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等差数列知识点
1.等差数列的定义：
a
n
a
n1
d
（
d
为常数）（
n2
）；

2．等差数列通项公式：

a
n
a
1
 (n1)ddna
1
d(nN
*
)
， 首项:
a
1
，公差:d，末项:
a
n

推广：
a
n
a
m
(nm)d
． 从而
d

3．等差中项
（1）如果
a
，
A，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
ab
或
2
a
n
a
m
；
nm
2Aab

（2）等差中项：数列
< br>a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2


4．等差数列的前n项和公式：
S
n
n(a
1
a
n
)
n(n1)d1
na
1
dn
2
(a
1
d)n
An
2
 Bn

2222
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S
n
是关于 n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数
2n1
时，
a
n1
是项数为2n+1的等差数列的中间项
S
2n1
2n1

a
1
a
2n1


2
2n1

a
n1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
乘以中间项）

5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n< br>d
(常数
nN
)



a
n

是等差数列．

（2） 等差中项： 数列

a
n

是等差数列
2a
n
a< br>n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n< br>a
n2
．
⑶数列

a
n

是等差数列

a
n
knb
（其中
k,b
是常数 ）。
（4）数列

a
n

是等差数列

S
n
An
2
Bn
,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n1< br>d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)



a
n

是等差数列．


7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前
n
和公式 中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，
其中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即
知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(n1)d
②奇数个数成等差，可设为„，
a2d,ad,a,ad,a2d
„（公差为d
）；
③偶数个数成等差，可设为„，
a3d,ad,ad,a3d< br>,„（注意；公差为2
d
）

8..等差数列的性质：

（1）当公差
d0
时，
等差数列的通项公式
a< br>n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于< br>n
的一次函数，且斜
率为公差
d
；
前
n
和
S
n
na
1

为0.

（2）若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
，则为递减等差数列，若公差
d0
，则为常数列。

（3）当
m npq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次函数且 常数项
222
a
m
a
n
2a
p
. < br>注：
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2

，

（4 ）若

a
n

、

b
n

为等差数列，则


a
n
b

，
< br>
1
a
n


2
b
n
< br>都为等差数列

(5) 若{
a
n
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S2n
，„也成等差数列

（6）数列
{a
n
}< br>为等差数列,每隔k(k

N
)项取出一项(
a
m
, a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,
)仍 为等差数
列

（7）设数列

a
n

是 等差数列，d为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项 的和，
S
n
是
前n项的和
1.当项数为偶数
2n
时，
*
S
奇
a
1
a
3
a
5
a
2n1

n

a
1
a
2n1

na
n

2
n

a
2
a
2n

S< br>偶
a
2
a
4
a
6
a
2n
na
n1

2
S
偶
S
奇< br>na
n1
na
n
n

a
n1a
n


S
奇
na
n
a

n

S
偶
na
n1
a
n1

2、当项数为奇数
2n1
时，则

S
奇
n1

S
2n1
S
奇
S
偶
(2n1 )a
n+1


S
奇
(n1)a
n+1



S
奇
S
偶
a
n+1< br>S
偶
n



S
偶
na
n+1

（其中
a
n+1
是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、
{b
n
}
的前
n
和分别为A
n
、
B
n
，且
则

A
n
f(n)
，
B
n
a
n
( 2n1)a
n
A
2n1
f(2n1)
.
b< br>n
(2n1)b
n
B
2n1

（9）等差数 列
{a
n
}
的前n项和
S
m
n
，前m项 和
S
n
m
，则前m+n项和
S
mn


mn



(10)求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函数，故可转化为求二次函 数的最值，但要注
意数列的特殊性
nN
。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和
即当
a
1
0，d0，
由

*
a
n
0
可得
S
n
达到最大值时的
n
值．

a
n1
0
（2） “首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。

a
n
0
即 当
a
1
0，d0，
由

可得
S
n
达到最小值时的
n
值．
a 0

n1
或求

a
n

中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数 ，
故
n
取离二次函数对称轴最近的整数时，
S
n
取最大值（ 或最小值）。若
S
p
=
S
q
则其对称轴
为
n
pq

2

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d
的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等差数列·基础练习题
一、填空题
1. 等差数列8，5，2，„的第20项为___________.
2. 在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________
3. 在等差数列中已 知
d
1
3
，a7=8，则a1=_______________
22
(ab)(ab)
4. 与的等差中项是________________-
5. 等差数列-10，-6，-2，2，„前___项的和是54
6. 正整数前n个数的和是___________
2
a
n

S＝3nn
n
7. 数列的前n项和，则
a
n
＝___________.
8. 在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________
9. 在等差数列中已 知
d
1
3
，a7=8，则a1=_______________

10. 在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。
11 在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。
12 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=3 0，则
从a15到a30的和是 ______ 。
13 已知等差数列 110， 116， 122，„„，则大于450而不大于602
的各项之和为 ______ 。
14若是方程的解，则
是关于的方程
＝________。
的两个根，则15若公差，且
＝________。

二、选择题
xx
lg2,lg(21),lg(23)
成等差数列，则x的值等于（ ） 1若
A.0 B.
log
2
5
C. 32 D.0或32
2、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于 （ ）
A、 B、 C、或 1 D、

3. 在等差数列

a
n

中
a
3
a
11
40
，则
a
4
a
5a
6
a
7
a
8
a
9
a10
的值为
（ ）

A.84 B.72
C.60 . D.48
4. 在等差数列

a
n

中，前15项的和
S
15
90
，
a
8
为（ ）
A.6 B.3
C.12 D.4
5. 等差数列

a
n

中,
a
1
a
2
a
3
24,a
18
a
19
a
20
78
,则此数列前20下
项的和等于
A.160 B.180
C.200 D.220
6. 在等差数列< br>
a
n

中,若
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
450
，则
a< br>2
a
8
的值等于
（ ）
A.45 B.75
C.180 D.300
2
a
n

S

Sn
n
n
7. 设是数列的前n项的和，且，则

a
n

是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比
数列
8. 数列3，7，13，21，31，„的通项公式是（ ）
32
a4n1
annn2

n
n
A. B.
2
ann1
D.不存在
n
C.
9、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且
a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）

A、 0 B、 100 C、10000 D、505000
10. 等差数列

a
n

中, a
1
a
2
a
3
24,a
18
a
19
a
20
78
,则此数列前20
下项的和等于
A.160 B.180
C.200 D.220

11一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别
是 24与30,若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有
（ ）
A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项

三、计算题
1.求集合
M

m|m2n1,nN*，且m60

中元素的个数，并求这些 元
素的和





2
a
n< br>
S5n3n
，求它的前3项，并2.设等差数列的前n项和公式是
n< /p>

求它的通项公式







3.如果等差数列

a
n

的前4项的和是2， 前9项的和是-6，求其前n
项和的公式。







4.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列

a
n

的有关未知数：
51
a
1
,d,S
n< br>5,
66
（1）求n 及
a
n
； （2）
d2 ,n15,a
n
10,求a
1
及S
n