浮躁的社会-孙权劝学译文

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第九讲 数字迷中的计数
加减法数字迷中常用的小技巧：黄金三角、等式两边数字和除以9余数相同。
数字迷中的计数，经常用到枚举，需要熟练掌握枚举技巧，做到“有序分类、不重不漏”。
一定审清题目，尤其是各个字母是否必须互不相同。
第一单元：加减法竖式迷，第二单元：乘除法竖式谜，第三单元：横式数字迷。

9 01、【第一单元1】右式中的a、b、c、d分别代表0～9中的一个数码，互不相
同，并且满足a+ b＝2(c+d)，被加数有几种可能？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】方法一：枚举b（或d），5≤b≤9

ca1

ca1

互不相同，b+5必定进位，

，

bd 5


b5d10

ab2(cd)
4个未知数3个方程，枚举b的取值（b+5必定进位），5≤b≤9，即可求解：
a b
+ 5
------
c d

ca1
a3
b＝5，d＝0，a+5＝2(c+0)，2c＝a+5，

，解得

，ab＝35；

2ca5

c4

ca1

a2
b＝6，d＝1，a+6＝2(c+1)，2c＝a+4，

，解得

，ab＝26；

2ca4

c3

ca1

a1
b＝7，d＝2，a+7＝2(c+2 )，2c＝a+3，

，解得

，c和d相同，弃；

2 ca3

c2

ca1

a0
b＝8 ，d＝3，a+8＝2(c+3)，2c＝a+2，

，解得

，a首位非0 ，弃；

2ca2

c1

ca1

a1
b＝9，d＝4，a+9＝2(c+4)，2c＝a+1，

，解得

，弃；

2ca1

c0
综上，被加数ab有2种：26、35。
方法二：弃九法
一次进位，弃一个9，所以a+b+5＝c+d+9，2(c+d)+5＝c+d+9，c+d＝4。
拆分4：c+d＝1+3，无解；c+d＝3+1，31-5＝26；c+d＝4+0，40-5＝35 。
被加数有2种：26、35。
【答案】2。

902、【第一单元2 】右式中的a、b、c、d分别代表0～9中的一个数码，互不相
同，并且满足c+d＝2(a+b)， 被减数有几种可能？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】方法一：枚举b(或d)，0≤b≤2
a b
- 3
------
c d
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
ca1

ca1

互不相同，b-3必定借位，

，

db7


d(10b)3

cd2(ab)
4个未知数3个方程，枚举b的取值（b-3必定借位），0≤b ≤2，即可求解：

ca1

a6
b＝0，d＝7，c+7 ＝2(a+0)，c＝2a-7，

，解得

，ab＝60；
< br>c2a7

c5

ca1

a5
b＝1，d＝8，c+8＝2(a+1)，c＝2a-6，

，解得

，a b＝51

c2a6

c4

ca1

a4
b＝2，d＝9，c+9＝2(a+2)，c＝2a-5，

，解得

，ab＝42。

c2a5

c3
综上 ，被加减ab有3种：42、51、60。
方法二：弃九法
一次进位，弃一个9，所以c+ d+3＝a+b+9，2(a+b)+3＝(a+b)+9，a+b＝6。
拆分6：a+b＝1+5，15-3＝12，数字重复；a+b＝2+4，24-3＝21，数字重复；
a+b＝4+2，42-3＝39；a+b＝5+1，51-3＝48；a+b＝6+0，60-3＝5 7。
被减数有3种：42、51、60。
【答案】3。

903、【第 一单元3】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且没
有零，则“美妙数学花 园”代表的6位数有多少种情况？
【难度级别】★★☆☆☆
2 0 0 7
【解题思路】由20与“和”的4个“好”知道，“好”＝2。

美 妙
最小的3个数的和＝1+2+3＝6，“妙”+“学”+“园”只能是15。

数 学

妙学园＝15
，拆分20成3个数字的和：


美数花＝20
+
花 园
20＝9+8+3，剩余数字：1、4、5、6、7，构造和15，15＝4+5+6；
20＝9+7+4，剩余数字：1、3、5、6、8，构造和15，15＝1+6+8；
20＝9+6+5，剩余数字：1、3、4、7、8，构造和15，15＝3+4+8；
20＝8+7+5，剩余数字：1、3、4、6、9，构造和15，无解。
3333
-----------
好 好 好 好
综上，共3种，3个数字可 以交换位置，每种
A
3
×
A
3
，总计：3×(
A< br>3
×
A
3
)＝108。
【答案】108。
904、【第一单元4】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1～9中
的7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则不同的填法共有多少种？
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】1+2+…+9＝45。和的数字和：2+0+0+6＝8。
第 十 一 届
加数的数字和(7个数字)：最小45-(8+9)＝28，最大45-(1+2)＝42。
+ 华 杯 赛
-------------
根据“和的数字和”与“加数数字 和”对9同余，在28～42之间，只有
2 0 0 6
8+3×9＝35，即弃3个九，进位3次，百位、十位、个位各进位1次。
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
届赛＝16

显然，“第”＝1，其 它的，

一杯＝9
，16拆分成2个数字的和，只有16＝9+7；剩
< br>十华＝9

余数字：1、2、3、4、5、6、8，只有9＝3+6＝4+5。 2个数字可以交换位置，“十”+“华”＝3+6有
A
2
×
A
2
×
A
2
＝8种，“十”+“华”＝
4+5也有
A
2
×
A
2
×
A
2
＝8种，共有8×2＝16种。
【答案】16。


a b c b d
905、【第一单元5】下面的竖式中，不同字母代表不同数字，相同字母代表相
- e f a g
同数字，那么有多少种满足竖式的填法？
-----------
【难度级别】★★☆☆☆
f f f
【解题思路】金三角，a＝1，b＝0，e＝9，竖式变成如图。
1 0 c 0 d
看十位的b-a，如果个位不借位，则f＝b-a＝10-1＝9，与e＝9相同，与
- 9 f 1 g
题意矛盾，所以个位一定向十位借位，则f＝10+b-1-a＝9-1＝8。
-----------
f f f
c被十位借位，c向千位借位，c-1+10－8＝8，c＝7。
10+d-g＝8，g- d＝2，在剩余数字2、3、4、5、6中有4-2＝5-3＝6-4＝2，
1 0 c 0 d
- 9 8 1 g
d和g有3种取值情况。
-----------
此题变成加法算式也可以，求解过程雷同。
8 8 8
【答案】3。

906、【第二单元1】右式是三位数与一位数相乘的算式, 每个方格填入一个数字,使算式成立,
那么有多少种不同的填法？
a b c
【难度级别】★☆☆☆☆
× d
【解题思路】方法一：枚举法
--------
1≤d≤9，d≠1、5、7、9，d＝2、3、4、6、8。
1 9 9 2
d＝2，abc＝996；
d＝6，abc＝332；
方法二：分解质因数
d是1992的因数，1992＝
2
3
×3 ×83，d可以等于2、3、4、6、8，共5种。
d＝3，abc＝664；
d＝8，abc＝249。
d＝4，abc＝498；
共5种。
222
222
【答案】5。

907、【第二单元2】在右边的式 子中，不相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同
的数字，满足条件的式子有多少个？
【难度级别】★☆☆☆☆
十 六 A B
【解题思路】先把汉字换成字母，容易看明白。
× 六× B
B只能＝5或6。
----------------
九 十 六 C A B
，A2，　255125

k1
B＝5，5A+2＝A+10k，< br>
；
k3，A7，　755375

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B＝6，6A+3＝A+10k，5A＝10k-3，10k－3不能被5整除，无解。
满足条件的式子共有2个。
【答案】2。

908、【第二单元3】右边 的竖式是2个三位数相乘，当abc取到最小值时，de2有多少种可
能的值？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】abc最小100，×e十位得不到1；abc＝10 1，×e十位也
得不到1；abc最小值为102。
abc×e十位需要进位1，所以e＝5 、6、7、8、9；abc×d十位不能
进位，所以d＝1、2、3、4。de2有5×4＝20种可能 的值。
【答案】20。




□□
909、【第二单元4】在空白的方框中填入适当的数字，使竖式成立，有多少
--------
5□□ □□□9
种可能的填法？


□□3
【难度级别】★★★☆☆
--------
【解题思路】①把能填的先填上。


□□□□
②商的十位是1，如图，红色的1、3、5可填。


□□6

□
--------
③除数个位是3，与商的个位乘积后积的个位是5，所以商个位是5。
9

4
④5A+1个位是6，故A=13579：
115



□□



□□



□□
A＝1时，513×15+94＝7789；
--------
-------- --------
A＝3时，533×15+94＝8089；
33
895□□ □□□89
5□□ □□□89
5□□ □□□
A
A＝5时，553×15+94＝8389；


□□53

□□53


□□3
--------
-------- --------
A＝7时，573×15+94＝8689；
5
9


□□□□5
9


□□□□5
9


□□□□
A＝9时，593×15+94＝8989。
5


□□6

□
5


□□6

□
5


□□6

□
共有5种填法。
--------
-------- --------
【答案】5。
9

4
9

4 9

4

910、【第三单元1】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个 方框中，2、4、6、8填入等号右
边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数， 那么可以得到多少种计
算结果？ □÷□+□+□□＝□÷□+□□
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】方法一：枚举法，左右两边分别分析
右边： 8÷4＝2，剩余数字(2、6)组成的两位数是26、62，右边结果28、64；
8÷2＝4，剩余数字(4、6)组成的两位数是46、64，右边结果50、68；
6÷2＝3，剩余数字(4、8)组成的两位数是48、84，右边结果51、87；
4÷2＝2，剩余数字(6、8)组成的两位数是68、86，右边结果70、88；
左边： 9÷3＝3，剩余数字(1、5、7)组成“□+□□”是22、58、76，左边结果25、61、79； < br>3÷1＝3，剩余数字(5、7、9)组成“□+□□”是66、84、102，左边结果69、87、1 05；
5÷1＝5，剩余数字(3、7、9)组成“□+□□”是46、82、100，左边结果51 、87、105；
7÷1＝7，剩余数字(3、5、9)组成“□+□□”是44、62、98，左边 结果51、69、105；
9÷1＝9，剩余数字(3、5、7)组成“□+□□”是42、60、7 8，左边结果51、69、87；




a

b

c
×


d

e

2
-------------


□ 0 □

□

1

□
□ 0

□
-------------
□

□

□

□

□





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左右两边都有的计算结果是：51、87，就2种计算结果。
如果问有多少种填法，则是：51有3种，87有2种，共3+2＝5种。
方法二：奇偶性分析
左边，3个奇数相加，结果是奇数；右边□□是偶数，所以，□÷□必须是奇数。
2、4、6 、8只有6÷2＝3是奇数，剩余数字4、8组成的两位数有48、84，计算结果是：
51、87，2 种。左边有多种填法，构造一组即可，5÷1+7+39＝51，5÷1+3+79＝87。
全部填法，51有3种，87有2种。
【答案】2。

911、【第三单元2】满足a +ab＝bc的式子（相同字母代表相同数字，不同字母代表不同
数字）有多少个？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】先变成竖式，便于观察。
a+b一定进位（否则十位的b＝a了），有：

ba1
，得到2a＝c+9。


abc10
a
+ a b
------
b c
看出c必须是奇数，对c枚举：
c＝1，a＝5，b＝6，式子是5+56＝61； c＝3，a＝6，b＝7，式子是6+67＝73；
c＝5，a＝7，b＝8，式子是7+78＝85； c＝7，a＝8，b＝9，式子是8+89＝97；
c＝9，a＝9，相同了，舍弃。 共有4个。
也可以对a枚举：a＝5、6、7、8， b＝6、7、8、9， c＝1、3、5、7，有4组解。
【答案】4。

912、【第三单元3】从1～ 9中选8个数填入下面的横式，使等式成立，
那么有多少种不同的填法？ □□□□+□□□□＝
□ □ □ □
10243
+ □ □ □ □
【难度级别】★★★☆☆
-------------
1 0 2 4 3
【解题思路】先变成竖式，便于观察。
一、先计算进位次数、不选的数字
a b c d
1+2+…+9＝45，1+0+2+4+3＝10，根据弃九，10+9k＝45-A。
+ e f g h
36≤45-A≤44，36≤10+9k≤44，k＝3，进位3次。
----------
10+9×3＝37，A＝45-37＝8，从1～9中不选8。
1 0 2 4 3
二、再分析进位
进位3次，千位一定进位，百位一定进位（如 果百位不进位，十位、个位都进位，百位
的2－1＝1，两个方框相加等于1，不可能），十位、个位有 一个不进位、有一个进位。
(1)个位不进位，十位进位


d h3

cg14

，只有1+2＝3，剩余数字3,4,5,6,7 ,9只有一组解，


bf11


ae9(2)十位不进位，个位进位
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3 4 5 1
+ 6 7 9 2
----------
1 0 2 4 3

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< br>dh13

cg3

，只有1+2＝3，剩余数字3,4,5 ,6,7,9有两组解：


bf12


ae9
3 5 1 4
+ 6 7 2 9
----------
1 0 2 4 3
4 3 1 6
+ 5 9 2 7
----------
1 0 2 4 3
共3组解，每组解中2个数字可以互换位置，不同填法共有：3×(2×2×2×2)＝48种。
【答案】48。

913、【第三单元4】一个四位数乘以4.5得到它的反序数，这样的四位数有多少个？
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】位值原理，不定方程。
4.5×abcd＝dcba，9×abcd×9＝2×dcba，
9000a+900b+ 90c+9d＝2000d+200c+20b+2a，化简后，818a+80b＝10c+181d。
显然a最大为2，a＝1、2。

c1

c9
(1) a＝1时，看个位，d＝8，818+80b＝10c+181×8，化简，8b＝c+63，

，



b8

b9
abcd＝1818、1998。
(2 )a＝2时，看个位，d＝6，818×2+80b＝10c+181×6，化简，8b+55＝c，无解。
综上，这样的四位数有2个：1818、1998。
【答案】2。

91 4、【学案1】英文“HALLEY”表示“哈雷”，“COMET”表示“彗星”，“EARTH”表示“地球 ”。
在下面的算式中，每个字母均表示0～9中的某个数字，且相同的字母表示
相同的数字，不 同的字母表示不同的数字。那么，有几种符合算式的填法？
H A L L E Y
- C O M E T
【难度级别】★★★★★
-------------
【解题思路】10个字母10个数字，一步一步分析。
E A R T H
①先求出H、T、Y
显然H＝1。
如果十位的E不被借位，则 T＝0，那么Y－T＝Y＝H，Y于H相同，不符合题意；所以十
位的E被借位了，T＝9，Y－T＝H ，10＋Y－9＝1，故Y＝0。
②看百位是否向千位借位
1 A L L E 0
- C O M E 9
(1)若百位不向千位借位
----------- --
R+M＝L-1，R+M+1＝L，剩下数字：2、3、4、5、6、7、8，2+3+1＝6，< br> E A R 9 1
L最小为6。
1)若L＝6
则R+M＝5，只 有(R,M)＝(2,3)，千位上A+O＝L＝6，在剩下的4、5、7、8四个数字中，
没有2个数 字和为6，无解；
2)若L＝7
则R+M＝6，只有(R,M)＝(2,4)，千位上A+ O＝L＝7，在剩下的3、5、6、8四个数字中，
没有2个数字和为7，无解；
3)若L＝8
则R+M＝7，(R,M)＝(2,5)或(3,4)
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若(R,M)＝(2,5)
千位上A+O＝L＝8，在剩下的3、4、6、7四个数字中，没有2个数字和为8，无解；
若(R,M)＝(3,4)
千位上A+O＝L＝8，在剩下的2、5、6、7四个数字中，2 ＋6＝8，则(A,O)＝(2,6)，
最后剩下5、7，万位上E+C＝A+10，而5＋7＝12， 可以确定A＝2，O＝6，(E,C)＝
(5,7)。由于E和C可以交换位置、R与M可以交换位置， 所以填法有四个。
(2)若百位向千位借位
R+M＝10+L-1，R+M-9＝L，剩下 数字：2、3、4、5、6、7、8，7+8-9＝6，
1 A L L E 0
- C O M E 9
L最大为6；R+M＝L+9。
-------------
1) 若L＝2
E A R 9 1
则R+M＝11，(R,M)＝(3,8)或(4,7)或(5,6)，千位上A+O＝10+L-1＝11。
除了L＝2外剩下的3、4、5、6、7、8六个数字的数字和为33，R+M＝11、A+O＝11，
33－11×2＝11，所以必有E+C＝11，但万位上E+C＝A+9，可得A＝2，与L＝2矛盾 ；
2)若L＝3
则R+M＝12，(R,M)＝(4,8)或(5,7)，千位上A+O＝ 10+L-1＝12；这时还剩下2、6，万位
上E+C＝A+9，即2＋6＝A+9，A无解；
3)若L＝4
则R+M＝13，(R,M)＝(5,8)或(6,7)，千位上A+O＝10 +L-1＝13；这时还剩下2、3，万位
上E+C＝A+9，即2＋3＝A+9，A无解；
4)若L＝5
则R+M＝14，(R,M)＝(6,8)，千位上A+O＝10+L-1＝1 4；而在剩下的2、3、4、7四个数
字中，没有2个数字和为14，无解；
5)若L＝6
则R+M＝15，(R,M)＝(7,8)，千位上A+O＝L-1＝5，则(A,O)＝(2,3)； 这时还剩下4、5，
万位上E+C＝A+9，即4＋5＝A+10，A无解；
【答案】4。

915、【学案2】在右边的式子中，相同的汉字代表相同的数字，
十 六
A B
× 四
× C
不同的汉字代表不同的数字，满足条件的式子有多少个？
---------
-------
【难度级别】★★★★☆
六 十 四
B A C
【解题思路】先把汉字换成字母，容易看明白。
AB×C＝BAC， 位置原理，(10A+B)×C＝100B+10A+C，C(B-1)+10A(C-1)＝100B， 
C任意

C2k

C5
所以，10|C(B- 1)，C≠0，

，

，

。
B15
B12k
B10



(1)C＝5时，5(B-1)+ 40A＝100B，8A＝19B＋1，无符合题意的解。

A5

A 2
(2)B＝1时，A(C-1)＝10，有2组解：

，

；51 ×3＝153，21×6＝126。
C3C6

(3)B＝6时，5C+10 A(C-1)＝600，2A(C-1)+C＝120，此处主要思考A(C-1)的大小；
因为0＜C＜10，所以110＜2A(C-1)＜120，有55＜A(C-1)＜60；
只有56满足,A(C-1)＝56＝7×8。
若A＝8则C-1＝7，C＝8，A、C相同，矛盾；
所以A＝7，C-1＝8，C＝9，但是2×56+C＝120，得到C＝8，矛盾。
B＝6时，无解。
【答案】2。
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916、【学案3】横式中每一个□都代表一个数字，那么有多少种满足等式的
填法？ □+□□+□□□＝□□□□
【难度级别】★★★★★★
【解题思路】提供两种方法。
方法一、变竖式，加数百位填8或9，根据十位进位情况考虑
假设个位上的三个数字从上而下分别是a、b、c。
(一) 百位填8
十位必须向 百位进位2，十位也必须是9＋9＝18，而且个位也必须向十位
进位2。十位是：18＋2＝20，百 位是：8＋2＝10，这样百位、千位固定，只
需要分析个位即可。个位20≤a+b+c≤27，a≠ 0。
1) a+b+c＝27，9+9+9，1种；
2) a+b+c＝26，9+9+8，3种；
3) a+b+c＝25，9+9+7、9+8+8，3＋3＝6种；
4) a+b+c＝24，9+9+6 、9+8+7、8+8+8，3+
A
3
2
+1＝10种；
5) a +b+c＝23，9+9+5、9+8+6、9+7+7、8+8+7，3+
A
3
2< br>+3+3＝15种；
□
□ □
+ □ □ □
-----------
□ □ □ □
□
9
□ □
8
9+ □ □ □
-----------
100
□ □ □ □
6) a+b+c＝22，9+9+4、9+8+5、9+7+6、8+8+6、8+7+7，3 +
A
3
2
+
A
3
2
+3+3＝21种；
7) a+b+c＝21，9+9+3、9+8+4、9+7+5、9+6+6、8+8+5、8+7+ 6、7+7+7，
3+
A
3
2
+
A
3
2
+3+3+
A
3
2
+1＝28种；
8) a+b+c＝2 0，9+9+2、9+8+3、9+7+4、9+6+5、8+8+4、8+7+5、8+6+6、7+7+6，
3+
A
3
2
+
A
3
2
+
A
3
2
+3+
A
3
2
+3+3＝36种；
共有：1+3+6+10+15+21+28+36＝120种。
(二) 百位填9，十位进1
百位、千位固定，十位10≤d+e+k≤19，d≠0，k为个位向十位的进位 ，k＝0、1、2，当
d+e＝18时k≠2。
①个位不进位，k＝0，1≤a+b+c≤9，10≤d+e≤18
□
＝<1,9>，
d
□ □
<2,9>、<2,8>，
9
e+ □ □ □
<3,9>、<3,8>、<3,7>，
-----------
10
<4,9>、<4,8>、<4,7>、<4,6>，
□ □ □ □
<5,9>、<5,8>、<5,7>、<5,6>、<5,5>，
……
<9,9>、<9,8>、<9,7>、<9,6>，<9,5>、…、<9,1>；
有1+2+3+…+9＝45个。
＝<1,0,0>、<1,0,1>、< 1,0,2>、…、<1,0,5>、<1,0,6>、<1,0,7>、<1,0,8>，
<1,1 ,0>、<1,1,1>、<1,1,2>、…、<1,1,5>、<1,1,6>、<1,1,7>，
<1,2,0>、<1,2,1>、<1,2,2>、…、<1,2,5>、<1,2,6>，
<1,3,0>、<1,3,1>、<1,3,2>、…、<1,3,5>，
……
<1,7,0>、<1,7,1>，
<1,8,0>；
有9+8+7+…+2+1个。
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< br><2,0,0>、<2,0,1>、<2,0,2>、…、<2,0,5>、<2,0,6>、<2,0, 7>，
<2,1,0>、<2,1,1>、<2,1,2>、…、<2,1,5>、<2,1,6>，
<2,2,0>、<2,2,1>、<2,2,2>、…、<2,2,5>，
……
<2,6,0>、<2,6,1>，
<2,7,0>；
有8+7+…+2+1个。
……
<8,0,0>、<8,0,1>，
<8,1,0>；
有2+1个。
<9,0,0>；
有1个。
共有：1×9 +2×8+3×7+4×6+5×5+6×4+7×3+8×2+9×1＝165个。
此情况有：45×165＝7425。
②个位进1，k＝1，10≤a+b+c≤19，9≤d+e≤18
□
＝<1,9>、<1,8>，
d
□ □
9
e
<2,9>、<2,8>、<2,7>，
+ □ □ □
-----------
<3,9>、<3,8>、<3,7>、<3,6>，
10
□ □ □ □
……
<8,9>、<8,8>、<8,7>、<8,6>，…、<8,2>、<8,1>；
<9,9>、<9,8>、<9,7>、<9,6>，…、<9,2>、<9,1>、<9,0>；
有2+3+4…+10＝54个。
＝<1,0,9>，
<1,1,9>、<1,1,8>，
<1,2,9>、<1,2,8>、<1,2,7>，
<1,3,9>、<1,3,8>、<1,3,7>、<1,3,6>，
……
<1,7,9>、<1,7,8>、…、<1,7,2>，
<1,8,9>、<1,8,8>、…、<1,8,2>、<1,8,1>，
<1,9,9>、<1,9,8>、…、<1,9,2>、<1,9,1>、<1,9,0>；
有(1+2+3+4…+9+10)个。
<2,0,9>、<2,0,8>，
<2,1,9>、<2,1,8>、<2,1,7>，
<2,2,9>、<2,2,8>、<2,2,7>、<2,2,6>，
……
<2,7,9>、<2,7,8>、…、<2,7,2>、<2,7,1>，
<2,8,9>、<2,8,8>、…、<2,8,2>、<2,8,1>、<2,8,0>，
<2,9,8>、…、<2,9,2>、<2,9,1>、<2,9,0>；
有(2+3+4…+9+10)+(9)个。
有(3+4…+9+10)+(9+8)个。
有(4…+9+10)+(9+8+7)个。
……
<9,0,9>、<9,0,8>、…、<9,0,2>、<9,0,1>，
<9,1,9>、<9,1,8>、…、<9,1,2>、<9,1,1>、<9,1,0>，
……
<9,9,1>、<9,9,0>；
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有(9+10)+(9+8+…+2)个。
共有：1×1+2×2+…+9×9+9×10+(8×9+7×8+…+1×2)＝375+240＝615 。
此情况有：54×615＝33210。
□
③个位进2，k＝2，20≤a+b+c≤27，8≤d+e≤17
d
□ □
＝<1,9>、<1,8>、<1,7>，
9
e+ □ □ □
<2,9>、<2,8>、<2,7>、<2,6>、，
-----------
10
……
□ □ □ □
<7,9>、<7,8>、<7,7>、<7,6>，…、<7,2>、<7,1>；
<8,9>、<8,8>、<8,7>、<8,6>，…、<8,2>、<8,1>、<8,0>；
<9,8>、<9,7>、<9,6>，…、<9,2>、<9,1>、<9,0>；
有3+4…+9+10+9＝61个。
□
20≤a+b+c≤27，有120种。
9
□ □
此情况有：61×120＝7320。
9
9+ □ □ □
(三) 百位填9，十位进2
-----------
110
百位、千位固定，个位20≤a +b+c≤27，有120种。
□ □ □ □
综上，共有：120+(7425+33210+7320)+120＝48195。

方法二、根据三位数的取值范围考虑，归为4种情况
还是看横式：□+□□+□□□＝□□□ □，三位数最小为：1000-99-9＝892，从892～
999共108个数，枚举找规律，分为 4种情况。。
(一) 三位数为892～900时
892：9+99，1种；
893：9+99、9+98、8+99，1+2＝3种；
894：9+99、9+98、9+97、8+99、8+98、7+99，1+2+3＝6种；
……
900：1+2+3+…+9＝45种。
(二) 三位数为901～981时
901：2+3+4+…+9+10＝12×9÷2种；
902：3+4+5+…+10+11＝14×9÷2种；
903：4+5+6+…+11+12＝16×9÷2种；
……
981：82+83+84+…+90＝172×9÷2种。
(三) 三位数为982～988时
982：(83+84+85+86+87+88+89+90)+(90 )＝90×9-(1+2+3+4+5+6+7)种；
983：(84+85+86+87+88+8 9+90)+(90+90)＝90×9-(1+2+3+4+5+6)种；
984：(85+86+ 87+88+89+90)+(90+90+90)＝90×9-(1+2+3+4+5)种；
……
988：(89+90)+(90+90+90+90+90+90+90)＝90×9-(1)种；
(四) 三位数为989～999时
989：(90)+(90+90+90+90+90+90+90+90)＝90×9种；
……
每一个都有90×9种，共11个90×9。
计算总数
将第一部分 的前7项与第三部分结合计算，共7个90×9；然后再与第四部分结合，共
7+11＝18个90×9 ，即90×9×18＝14580种。
这样，第一部分剩下36＋45＝81种；第二部分(12+1 4+16+…+172)×9÷2＝33534种。
全部合计共有：14580+81+33534＝48195种。
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【答案】48195。

□ □ 5 □
917、【作业1】满足这个竖式的填法一共有多少种？
- □ 5 □
-----------
【难度级别】★☆☆☆☆
□ □
【解题思路】金三角，10-9。差的十位是：(5-1+10)-5＝9。
假设个位从上而下是a、b，因个位要向十位借位，a＜b。
b＝1时，a＝0，1个；
b＝2时，a＝0、1，2个；
b＝3时，a＝0、1、2，3个；
b＝4时，a＝0、1、2、3，4个；
b＝5时，a＝0、1、2、3、4，5个；
b＝6时，a＝0、1、2、3、4、5，6个；
b＝7时，a＝0、1、2、3、4、5、6，7个；
b＝8时，a＝0、1、2、3、4、5、6、7，8个；
b＝9时，a＝0、1、2、3、4、5、6、7、8，9个；
共有：1+2+3+…+9=45种。
【答案】45。

918、【作业2】把1～9各一个填入竖式的方框中，使其成立，那么有多少种
填法？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】1+2+3+…+9＝45，9+9+9＝27，45-27＝18＝9×2。
发生2次进位，发生在个位、十位上。
个位3个数字和＝19，十位3个数字和＝18，百位3个数字和＝8。
分解8，8＝1+3+4＝1+2+5。
位 百位 十位 个位
数字和 8 18 19
① (5,6,7) (2,8,9)
(1,3,4)
② (2,7,9) (5,6,8)
③ (4,6,8) (3,7,9)
④ (1,2,5) (3,7,8) (4,6,9)
⑤ (3,6,9) (4,7,8)
一组解中的3个数 字可以交换位置，(
A
3
3
×
A
3
3
×< br>A
3
3
)×5＝1080。
□ □ 5 □
- □ 5 □
-----------
□ □
□ □ □
□ □ □
+ □ □ □
----------
9 9 9
【答案】1080。

919、【作业3】右式是三位数与一位数相乘的算式，每 个方格填入一个数字，使算式成立，
那么共有________种不同的填法。
□ □ □
【难度级别】★☆☆☆☆
× □
【解题思路】假设乘数为a，则3＜a≤9。
-----------
方法一、枚举，尝试
3 2 0 4
(1) a＝4，被乘数为3204÷4＝801；
(2) a＝5，积个位是4，不是5的倍数，a≠5；
(3) a＝6，被乘数为3204÷6＝534；
(4) a＝7，204-7＝197不是7 倍数，a≠7；
(5) a＝8，204不是8的倍数，a≠8；
(6) a＝9，被乘数为3204÷9＝356。共有3种不同的填法。
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方法二、分解质因数
3204＝
2
2< br>×
3
2
×89，3＜a≤9，a＝4、6、9，有3种。
【答案】3。

920、【作业4】满足右边竖式的六位数abcdef有多少个？
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】整体考虑，设abcde＝A，则Af×f＝fA。
abcdef＝Af＝10A+f为所求。
用位置原理拆开等式Af×f＝fA，可以得到关于A、f的不定方程，可求解。
Af×f＝ 100000f+A，10f×Af＝1000000f+10A+f-f，10f×Af＝1000000f+ Af-f，
(10f-1)×Af＝1000000f-f，Af＝
1000000ff< br>，将1～9带入f得到结果。
10f1
a b c d e f
× f
-------------
f a b c d e
当f＝1时，Af＝111111；当f＝4时，Af＝102564；f为其他值时无整数解。
【答案】2。

921、【作业5】在写好的123456789这9个数字中间的 8个空隙中填上加号或减号，使计算
结果等于27，那么有多少种填法？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】解法一，算术方法
如果都是加号，和应该 是45，结果是27，说明减了(45-27)÷2＝9，由于1前面不会有
减号，所以9＝2+7＝3 +6＝4+5＝2+3+4，有5种放置减号的方法。
解法二、方程
设前面放“+”的数字总和为A、前面放“-”的数字总和为B，则

AB45

A36
，解得。


AB27
B9


讨论B＝9的分拆(注意1前面不能是减号)：
(1)拆成1个数之和，9＝9，1种；
(2)拆成2个数之和，9＝2+7＝3+6＝4+5，3种
(3)拆成3个数之和，9＝2+3+5，1种；4个数之和最小1+2+3+4＝10＞9。

共有：1+3+1＝5种。
【答案】5。


922、【作业6】从1～9这9个数字中选出8个数填入式子中，使等式成立，有多少种填法？

□□□□-□□□□＝1111
【难度级别】★★★☆☆
□ □ □ □
- □ □ □ □
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-------------
1 1 1 1

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【解题思路】变成竖式。
因为没有0，所以不存在10-9＝1的情况，也就是说每个数位上，都是相邻的2个数相
减； 相邻是一奇一偶，所以共4奇4偶，弃掉1个奇数。

弃掉的数可能是1、3、5、7、9五种情况：
弃1：剩下8个组成4组相邻数(3,2)、 (5,4)、(7,6)、(9,8)，数位可以不同，
A
4
4
；

弃3：剩下8个组成4组相邻数(2,1)、(5,4)、(7,6)、(9,8)，数位可以不同，< br>A
4
4
；
弃5：剩下8个组成4组相邻数(2,1)、(4,3)、 (7,6)、(9,8)，数位可以不同，
A
4
4
；
弃7：剩下8 个组成4组相邻数(2,1)、(4,3)、(6,5)、(9,8)，数位可以不同，
A
4< br>4
；

弃9：剩下8个组成4组相邻数(2,1)、(4,3)、(6,5) 、(8,7)，数位可以不同，
A
4
4
。
共有：5×
A
4
4
＝120种。
【答案】120。


923、【补充】一个n位正整数H，放在任意两个数字后，得到2个n+1位数，这2个n +1位
数乘积的末位与H相同，称H为吉祥数，求不超过三位的吉祥数的和。

【难度级别】★★★★★
【解题思路】(1)n＝1，H＝1、5、6。一位共有3个。
(2)n＝2，设H＝ab，则Xab×Yab＝…ab

Xab×Yab的末两位 与数字X、Y无关，Xab×Yab的末两位等于ab×ab＝
ab
的末
两位，
ab
＝…ab，100|
ab
-ab，100|ab(ab-1)。

因为b×b＝b，所以b＝1、5、6。
① b＝1时，100|a1×a0，a＝0，弃；
② b＝5时，100|a5×a4，十位(4a+2)+5a＝9a+2，a＝2，H＝ab＝25；
③ b＝6时，100|a6×a5，十位(5a+3)+6a＝11a+3，a＝7，H＝ab＝76。
两位共有2个。
(3)n＝3，设H＝abc，则Xabc×Yabc＝…abc
Xabc×Yabc的末三位与数字X、Y无关，Xabc×Yabc的末三位等于
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22
2
a 5
× a 4
--------
4a+2 0
5a
--------
a 6
× a 5
--------
5a+3 0
6a
--------
a 7 6
× a 7 5
----------
5a+3 8 0
3 2
6a
----------

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abc×abc＝
abc
的末三位，
abc
＝…abc，
1 000|
abc
-abc，1000|abc(abc-1)。
因为bc×bc＝…bc，所以bc＝25、76。
① bc＝25时，1000|a25×a24，
百位(4a+1)+5+5a＝9a+6，a＝6，H＝abc＝625；
② bc＝76时，1000|a76×a75，
百位(5a+3)+3+6a+1＝11a+7，a＝3，abc＝376。
三位共有2个。
综上，吉祥数共有3+2+2＝7个，这7个吉祥数的和为：1+5+6+25+76+625+376 ＝1114。
【答案】1114。

924、【数字游戏】下面一些数和数列，均可以猜一个成语，你知道几个？
(1)0000
(6)156




(2)
2
22
a 2 5
× a 2 4
----------
4a+1 0 0
5 0
5a
----------
7

8
(3)一817 (4)

(5)1%
(7)1,2,5,6,7,8,9 (8)8+7＝5 (9)9÷9＝1 (10)
1000
2
=
100
3

(13)12345 (14)12435 (15)5,10
(18)333 555 (19)
(11)10×1000＝10000 (12)3333333322
(16)1×
x
＝
x
(17)1+2+3
1

2
(20)12345609
(5) 百里挑一
(10)千方百计
(15)一五一十
(20)七零八落
【答案】(1) 万无一失 (2) 七上八下
(6) 吆五喝六 (7) 丢三落四
(11)成千上万 (12)三长两短
(16)一成不变 (17)接二连三



(3)横七竖八
(8)缺衣少食
(13)屈指可数
(18)三五成群
(4)不三不四
(9)九九归一
(14)颠三倒四
(19)一分为二
Liqingzhou
2013.12.7
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