中国好声音第三季歌单-中秋节祝福

等差数列
1. 定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为
a
n
a
n1
d< br>（
d
为常数）（
n2
）；
2．等差数列通项公式
：
*
（1）
a
n
a1
(n1)ddna
1
d(nN)
（首项:
a1
，公差:d，末项:
a
n
）
（2）
a
n
a
m
(nm)d
． 从而
d
3．等差中项
a
n
a
m
；
nm
ab
2
（1）
如果
a
，
A
，b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项 ．即：
A
或
2Aab

（2）
等差中项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n- 1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2

4．等差数列的前n项和公式：
s
n

n (a
1
a
n
)

2
n(n1)
d

2
na
1


d
2
1
n(a
1
d)n

22
An
2
Bn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0）
5．等差数列的证明方法
（1）
定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
< br>)



a
n

是等差数列．
（2）
等差中项：数列

a
n

是等差数列2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2an1
a
n
a
n2
．
（3）
数列< br>
a
n

是等差数列

a
n
kn b
（其中
k,b
是常数）。
2
（4）
数列
< br>a
n

是等差数列

S
n
AnBn,（其中A、B是常数）。
注：（1）等差数列的通项公式及前
n
和公式中，涉 及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，

其中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即
知3求 2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a2d,a d,a,ad,a2d
…（公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a3d,ad,ad,a3d
,…（公差为2
d
）



7.等差数列的性质：
（1）
当公差
d0
时，等差数 列的通项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1d
是关于
n
的
一次函数，且斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
na
1

n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是
222
关于
n
的二次函数且常数项为0.
（2）
若公差
d0
，则为递增等差数 列，若公差
d0
，则为递减等差数列，若公
差
d0
，则为常数列 。
（3）
当
mnpq
时,则有
a
m
a< br>n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p
.
a< br>n

a
1

a,a,a,,a
n2
,a
n1
,a
n

a
2
a< br>n1
a
3
a
n2

，图示：
1

2

3

a
2
a
n1
注：
a
1
a
n
(4)
若{
a
n
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
，…也成等差数列
S
3m

aaaa
1
a
2m
a
2m1
a
3m
图示：
a

1

2

3

m

m

S
m
S
2m
 S
m
S
3m
S
2m
（5）
若等差数列
{ a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分别 为
A
n
、
B
n
，且
A
n
f(n )
，则
B
n
a
n
(2n1)a
n
A2n1
f(2n1)
.
b
n
(2n1)b
n
B
2n1
（6）
若

a
n

、

b
n

为等差数列，则

a
nb
n

为等差数列

练习：
1.等差数列
{a
n
}
中，
a
2
1,S
11
33
，求
{a
n
}
的通项公式。

2.等差数列
{a
n
}
前
n
项和记为
S< br>n
，已知
a
10
30
，
a
20
 50.

（1）求通项
a
n
；（2）若
S
n
242
，求
n.



3.若
a
6< br>a
9
a
12
a
15
20
求
S
20



4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前 六项均为正数，第七项起为负数，则
它的公差是多少？