-5.5)]=6400(米),
此时甲、乙的速度分别变为4米秒和5米秒.乙第一次追上甲时,甲跑了
6400+4[400(5-4)]=8000(米),
乙跑了 8000-400=7600(
米)。此时,甲、乙的速度分别变为4.5米秒和5.5米
秒.乙跑到终点还需
(10000-7600)5.5=
乙到达终点时,甲距终点
(10000-8000)-4.5
十六 变换和操作
1. 黑板上写着8,9,10,1
1,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个
数的和减1。例如,擦掉9和13,
要写上21。经过几次后,黑板上就会只剩下一个
数,这个数是_____。
答案：71。
解析：所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是
(8+9+10+11+12+13+
14)-6=71。
2. 口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99。从袋中任意摸出若干张
小纸片,
然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋
480
0
(秒),
11
480074
=2000-
196336
(米)。
111111
页眉内容
中。经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____。
答案：50。
解析：每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片
上
的数等于1~99的和除以100的余数。
(1+2+…+99)
10
0=
(199)99
100
2
=4950
100
=49
100+50
故这张纸片上的数是50。
3. 用1~10十个
数随意排成一排。如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它
们变换位置。如此操作直到前面的数都
小于后面的数为止。已知10在这列数中
的第6位,那么最少要实行_____次交换。最多要实行__
___次交换。
答案：4次；40次。
解析：当排列顺序为1,2,3,4,5,10,6
,7,8,9时,交换次数最少,需交换4次；当
排列顺序为9，8，7，6，5，10，4，3，2，
1时，交换次数最多，需交换40次。
4. 5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,
找出一个最小数加上2,
找出一个最大数减2。连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的
5
个数可能是_____。
答案：20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21或19,19,20,21,
21。
解析：5个数的差距会越来越小，最后最大与最小数最多差2。最终的5个数可
能是2
0，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21。
5. 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为
一次变换.
比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到
的
两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)
作这样的连续变换
:
(15,40) (15,25) (15,10) (5,10)
(5,5)。
对(1024,111…1)作这样的连续变换，最后得到的两个相同的
20个1
数是_____。
答案：1。
页眉内容
解析
：变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即
为它们的最大公约数.因为
1024=2
10
,而
11…1
20个1没有质因子2，它们是互质的。所以最后得到的两个相同的数是1。
6. 在一块
长黑板上写着450位数89…（将9重复50次）。删去这个数中所有位
于奇数位上的数字；再删去所
得的数中所有位于奇数位上的数字；再删去…，并
如此一直删下去，最后删去的数字是_____。
答案：4。
解析：事实上,在第一次删节之后，留下的皆为原数中处于偶数位置上的数；在<
br>第二次删节之后，留下的数在原数中所处的位置可被4整除；如此等等。于是在
第八次删节之后,
原数中只留下处于第2
8
k=256k号位置上的数,这样的数在所
给的4
50位数中只有一个,即第256位数。由于256=9
28+4,所以该数处于第29组“9”中的第4个位置上。即为4。
7. 一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全
黑三角形分成四个全等的
小三角形,中间的小正三角形涂上白色,经过5次操作后,黑色部分是整个三角
形
的_____。
(1)
(2)
答案：
234
1024
333333243
,所
以5次变换为
=。
4444441024
解析：每一次黑三角形个数为整个的
十八 逻辑推理
1. 甲、乙、丙三人进行跑步比赛。A
、
B
、
C三人对比赛结果进
行预测。A说:
“甲肯定是第一名。”
B
说:“甲不是最后一名。”
C
说:“甲肯定不是第一名。”其
中只有一人对比赛结果的预测是对的.预测对的是 。
答案：C
。
解析：A、C的预测截然相反,必一对一错。因为只有一人对,
不论A
、
C谁对,B
必错,所以甲是最后一名,C对。
2. A、B、C、
D、E和F六人一圆桌坐下，B是坐在A右边的第二人，C是坐
在F右边的第二人，D坐在E的正对面,
还有F和E不相邻。那么,坐在A和B
之间的是 。
页眉内容
答案：E。
D
F
B
解析：根据题意画出下图可得出，E坐在A、B之间。
E
C
3. 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛。每两人都要比赛一盘,每胜一
A
盘得2分,和一盘得1分,输一盘得0分。到现在为止,甲赛了4盘,共得了2分；
乙赛了3盘,得了
4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分。那么
小明现在已赛了 盘，得了
分。
答案：2,3。
解析：由题意可画出比赛图,已赛过的两人之
间用线段引连。由图看出小明赛了2盘。因
为一共赛了六盘,共得12分,所以小明得了
12-(2+4+1+2)=3(分)。
4. 曹、钱、刘、洪四个人出差，住在同一个招待
所。一天下午,他们分别要找一
个单位去办事。甲单位星期一不接待,乙单位星期二不接待,丙单位星期
四不接待,
丁单位只在星期一、三、五接待，星期日四个单位都不接待.
曹:“两天前,我去误了一次,今天再去一次,还可以与老洪同走一条路。”
钱:“今天我一定得去,要不明天人家就不接待了。”
刘:“这星期的前几天和今天我去都能办事。”
洪:“我今天和明天去,对方都接待。”
那么,这一天是星期 ,刘要去 单位,钱要去 单位,曹要去
单位,洪要去 单位。
答案：三,丙,丁,甲,乙。
解析：由刘的讲话,
知这一天是星期三,刘要去丙单位。钱要去丁单位,曹去的是
甲单位,洪去的是乙单位。
5.
四位外国朋友住在十八层高的饭店里,他们分别来自埃及、法国、朝鲜和墨西
哥。
(1)A住的层数比C住的层数高,但比D住的层数低；
(2)B住的层数比朝鲜人住的层数低；
(3)D住的层数恰好是法国人住的层数的5倍；
丁
丙
小明
乙
甲
页眉内容
(4)如果埃及人住的层数增加2层,他与朝鲜人相隔的层数,恰好和他与墨
西哥人相隔的层数一样；
(5)埃及人住的层数是法国人和朝鲜人住的层数的和。
根据上述情况,请你确定A是 人,住在 层；B是 人,住在
层；C是 人,住在 层；D是 人,住在 层。
答案：埃及,8；法国，3；朝鲜，5；墨西哥，15。
解析：容易知道,墨西哥人住得最高
,埃及人次之,朝鲜人又次之,法国人最低,各
层次分别15,8,5和3。由(2)知B是法国人,由
(3)和D是墨西哥人,由(1)知A
是埃及人,而C是朝鲜人。
6． A
、
B
、
C
、
D四人定期去图书馆，四人中A
、
B二人每隔8
天(中间空7天,
下同)、C每隔6天、D每隔4天各去一次，在2月份的最后一天，四人刚好都
去了图书馆，那么从3月1日到12月31日只有一个人来图书馆的日子有____
天。
答案：51天。
解析：因为[8,6,4]=24,所以四人去图书馆的情况每24天循环一次(见下表):
每24天有4天只有1人去图书馆。3月1日至12月31日有306天,
30624=12…18，所以所求天数为412+3=51(天)。
十八 逆推法
1. 已知:
1
2
3
4
1
1
1<
br>1
1
5
1
x
=
501
,则
x
=_____。
718
答案：3。 解析：用逆推法解,如设
数取倒数后减1,得
1501
217
,求出
x
1
。事实上,依次由等号右边的
1x
1
718
501
2176716
；再取倒数后减2，得；再取倒数后减3，得；
50121767
31
再取倒数后减4,得；再取倒数后减5,得；再取倒数,求得
x3
。
163
2. 将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算
出答案,这样反复经
页眉内容
过4次,最后计算的结果为691,那么原数是_____。
答案：11。
解析：
从最后的结果往前逆推,结果是691,这是一个数的3倍减5得到的,这个
数应该是(691+5)<
br>
3=232,这是经过3次后的结果；同样可知,经过2次后的结果
为(232+5)
3=79；经过1次后的结果为(79+5)
3=28；因此,原数为<
br>(28+5)
3==11。
3. 小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说
：“把我的年龄加上17后用4除,再
减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_
____岁。
答案：83。
解析：采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100
<
br>10+15)
4-17=83(岁)。
4. 李老师拿着一批书送给36位
同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书
的一半给他,每位同学也都还她一本,最后李老师还剩下
2本书,那么李教师原来
拿了_____本书。
答案：2。
解析：最后李老师还剩
2本书,因此,他到第36位同学家之前应有(2-1)
2=2本
书；同样,他到3
5位同学家之前应有(2-1)
2=2本书;…；由上此可知,他到每
位同学家之
前都有2本书,故李老师原来拿了2本书。
5. 从某天起,池塘水面上的浮草,每天增加一倍,50
天后整个池塘长满了浮草,
第_____天时浮萍所占面积是池塘的
答案：48。
解
析：采用逆推法,第50天后整个池塘长满了浮草,因此,第49天时浮萍所占面
1
。
4
11
积是池塘的,第48天时浮萍所占面积是池塘的。
24
6.
一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的
多120个,第二天加工了剩下
的
1
5
11
少150个,第三天加工了剩下的多80个,第四
43<
br>1
天加工了剩下的少20个,第五天加工了最后的1800个。这批零件总数有多少
2<
br>个?
答案：第五天加工了最后的1800个,后两天共加工(1800-20)÷(1-
1
)=3560(个),
2
页眉内容
1
)=54
60(个),后四天共加工(5460-150)÷
3
11
(1-)=7080(个)
,因此,零件总数为(7080+120)÷(1-)=9000(个)。
45
后三天共加工(3560+80)÷(1-
解析：采用逆推法进行计算。
二十 分数问题
1. 已知
A151
123473
B
15C15.2D14.8.
A、B、C、D四
9934574
个数中最
大的是 。
答案：
B
。
解析：从题目看,A、B、C、
D中最大的,即为
151
14.8
1234
与
15
与15.2与
99345
7323
中最小的,容易求出,与B相乘的
1
5
最小,所以B最大。
7434
2.所有分子为11,而且不能化成有限小数的假分数共有 个。
答案：4。
解析：符合题意的假分数有
11111111
、、和共4个。
3679
3
3.在等式
a1b
中,a,b都是由三个数字1,4
,7组成的带分数,这两个带分数的
4
和是 。
答案：
11
11
。
28
11
4
解析：由
1,4,7三个数字组成的带分数有
1
,
4
,
7
,经验算,
只有
774
1111
a=
4
,b=
7
符合条件.a
+b=
11
。
7428
83323319
4.小林写了八个分数,
已知其中的五个分数是、、、、，如
7731722229183
3
果这八个分数从小
到大排列的第四个分数是，那么按从大到小排列的第三个
29
分数是 。
答案：
19
。
183
33819233
、、、、，因此<
br>39
提示:已知的五个分数从大到小排列依次为
未知的三个分数都小于
3
。
29
22
大并且最接近的是哪一个?
55
5.
在分母小于15的最简分数中,比
页眉内容
解析：设所求的分数为
m
,(m,n)=1,n<15。
n
m
25m2n
因为-=，
5nn5
2n1
,
5
由题目要求,取m、n使右边式子
大于0,且为最小,若5m-2n=1,则m=
当n<15时,使m为整数的最大整数n是12,此时,
m=5,差为
1
。
512
m25m2n22122
若5m-2
n1,则
.故此大并且最接近的
n55n5n514512
55
5
是。
12