小帅哥头像-公司年终总结

等差数列的概念及性质

一．选择题（共

12 小题）


1．等差数列 { a
n
} 中， a
2
＝7， a
6
＝ 23，则 a
4
＝（

）


A ．11

B ．13


C． 15


D． 17


2．在等差数列 { a
n
} 中， a
4
＝ 6， a
3
+a
5
＝ a
10
，则公差 d＝（


）


A．﹣1

B ．0


C． 1


D． 2


3．等差数列 { a
n
} 的前 n 项和为

S
n
，且 a
8
﹣ a
5
＝ 9， S
8
﹣S
5
＝ 66，则 a
33
＝（

）


A ．82

B ．97


C． 100


D． 115


4．在等差数列 { a
n
} 中，已知 a
2
+a
5
+a
12
+a
15
＝ 36，则 S
16
＝（

）


A ．288

B ．144


C． 572


D． 72


5．已知 { a
n
} 为递增的等差数列，

a
4
+a
7
＝ 2， a
5
?a
6
＝﹣ 8，则公差 d＝（

）


A ．6

B．﹣ 6


C．﹣ 2


D． 4



n

1

与 a
11
的等差中项是 15， a
1

2

3
＝

9，则

a
9
＝（

6．在等差数列 { a } 中，已知

a


+a +a


A ．24

B ．18


C． 12


D． 6


n


n
，且

a
1


8 12
＝

12，则

S
13
＝（

）


7．已知等差数列

{ a } 的前 n 项和为 S

+a +a


A ．104

B ．78


C． 52


D． 39


8．等差数列 { a
n
} 的前 n 项和为

S
n
，若 a
1
＝ 3，S
5
＝ 35，则数列 { a
n
} 的公差为（

）
A．﹣2

B ．2


C． 4


D． 7


9．在等差数列 { a
n
} 中，若 a
3
+a
5
+2 a
10
＝4，则 S
13
＝（

）


A ．13

B ．14


C． 15


D． 16


10．在等差数列 { a
n
} 中，若

2a
8
＝ 6+a
11
，则 a
4
+a
6
＝（

）


A ．6

B ．9


C． 12


D． 18


11．等差数列 { a
n
} 中， a
2
与 a
4
是方程 x
2
﹣ 4x+3 ＝ 0 的两根，则

a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
＝（

A ．6

B ．8


C． 10


D． 12


12．等差数列 { a
n
} 满足 4a
3
+a
11
﹣ 3a
5
＝ 10，则 a
4
＝（

）


A．﹣5

B ．0


C． 5


D． 10


二．填空题（共

5 小题）


13．数列 { a
n
} 中，若 a
n+1
＝ a
n
+3， a
2
+a
8
＝ 26，则 a
12
＝


．


14．在等差数列 { a
n
} 中， a
1
+3a
8
+a
15
＝120，则 3a
9
﹣ a
11
的值为

．


第1页（共 11页）


）


）

15．已知等差数列 { a
n
} ，{ b
n
} 的前 n 项和分别为 S
n
，T
n
，若

＝

，则

＝







．

时， S
n
取

16．等差数列 { a
n
} 中，前 n 项和为 S
n
， a
1
＜ 0， S
17
＜ 0， S
18
＞ 0，则当 n＝

得最小值．

17．等差数列 { a
n
} 、 { b
n
} 的前 n 项和分别为 S
n
、 T
n
，若





，则

＝

三．解答题（共 5 小题）



18．已知等差数列

{ a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，且 a
3
＝ 7， a
5
+a
7
＝26．


（Ⅰ）求

a
n
及 S
n
；




（Ⅱ）令 b
n
＝

（n∈N
+
），求证：数列

{ b
n
} 为等差数列．

19．已知等差数列

{ a
n
} 满足 a
1
+a
2
＝ 10， a
5
﹣ a
3
＝ 4．


（Ⅰ）求 { a
n
} 的通项公式；


（Ⅱ）设等比数列

{ b
n
} 满足 b
2
＝a
3
， b
3
＝ a
7
，问： b
6
是数列 { a
n
} 中的第几项？

n

n
为其前

n

项的和，已知



20．在等差数列

{ a } 中， S

（ 1）求 a
n
， S
n
；
（ 2）设数列 { S
n
} 中最大项为 S
k
，求 k 及 S
k
．
21．观察如图数表，问：

a
1 3
＝ 22， S
5
＝45．

+a


（ 1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？

（ 2）此表第 n 行的各个数之和是多少？

（ 3） 2012 是第几行的第几个数？














22．（理）在△ ABC 中， a， b，c 分别是角 A， B， C 的对边，且角

B，A， C 成等差数列．


2
（ 1）若 a﹣ c＝ b﹣ mbc，求实数 m 的值；
（ 2）若 a＝ ，求△ ABC 面积的最大值．
22










第2页（共 11页）

等差数列的概念及性质



参考答案与试题解析



一．选择题（共

12 小题）


1．等差数列 { a
n
} 中， a
2
＝7， a
6
＝ 23，则 a
4
＝（

A ．11



）

C． 15


B ．13

D． 17

【分析】 利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．

【解答】 解：∵等差数列

{ a
n
} 中， a
2
＝ 7，a
6
＝ 23，

∴







，解得 a
1
＝ 3，d＝ 4．

∴ a
4
＝ a
1
+3d＝ 3+12＝ 15．

故选： C．

【点评】 本题考查等差数列的第 4 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．

2．在等差数列 { a
n
} 中， a
4
＝ 6， a
3
+a
5
＝ a
10
，则公差 d＝（

A．﹣1


）

D． 2


B ．0

C． 1

【分析】 根据等差数列的性质和通项公式即可求出

【解答】 解：∵ a
4
＝ 6， a
3
+a
5
＝ a
10
，


∴ 2a
4
＝ a
4
+6d，





∴ d＝ a
4
＝ 1，
故选： C．

【点评】 本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题


3．等差数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，且 a
8
﹣ a
5
＝ 9， S
8
﹣S
5
＝ 66，则 a
33
＝（

A ．82

B ．97

C． 100

D． 115





）

【分析】 先求出公差 d，再根据求和公式求出

【解答】 解：∵等差数列 { a
n


a
1
＝ 4，即可求出 a
33
．

n
，且

a
8
﹣

a
5
＝

9，



} 的前 n 项和为

S

∴ 3d＝9，
∴ d＝ 3，



∵ S
8
﹣ S
5
＝ 66，





第3页（共 11页）

∴ 8a
1
+


× 3﹣5a
1
﹣

×3＝ 66，

∴ a
1
＝ 4，

∴ a
33
＝ a
1
+32d＝ 4+32× 3＝ 100，




故选： C．
【点评】 本题考查等差数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
n

2 5

12 15
＝

36，则

S
16
＝（


）

4．在等差数列

{ a } 中，已知

a +a +a

+a

A ．288

B ．144


C． 572

D． 72

【分析】 根据等差数列的性质和求和公式计算即可．


【解答】 解： a
2
+a
5
+a
12
+a
15
＝ 2（ a
2
+a
15
）＝ 36，


∴ a
1
+a
16
＝a
2
+a
15
＝ 18，


∴ S
16
＝



＝ 8× 18＝ 144，

故选： B．



【点评】 本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题


5．已知 { a
n
} 为递增的等差数列， a
4
+a
7
＝ 2， a
5
?a
6
＝﹣ 8，则公差 d＝（

A ．6

B．﹣ 6

C．﹣ 2

）

D． 4

2
【分析】 a
5
， a
6

是方程 x﹣ 2x﹣8＝ 0 的两个根，且 a
5
＜ a
6
，求解方程得答案．


【解答】 解：∵ { a
n
} 为递增的等差数列，且

∴ a
5
+a
6
＝2，
a
4
+a
7
＝2， a
5
?a
6
＝﹣ 8，





2
∴ a
5
， a
6
是方程 x﹣2x﹣ 8＝ 0 的两个根，且 a
5
＜ a
6
，
∴ a
5
＝﹣ 2， a
6
＝ 4，
∴ d＝ a
6
﹣ a
5
＝ 6，
故选： A．




【点评】 本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．

n

1
与

a
11
的等差中项是

15，

a
1




2 3
＝

9，则

a
9
＝（



）

6．在等差数列

{ a } 中，已知

a

A ．24

B ．18

+a +a

C． 12


D． 6


【分析】 利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出

【解答】 解：∵在等差数列

{ a
n
} 中， a
1

与 a
11
的等差中项是

15，

∴




a
9
的值．





＝ a
1
+5d＝ 15，①


∵ a
1
+a
2
+a
3
＝ 9，
第4页（共 11页）

∴ a
1
+d＝ 3， ②

联立 ①② ，得 a
1
＝ 0， d＝ 3，


∴ a
9
＝ a
1
+8d＝ 0+24＝ 24．

故选： A．

【点评】 本题考查等差数列的第 9 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．

7．已知等差数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，且 a
1
+a
8
+a
12
＝ 12，则 S
13
＝（

A ．104

B ．78


）

D． 39





C． 52



【分析】 数列 { a
n

12
可以用首项和公差表示，进而得到

a
7
，求出


1 8

} 为等差数列，故

a +a +a


13
．


S


【解答】解：因为已知等差数列 { a
n


n
，且

a
1

8 12
＝

3a
1

7
＝12，


} 的前 n 项和为 S

+18d＝ 3a


+a +a


故 a
7
＝ 4，所以 S
13
＝


故选： C．


＝13a
7
＝ 13×4＝ 52．











【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，等差中项，前

n

n 项和公式，属于基础题．

n
，若

a
1
＝

3，S
5
＝

35，则数列

{ a
n




8．等差数列 { a } 的前 n

项和为 S

A．﹣2

B ．2

C． 4





} 的公差为（

D． 7


）






【分析】 利用等差数列的求和公式即可得出．


【解答】 解：∵ a
1
＝ 3， S
5
＝ 35，∴ 5× 3+

故选： B．


＝ 35，解得 d＝ 2．




【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．


9．在等差数列 { a
n
} 中，若 a
3
+a
5
+2 a
10
＝4，则 S
13
＝（


）

D． 16

A ．13

B ．14

C． 15

【分析】 由 a
3
+a
5
+2 a
10
＝ 4，可得 4a
7
＝ 4，解得 a
7
，利用 S
13
＝13a
7
即可得出．


【解答】 解：∵ a
3
+a
5
+2 a
10
＝ 4，


∴ 4a
7
＝ 4，解得 a
7
＝ 1，


则 S
13
＝13a
7
＝ 13．



故选： A．
【点评】 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．

第5页（共 11页）

10．在等差数列 { a
n
} 中，若 2a
8
＝ 6+a
11
，则 a
4
+a
6
＝（


）

D． 18

A ．6

B ．9

C． 12

【分析】 由等差数列 { a
n
} 中， 2a
8
＝ 6+a
11
，可得 a
5
＝ 2a
8
﹣ a
11
，利用 a
4
+a
6
＝ 2a
5
，即
可得出．


【解答】 解：由等差数列

{ a
n
} 中， 2a
8
＝ 6+a
11
，∴ a
5
＝ 2a
8
﹣ a
11
＝ 6，





则 a
4
+a
6
＝ 2a
5
＝ 12．
故选： C．
【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．

2
11．等差数列 { a
n
} 中， a
2
与 a
4
是方程 x﹣ 4x+3 ＝ 0 的两根，则

a
1+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
＝（
A ．6

B ．8

C． 10

D． 12



）

【分析】 利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出．


2
【解答】 解：∵ a
2
与 a
4
是方程 x﹣ 4x+3＝ 0 的两根，∴ a
2
+a
4
＝ 4＝ 2a
3
，解得 a
3
＝ 2，

则 a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
＝5a
3
＝ 10．




故选： C．
【点评】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能
力与计 算能力，属于中档题．

12．等差数列 { a
n
} 满足 4a
3
+a
11
﹣ 3a
5
＝ 10，则 a
4
＝（

A．﹣5



）

D． 10

B ．0

C． 5

【分析】 利用通项公式即可得出．

【解答】 解：设等差数列

{ a
n
} 的公差为 d，∵ 4a
3
+a
11
﹣ 3a
5
＝ 10，


∴ 4（ a
1
+2d） +（a
1
+10d）﹣ 3（ a
1
+4d）＝ 10，

化为： a
1
+3d＝




5．则 a
4
＝ 5．
故选： C．
【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共 5 小题）







13．数列 { a
n
} 中，若 a
n+1
＝ a
n
+3， a
2
+a
8
＝ 26，则 a
12
＝ 34

．

【分析】 先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案．

【解答】 解：∵ a
n+1
＝ a
n
+3，

第6页（共 11页）

∴数列 { a
n
} 为等差数列，其公差


d＝ 3，

∵ a
2
+a
8
＝26，






∴ 2a
1
+8d＝ 26，
∴ a
1
＝ 1，
∴ a
12
＝ 1+11× 3＝ 34，
故答案为： 34
【点评】 本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．


14．在等差数列 { a
n
} 中， a
1
+3a
8
+a
15
＝120，则 3a
9
﹣ a
11
的值为

【分析】 { a
n



48 ．

8
＝

24，然后将

3a
9

18

15
＝

120? 5a
1

} 为等差数列，所以

﹣ a
11
也表示为用

a
8
表示即可．

a +3a +a

+35d＝ 120? a

【解答】 解：因为数列 { a
n
} 为等差数列，所以 a
1
+3a
8
+a
15
＝ 120 可化为 5a
1
+35d＝ 120 可


化为 a
8
＝ 24，又因为

3a
9
﹣a
11
＝ 2a
1
+14d＝ 2a
8
＝ 48，


故填： 48．



【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．




nn







n
，T
n
，若

＝


，则

15．已知等差数列

{ a } ，{ b } 的前 n 项和分别为

＝

．

S

【分析】由等差数列的性质得





＝

＝

＝

，由此能求出结果．






【解答】 解：∵等差数列 { a
n
} ，{ b
n
} 的前 n 项和分别为 S
n
， T
n
，

＝

，

∴





＝

＝

＝

＝

＝ ．

故答案为：



．

【点评】 本题考查等差数列的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考 查运算
求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．





16．等差数列 { a
n
} 中，前 n 项和为 S
n
， a
1
＜ 0， S
17
＜ 0， S
18
＞ 0，则当 n＝
最小值．

9

时， S
n
取得

【分析】 推导出 a
8
+a
9
＜ 0，a
9
＞ 0， a
8
＜ 0，由此能求出当

n＝ 8 时， S
n
取得最小值．


第7页（共 11页）

【解答】 解：∵等差数列

{ a
n
} 中，前 n 项和为 S
n
，a
1
＜ 0， S
17
＜0， S
18
＞ 0，






∴ a
9
＜ 0， a
9
+a
10
＞0，
∴ a
9
＜ 0， a
10
＞ 0，
∵ a
1
＜ 0，
∴当 n＝ 9 时， S
n
取得最小
值．故答案为： 9．

【点评】本题考查等差数列的前 n 项和最小时 n 的值的求法， 考查等差数列等基础知识，考
查运算求解能力，是基础题．



17．等差数列 { a
n
} 、 { b
n
} 的前 n 项和分别为 S
n
、 T
n
，若

，则

＝


【分析】 由题意可设 S
n
＝ kn（n+1）， T
n
＝ kn（ 2n﹣ 1），（ k≠0）．由此求得

a
8
， b
9
，则答


案可求．


【解答】 解，依题意，设

S
n
＝ kn（ n+1）， T
n
＝kn（ 2n﹣1），（ k≠ 0）．









则 a
8
＝ S
8
﹣ S
7
＝ 72k﹣ 56k＝ 16k， b
9
＝ T
9
﹣ T
8
＝ 33k，
所以＝，
故填：



．

n 项和的应用，是中档题．

【点评】 本题考查等差数列的性质，考查等差数列前



三．解答题（共 5 小题）


18．已知等差数列

{ a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，且 a
3
＝ 7， a
5
+a
7
＝26．


（Ⅰ）求

a
n
及 S
n
；


（Ⅱ）令 b
n
＝


（n∈N
+
），求证：数列

{ b
n
} 为等差数列．

a
1
，公差为 d，利用等差数列通项公式列出方程组，

【分析】（Ⅰ）设等差数列的首项为


求出 a
1
＝ 3， d＝ 2，由此能求出

a
n
，S
n
．


（Ⅱ）由


＝

，能证明数列

{ b
n
} 为等差数列．

a
1
，公差为 d，

【解答】 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为


∵ a
3
＝ 7， a
3
+a
2
＝ 26．



∴由题意得



，

第8页（共 11页）

解得 a
1
＝ 3， d＝ 2，


∴ a
n
＝ a
1
+（ n﹣ 1）d＝ 3+2 （n﹣ 1）＝ 2n+1．


＝




＝ n（n+2）．

＝

，

证明：（Ⅱ）∵


b
n+1
﹣ b
n
＝ n+3﹣（ n+2）＝ 1，


∴数列 { b
n
} 为等差数列．


【点评】 本题考查等差数列的通项公式、前



n 项和公式的求法，考查等差数列的证明，

考查等差数列的性质等基础知识，


考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，

是基础题．

19．已知等差数列

{ a
n
} 满足 a
1
+a
2
＝ 10， a
5
﹣ a
3
＝ 4．


（Ⅰ）求 { a
n
} 的通项公式；


（Ⅱ）设等比数列

{ b
n
} 满足 b
2
＝a
3
， b
3
＝ a
7
，问： b
6
是数列 { a
n
} 中的第几项？


【分析】（Ⅰ）设 { a
n
} 公差为 d，由已知列式求得首项与公差，则


a
n
可求；

（Ⅱ）由 b
2
＝a
3
＝ 8， b
3
＝ a
7
＝ 16，得公比 q＝ 2，进一步求得 b
6
，代入等差数列的通项公
式求得 n 值得答案．


【解答】 解：（Ⅰ）设 { a
n
} 公差为 d，由 a
5
﹣ a
3
＝ 4＝ 2d? d＝ 2，


由 a
1
+a
2
＝ 10＝ 2a
1
+d? a
1
＝4，






∴ a
n
＝ 2n+2；
（Ⅱ）由 b
2
＝ a
3
＝8， b
3
＝ a
7
＝16，得公比 q＝ 2，
∴

．

令 a
n
＝ 2n+2＝ 128，得 n＝63．

即 b
6
为 { a
n
} 中的第 63 项．

【点评】 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．


20．在等差数列 { a
n
} 中， S
n
为其前 n 项的和，已知

a
1
+a
3
＝ 22， S
5
＝45．






（ 1）求 a
n
， S
n
；
（ 2）设数列 { S
n
} 中最大项为 S
k
，求 k 及 S
k
．
【分析】（ 1）利用已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解

（ 2）利用变号的项，求解最值即可．

a
n
， S
n
；




【解答】（ 10 分）解：（ 1）由已知得



，所以

，

第9页（共 11页）

所以 a
n
＝ a
1
+（ n﹣1） d＝﹣ 2n+15 ；



；



（ 2 ） 由 a
n
≥ 0 ， 即 ﹣ 2n+15 ≥ 0 ， 可 得 n ≤ 7 ， 所 以

S
7
最 大 ， k ＝ 7 ， S
7
＝



＝ 49．



【点评】 本题考查等差数列的性质，数列求和以及通项公式的应用，考查计算能力．



21．观察如图数表，问：


（ 1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？

（ 2）此表第 n 行的各个数之和是多少？

（ 3） 2012 是第几行的第几个数？




























n
﹣
1
【分析】（ 1）写出此表 n 行的第 1 个数，且第 n 行共有

2 个数，且成等差数列，由此


求出第 n 行的最后一个数；


（ 2）由等差数列的求和公式求出第


n 行的各个数之和；

n 的值，再计算

n
﹣
1











（ 3）设 2012 在第 n 行，列不等式求出


2012 在第该行的第几个数．



【解答】 解：（ 1）此表 n 行的第 1 个数为 2

n
﹣
1

，






n

第 n 行共有 2

个数，依次构成公差为

1 的等差数列； （

n
﹣
1

n
﹣
1

4 分）

由等差数列的通项公式，此表第

（8 分）


n 行的最后一个数是


2

+（ 2





﹣

1）× 1＝

2

﹣1；






（ 2）由等差数列的求和公式，此表第

＝
n 行的各个数之和为





2
2n
﹣
2
+2
2n
﹣
3
﹣
2
n
﹣
2
，
2n
﹣
2 2n
﹣
3n
﹣
2

n
﹣
1

n
﹣
1

或 2


×2

+

×1＝2+2

﹣ 2

； （

8 分）

（ 3）设 2012 在此数表的第 n 行．则
n
﹣
1n
2 ≤2012 ≤ 2﹣1，

可得 n＝ 11，

故 2012 在此数表的第

设 2012 是此数表的第



11

行； （ 10 分）

11

行的第 m 个数，而第 11 行的第 1 个数为 2
第 10 页（共 11 页）

10
，

因此， 2012 是第 11 行的第 989 个数． （


12 分）

【点评】 本题考查了等差数列的应用问题，是中档题．


22．（理）在△ ABC 中， a， b，c 分别是角 A， B， C 的对边，且角

B，A， C 成等差数列．


2
（ 1）若 a﹣ c＝ b﹣ mbc，求实数 m 的值；
（ 2）若 a＝ ，求△ ABC 面积的最大值．
22


【分析】（ 1）由角 B，A， C 成等差数列以及三角形内角和公式知

理和条件可得

cos A＝

＝

，由此求得 m 的值．


A＝ 60°，再由余弦定


（ 2）由 cos A＝


得结果．




＝


可得 bc≤ a，故 S
△

ABC
＝


2
sin A≤


×，由此求

【解答】 解：（ 1）由角 B， A， C 成等差数列以及三角形内角和公式知

2

2

2



A＝ 60°．

又由 a ﹣ c

＝ b ﹣ mbc

可以变形得

再由余弦定理可得

∴ m＝ 1．


＝ ．


cos A＝

＝

，

（4 分）


2





（ 2）∵ cos A＝


2

2

2

＝ ，

2








∴ bc＝b

+c ﹣ a

≥ 2bc﹣ a ，即 bc≤ a ，

故 S
△
ABC
＝


sin A≤

×

＝

，


∴△ ABC 面积的最大值为



． （ 8 分）


【点评】 本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及



解三角形的方法，属于中档题．

































第 11 页（共 11 页）