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2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试
上海 数学试卷（理工农医类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在 答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格
填对得4分，否则一律得零分.
1、设x< br>R
,则不等式
x31
的解集为___________________ ___
2、设
Z
32i
，期中
i
为虚数单位，则Imz
=______________________
i
3、已知平行直线
l
1
:2xy10,l
2
:2xy10
，则< br>l
1
,l
2
的距离_______________
4、某 次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则 这组数据的中位数是_________
（米）
5、已知点
(3,9)
在函 数
f(x)1a
的图像上，则
f(x)的反函数f
x1
(x) ________

6、如图，在正四棱柱
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
的边长为3，< br>BD
1
与底面所成角的大小为
arctan
，
则该正四棱柱的 高等于____________
7、方程
3sinx1cos2x
在区间
0,2


上的解为___________ 学.科.网
2
3
2

8、在

3
x

的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________
x
< br>9、已知
ABC
的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_____ ____
n

axy1
10、设
a0,b0.
若 关于
x,y
的方程组

无解，则
ab
的取值范围是___ _________
xby1

11.无穷数列

a
n

由k个不同的数组成，
S
n
为

a
n

的前n项和.若对任意
nN

，
S
n


2,3

，则k的最大值
为.
12.在平面直角坐标 系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线
y1x
2
上一个动点，则< br>BPBA
的取值
范围是.
13.设
a,bR,c
< br>0,2


，若对任意实数
x
都有
2sin

3x





asin

bxc

，则满足条件的有序实数组
3


a,b,c

的组数为.
14.如图，在平面直角坐标系
xOy
中，O为正八 边形
A
1
A
2
A
8
的中心，
A
1

1,0

.任取不同的两点
A
i
,A
j
，点P满足
OPOA
i
OA
j
0
，则点P

落在第一象限的概率是.
二、选择题（5×4=20）
15.设< br>aR
，则“
a1
”是“
a
2
1
”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）
（A）

65cos

（B）

65sin


（C）

65cos

（D）

65sin



17.已知无穷等比数列< br>
a
n

的公比为
q
，前n项和为
S
n
，且
limS
n
S
.下列条件中，使得
2S
n
SnN

n

恒成立的是（ ）
（A）
a
1
0,0.6q0.7
（B）
a
1
0,0.7q0.6

（C）
a
1
0,0.7q0.8
（D）
a
1
0,0.8q0.7

18、设
f( x)
、
g(x)
、
h(x)
是定义域为
R
的三个函 数，对于命题：①若
f(x)g(x)
、
f(x)h(x)
、
g (x)h(x)
均为增函数，则
f(x)
、
g(x)
、
h (x)
中至少有一个增函数；②若
f(x)g(x)
、
f(x)h(x)
、
g(x)h(x)
均是以
T
为周期的函数，则
f(x)
、
g(x)
、
h(x)
均是以
T
为周期的函数，下 列判断正确的是
（ ）
A
、①和②均为真命题
B
、①和②均为假命题
C
、①为真命题，②为假命题
D
、①为假命题，②为真命题 学科.网

三、解答题（74分）
»
19.将边长为1的正方形
AAO< br>
，
¼
A
1
B
1
长
11
O
（及其内部）绕的
OO
1
旋转一周形成圆柱，如图，
AC
长 为
为
2
3

，其中
B
1
与
C在平面
AAO
11
O
的同侧。
3
B
1

A
1

（1）求三棱锥
CO
1
A
1
B
1
的体积；学.科网
（2）求异 面直线
B
1
C
与
AA
1
所成的角的大小。








A

C

20、（本题满分14）
有一块正方形菜地
EFGH
,
EH
所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到
F
点或河 边运走。于是，菜地
分为两个区域
S
1
和
S
2
，其 中
S
1
中的蔬菜运到河边较近，
S
2
中的蔬菜运到
F
点较近，而菜地内
S
1
和
S
2
的分
界线
C
上的点到河边与到
F
点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其
中 原点
O
为
EF
的中点，点
F
的坐标为（1,0），如图
（1）求菜地内的分界线
C
的方程
（2）菜农从蔬菜运量估计出
S
1
面积是
S
2
面积的两倍，由此得到
S
1
面积
8
。设
M
是
C
上纵坐标为1的点，请计算以
E H
为一边、
3
另一边过点
M
的矩形的面积，及五边形
EOM GH
的面积，并判断哪一
的“经验值”为
个更接近于
S
1
面 积的经验值








21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
< br>y
2
双曲线
x
2
1(b0)
的左、右焦点分别 为
F
1
、F
2
，直线
l
过
F
2< br>且与双曲线交于
A、B
两点。
b
2
（1）若
l的倾斜角为

，
F
1
AB
是等边三角形，求双曲线的 渐近线方程；
2
（2）设
b
uuuruuuruuur
3
，若
l
的斜率存在，且
(F
1
AF
1
B)A B0
，求
l
的斜率. 学科&网









22.（本题满分16分）本题共有3个小题， 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知
aR
，函数< br>f(x)log
2
(
1
a)
.
x

（1）当
a5
时，解不等式
f(x)0
；
（2）若 关于
x
的方程
f(x)log
2
[(a4)x2a5]0
的解集中恰好有一个元素，求
a
的取值范围；
（3）设
a0，若对任意
t[,1]
，函数
f(x)
在区间
[t,t1]
上的最大值与最小值的差不超过1，求
a
的
取值范围.









23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若无穷数列
{a
n
}
满足：只要
a
p
a
q
(p,qN
*
)
，必有
a
p1
a
q1
，则称
{a
n
}
具有性质
P
.
1
2
（1）若
{a
n
}
具有性质
P
，且a
1
1,a
2
2,a
4
3,a
5
2
，
a
6
a
7
a
8
21
，求
a
3
；
（2）若无穷数列
{b
n
}
是等差数列，无穷数列
{c
n
}
是公比为正数的等比数列，
b1
c
5
1
，
b
5
c
1
81
，
a
n
b
n
c
n
判断
{a
n
}
是否具有性质
P
，并说明理由；
（3）设
{b
n
}
是无穷数列，已知
a
n1
b
nsina
n
(nN)
.求证：“对任意
a
1
,{a
n
}
都具有性质
P
”的充要条
件为“
{b
n
}
是常数列”.


*