五年级下册数学竞赛试题- 14讲 图形-五大模型 全国通用(含答案)
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图形-五大模型(一)
【名师解析】
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等,面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型(共角定理)
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如:
依次称之为A字型鸟头、X字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。
如图在
△ABC
中,
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图(或
D<
br>、
E
分别在
BA
、
CA
延长线上。
则有:
S
△ADE
ADAEADAE
S
△ABC
ABACABAC
三、蝴蝶定理模型(风筝模型)
(说明:任意四边形与四边形、长方形、梯形,连接对角线所成四部的比例关系是一样的。)
四、相似三角形模型(沙漏模型)
五、燕尾定理模型
【例题精讲】
例1
、
三角形
ABC
中,
BD
是
DC
的2倍,
AE
是
EC
的3倍。三角形
DEC
的面积为3平方厘米,求三角形<
br>ABC
的面积是多少平方厘米?
A
E
B
D
C
练习、在下图中,已知CF=2DF,DE=EA,△BCF的面积为
2,四边形BFDE的面积为4,求
△ABE的面积。
D
F
E
C
B
2
S=9cm
AB=2BD,AC=CE
DADE
例2、(1)在下
图中,,如果,求
S
DABC
?
A
1
A
B
D
C
E
练习、如
图在
△ABC
中,
D
在
BA
的延长线上,
E
在
AC
上,且
AB:AD5:2
,
AE:EC3:2
,
S
△ADE
12
平方厘米,求
△ABC
的面积.
D
A
E
B
C
1
3
AC,CF
1
3
BC
.三角形
DEF
的面积为多少平方厘
例3、正方形
ABCD
边长为6 厘米,
AE
米?
A
D
E
B
F
C
练
习、如图,
S
△ABC
1
,
BC5BD
,
AC
4EC
,
DGGSSE
,
AFFG
.求
S
A
F
G
B
D
E
S
C
FGS
.
例4、
一个长方形,被两条直线分成四个长方形,其中三个的面积是20亩、25亩
和30亩.问另一个
长方形的面积是多少亩?
2
p>
练习、
下图中,长方形被两条直线分成四个小长方形,其中三个的面积分别是12平
方米、
8
12
8平方米、20平方米,求另一个(图中阴影都分)长方形的面积。20
例5、如图,
S
2
2
,
S
3
4
,求梯形的面积?
S
1
S
2
S
3
S
4
练习5、如下图,梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
,对角线
AC
,
BD
交于
O
,已知
△AOB
与
△BOC
的面积分别为
25
平方厘米与
35
平方厘米
,那么梯形
ABCD
的面积是________平方厘米.
A
25
O
D
35
B
例六、如图,长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米,
EC2DE
,
F
是
DG
的中点.阴影部分的
面积是多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
C
ABCD
是边长为12厘米的正方形,
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点,
AF
与
CE
交于
G
,则四边形
AGCD
练习、
的面积是_________平方厘米.
D
C
F
G
A
E
B
【选讲】△ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,BE、CD相交于点F,
S
BD
F
10,S
CEF
16
,,
S
BCF
2
0
,求△ABC面积。
3
A
D
F
B
E
C
练习、△
ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,BE、CD相交于点F,
S
BCF
30,S
CEF
20
,,
AD:DB=4:3
,求图中各部分的
面积。
A
D
F
BC
E
【综合精练】
1、在三角形ABC中,三角形ABC的面积是1,D为AB的中点,CE=2DE,求三角形ADE的
面积?
C
E
A
B
2、已知A
BCD
是
平行四边形,已知阴影部分的面积是5
,
三角形ADG
与<
br>三角形BHC的面积
分别是7
与
6,则平行四边形ABCD
的
面积是多少?
E
A
G
F
H
B
D
3、 在下图中,已知AD是AB的2倍,AC:CE=2:3;如果三角形ADE比三角形ABC大4
平
方厘米,那么三角形ADE的面积是多少?
B
D
C
A
C
4、如下图,BD:AD=5:2;
AE:EC=2:1;FC:BE=2:1;如果△EFC的面积是7平方厘米,那么
△ADE的面积是
多少?
D
E
4
A
D
E
B
F
C
5、如图,三角形
ABC
的面积为3平方厘米,其中
AB:BE2:5
,
BC:CD3:2
,三角形
BDE
的面积是多少?
A
C
B
E
6、如图,四边形被两条对角线分成4个三角形
,其中三个三角形的面积已知,求:⑴三
角形
BGC
的面积;⑵
AG:GC
?
A
2
B
C
1
G
3
D
D
7、如下图,长方形ABCD被分成4块,E为中点,其中四边形AOED的面积为10,求
长方
形ABCD的面积是多少?
A
B
10
D
E
O
C
8、如图所示,在梯形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,对角线<
br>AC
,
BD
相交于点
O
。已知
AB
=5,<
br>CD
=3,
且梯形
ABCD
的面积为40,求三角形
OAB<
br>的面积。
D
O
C
A
B
5
9、如右图所示,正方形ABCD的边长为9厘米,E、F、G
是正方形边上靠近A和C的三等
分点。
(1)三角形BFG的面积=______(2)三角
形FAD的面积=______(3)三角形GFD的面积
=______(4)三角形GFE的面积=
______(5)三角形EGD的面积=______(6)三角形FED
的面积=______(7
)
FO:OD
=______(8)
EO:OG
=______
(9)三角形EOD的面积=______(10)三角形FOG的面积=______
10、如图所示,正方形
ABCD
的面积为100。
E
、
F
分别是
BC
和
DF
的重点,
DE
与BF
交
于
M
点,
DE
与
AF
交于<
br>N
点,那么阴影三角形
MFN
的面积为多少?
11、
如图长方形ABCD的面积是,其中P为线段CD的一个四等分点,那么求出图中阴影
部分的面积
是多少?那么还能不能求出图中其他图形的面积,若能,请求出三个比长方形面积小的三角形
?
D
M
O
A
P
N
C
B
12、如图,在长方形
ABCD
中,
AB6
厘米,
AD2
厘米,
AEEFFB
,
求阴影部分的面
积。
A
E
O
F
B
D
C
6
13.
【挑战竞赛】
在右图中,
ABCD
是平行四边形,
AM
=
MB
,
DN
=
CN
,
BE
=
EF
=
FC
,
四边
形
EFGH
的面积是 1, 求平行四边形
ABCD
的面积.
(
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学高年级组)
图形-五大模型(一)
【名师解析】
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等,面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型(共角定理)
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如:
依次称之为A字型鸟头、X字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。
如图在
△ABC
中,
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图(或
D<
br>、
E
分别在
BA
、
CA
延长线上。
则有:
S
△ADE
ADAEADAE
S
△ABC
ABACABAC
三、蝴蝶定理模型(风筝模型)
(说明:任意四边形与四边形、长方形、梯形,连接对角线所成四部的比例关系是一样的。)
7
四、相似三角形模型(沙漏模型)
五、燕尾定理模型
【例题精讲】
例1、
三角形
ABC
中,
BD
是<
br>DC
的2倍,
AE
是
EC
的3倍。三角形
DEC的面积为3平方厘米,求三角形
ABC
的面积是多少平方厘米?
A
E
B
答案:36
D
C
练习、在下图
中,已知CF=2DF,DE=EA,△BCF的面积为2,四边形BFDE的面积为4,求
△ABE的
面积。
D
F
E
C
B
答案:3
2
S=9cm
AB=2BD,AC=CE
DADE
例2、(1)在下
图中,,如果,求
S
DABC
?
A
A
B
D
C
E
答案:3
<
br>练习、如图在
△ABC
中,
D
在
BA
的延长线上,<
br>E
在
AC
上,且
AB:AD5:2
,
AE:EC
3:2
,
S
△ADE
12
平方厘米,求
△ABC
的面积.
D
A
E
B
C
答案:50
1
3
1
3
例3、正方形
ABCD
边长为6 厘米,
AE
厘米?
答案:10
AC,CFBC
.三角形
DEF
的面积为多少平方
8
A
D
E
B
F
C
FGS<
br>练习、如图,
S
△ABC
1
,
BC5BD
,AC4EC
,
DGGSSE
,
AFFG
.求
S
A
F
G
B
D
E
S
C
答案:110
.
例4、
一个长方形,被两条直线分成四个长方形,其中三个的面积是2
0亩、25亩和30亩.问另一个
长方形的面积是多少亩?
答案:37.5
练习、
下图中,长方形被两条直线分成四个小长方形,其中三个的面积分别是12平
方米、
8
12
8平方米、20平方米,求另一个(图中阴影都分)长方形的面积。20
答案:30
例5、如图,
S
2
2<
br>,
S
3
4
,求梯形的面积?
S
1
S
2
S
3
S
4
答案:9
练习5、如下图,梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
,对角线
AC
,
BD
交于
O
,已知
△AOB
与
△BOC
的面积分别为
25
平方厘米与
35
平方厘米,那么梯形
ABCD
的面积是________平方厘米.
9
A
25
O
D
35
B
C
答案:144
例六、如图,长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米,
EC2DE
,
F
是
DG
的
中点.阴影部分的
面积是多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
答案:512
ABCD
是边长为12厘米的正方形,
E
、
F
分
别是
AB
、
BC
边的中点,
AF
与
CE
交
于
G
,则四边形
AGCD
练习、
的面积是_________平方厘
米.
D
C
F
G
A
E
B
答案:96
【选讲】△ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,
BE、CD相交于点F,
S
BDF
10,S
CEF
16,,
S
BCF
20
,求△ABC面积。
A
D
F
BC
答案:90
E
练习、△A
BC中,D、E分别是边AB、AC上的点,BE、CD相交于点F,
S
BCF
3
0,S
CEF
20
,,
AD:DB=4:3
,求图中各部分的面
积。
A
D
F
BC
E
10
答案:BDF=907
EFD=2607
【综合精练】
2、在三角形ABC中,三角形ABC的面积是1,D为AB的中点,CE=2
DE,求三角形ADE的
面积?
C
E
A
B
D
答案:16
3、已知ABCD
是
平行四边
形,已知阴影部分的面积是5
,
三角形ADG
与
三角形BHC的面积
分别是7
与
6,则平行四边形ABCD
的
面积是多少?
答案:32
E
A
G
F
H
B
3、 在下图
中,已知AD是AB的2倍,AC:CE=2:3;如果三角形ADE比三角形ABC大4平
方厘米,那
么三角形ADE的面积是多少?
B
D
C
A
C
D
E
答案:5
<
br>4、如下图,BD:AD=5:2;AE:EC=2:1;FC:BE=2:1;如果△EFC的面积是7
平方厘米,那么
△ADE的面积是多少?
A
D
E
B
F
C
答案:6
<
br>5、如图,三角形
ABC
的面积为3平方厘米,其中
AB:BE2:5
,
BC:CD3:2
,三角形
BDE
11
的面积是多少?
A
C
D
B
E
答案:12.5
6、如图
,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求:⑴三
角形
BGC的面积;⑵
AG:GC
?
A
2
B
C
1
G
3
D
答案:
(1)6 (2)1:3
7、如下图,长方形ABCD
被分成4块,E为中点,其中四边形AOED的面积为10,求长方
形ABCD的面积是多少?
A
B
10
D
答案:24
O
E
C
8、如图所示,在梯形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,对角线
AC
,
BD
相交于点
O
。已知
A
B
=5,
CD
=3,
且梯形
ABCD
的面积为40,求三角
形
OAB
的面积。
D
O
C
A
B
答案:1258
9、如右图所示,正方形ABCD的边长为9厘米,E、F、G是正方形边上靠近A和C的三等
分点。
(1)三角形BFG的面积=_18_____(2)三角形FAD的面积=__13.5____(3
)三角形GFD
的面积=__36____(4)三角形GFE的面积=__18____(5)三角形
EGD的面积=__27____(6)
三角形FED的面积=__9____(7)
FO:O
D
=_2:3_____(8)
EO:OG
=__1:3___
(9)三角形EOD的面积=_275_____(10)三角形FOG的面积=__545____
12
10、如图所示,正方形
AB
CD
的面积为100。
E
、
F
分别是
BC
和
DF
的重点,
DE
与
BF
交
于
M
点,
DE
与
AF
交于
N
点,那么阴影三角形
MFN的面积为多少?
答案:
11、
如图长方形ABCD的
面积是,其中P为线段CD的一个四等分点,那么求出图中阴影部分的面积
是多少?那么还能不能求出图
中其他图形的面积,若能,请求出三个比长方形面积小的三角形?
D
M
O
A
答案:
P
N
C
B
12、如图,在长方形
ABCD
中,
AB6
厘米,
AD2
厘米,
AEEFFB
,
求阴影部分的面
积。
答案:
A
E
O
F
B
D
14.
C
【挑战竞赛】
在右图中,
ABCD
是平行四边形,
AM
=
MB
,
DN
=
CN
,
BE
=
EF
=
FC
,
四边
13
形
EFGH
的面积是 1, 求平行四边形
ABCD
的面积.
(
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题
D(小学高年级组)
答案:809
14