荷兰豆种植-去玩玩

第一讲数列定义及其性质
、基本概念:
1通项公式：
a
n
；
二、性质：
1单调性：增数列：
2、最值:
2、前
n
项和：
S
n
3、关系：
a
n
=S
n
-S
n
」(
n _ 2)
a
n
- a
nj
；减数列：
a
n
::：
a
nj
；常数列：
a
n
=a
n
」
最大值：减数列
n
最小值：增数列
最大值： -------------
+++
川
(0)
若色最大，贝
y a
7
>0^
8
c0
若
S
^
<
S
8
最大，则
a
7
>0,a
8
=0, a
?
£0,
最小值
:
与上面相反
3、前
n
项积
T
n
有最大值:
三、几种常见数列：
-1,7,-13,19 HI
2、
7,77,777, HI
1 3 5
hJ

3、
2 4 8
4、
11
，
?
，
4

川
2
么
2
旦
5、
—? ?
3
3 15 35 63
★随堂训练:
2 n
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1已知数列
｛ a
n
｝
通项公式是
a
n
——，那么这个数列是（ ）
3n +1
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
a
2、 已知数列
｛a
n
｝
满足
a
i
0
, 亠
1
，那么这个数列是（ ）
a
n
A.递增数列 B.递减数列
2
D.常数列 C.摆动数列
2 *
3、 已知数列
｛a
n
｝
通项公式是
a
n
= n • kn • 2
，若对任意
n • N
，都有
a
n .1
- a
n
成立，则
实数
k
的取值范围是（ ）
4、 已知数列
｛a
n
｝
通项公式是
a
*
二
~~ ,T
n
是数列
｛a
*
｝
的前
n

项积，即
T
n=
a
i
a
2
a
3 ill
a
n
，
2n +1
） 当
T
n
取到最大值是，n的值为（
5、 设数列
｛a
n< br>｝
的前
n
项和
S
n
二
n
2
，则
a
$$
的值是（）
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等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，空差通常用字母
那么这个数
d
表示.
2•等差数列的通项公式
若等差数列｛
a
n< br>｝的首项是
a
i
,公差是
d
,则其通项公式为
a
n
=
a
i
+ (
n
— 1)
d
= (
n
-
m
)
d
=
p
.
3.等差中项
如果三个数
x
,
A, y
组成等差数列，那么
A
叫做
x
和
y
的等差中项，如 果
A
是
x
和
y
的等差
x
+
y
中项，贝
y
人
二一^
4•等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：
a
n
=
a
m
+ (
n
—
m
)
d
(
n
,
m
E N
*
).
⑵若｛
a
n
｝为等差数列，且
n
=
p
+
q
,贝
U
a
m
+
a
n
=
a
p
+
a
q
(
m n
,
p
,
q
E
N
)
.
⑶

若｛
a
n
｝是等差数列，公差为
d
,则
a
k
,
a
k
+
m
,
a
k
+
2m
,—(
k
,
m
E N*)是公差为
md
的等差数列.
(4)数列
Sn
,
S
2m
—
S
m
,务―
S
m
,…也是等差数列.
⑸
S
2n
—
1
= (2
n
— 1)
a
n
.
⑹若n为偶数，则

nd
S
偶
一
S
奇
=—
若
n
为奇数 ，则
S
奇
一
$$
偶
=
a
中
(中间项 ).
5.等差数列的前
n
项和公式
若已知首项
a
1
和末项
a
n
,
a
1
+
a
n
2
，或等差数列｛
a< br>n
｝的首项是
a
1
,公差是
d
,则其
前
n
项和公式为



n
n
—
Si
=
nai
+
1
2
d
.
6•等差数列的前
n
项和公式与函数的关系
S
=
d
n
2
+



2,数列｛
a
n
｝是等差数列的充要条件是
S
n
=
An
2

+
Bn
（
A, B
为常数）.
7•最值问题
在等差数列｛
a
n
｝中，
a
1
>0,
d
v
0,则
S
存在最大值，若
av
0,
d
>0,贝
U
S
存在最小值.
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一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前
n
项和公式:
S
n
=
a
i
+
a
2
+
a
3
+…+
a
n
，①
S
n
=
a
n
+
a
n
-
1
+ …+
d
i
,②
①+②得:

S
n
=
a
i
+
a
n
~2
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元 .... .
（1） ............................................. 若奇数个.数成等差数列且和为定值时，可设为二，

a
-2
d
,
a
—
d
,
a
,
a
+
d
,
a
土 2
d
,：...
（2） ............................................. .若偶数个数成等差.数列且和为定值时，可设为二,

a
-3
d
,
a
-
d
,
a
+
d
,
a
土 3
d
,二，其
余各项再依据等差.数列的定义进行对称设元 ..
四种方法
等差数列的判断方法

（1） 定义法：对于
n
》2的任意自然数，验证
a
n
-
a
n
-
1
为同一常数;
（2） 等差中项法：验证 2
a
n
-
1
=
a
n
+
a
n
-
2
（
n
》3,
n
€ N
*
）都成立；
（3） 通项公式法：验证
a
n
=
pn
+
q
;
（4） 前
n
项和公式法：验证
S
=
An
2
+
Bn
后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数
注：

列.
基础训练：（公式的运用，定义的把握）
1.已知等差数列｛a
n
｝中，a
3
=9, a
o
=3,则公差d的值为（
A.


）

1
隔
2•已知数列｛a
n
｝的通项公式是a
n
=2n+5，则此数列是（
A. 以7为首项，公差为2的等差数列
C. 以5为首项，公差为2的等差数列
J
B

.
1

C.
_ 1
2
）
D . -1
B . 以7为首项，公差为5的等差数列
D . 不是等差数列
）
D . 26


3.在等差数列｛a
n
｝中，a
i
=13, a
3
=12，若a
n
=2，贝U n等于（
A .: 23 B . 24
）
C . 2
）
C . 25


4.两个数1与5的等差中项是（
A . 1 B . 3


D .
±Vs
5. （ 2005?黑龙江）如果数列｛a
n
｝是等差数列，则（
A .
a
1
+a
8
>
a
4
+a
5
B . a
1
+a
8
=a
4
+a
5
C . a
1
+a
8
v
a
4
+a
5
D . a
1
a
8
=a
4
a
5
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考点1:等差数列的通项与前 n项和
题型1:已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】 给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法
【例
1

］已知
'a
*
＜为等差数列，玄仆
=8,a
6o
= 20
，则
a
75 - _______________________
对应练习：
1
已知
Sn f
为等差数列，
a
m
=p,a
n =q
（
m,n,k
互不相等），求
a-
2、 已知
5
个数成等差数列，它们的和为
5
，平方和为
165
，求这
5
个数•
题型2：已知前
n
项和
S
n
及其某项，求项数.
【解题思路］
⑴利用等差数列的通项公式
a
.
二
％
•
（
n - 1
）
d
求出
a
1
及
d
，代入
S
n
可求 项数
n
；
⑵利用等差数列的前 4项和及后4项和求出
a
1
■ a
n
，代入
S
n
可求项数
n
.
【例2
］
已知
S
n
为等差数列
：
a
n
*的前
n
项和，
a
4
=9,a
9
- -6,S
n
=63
，求
n
对应练习：
3、 若一个等差数列的前 4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为 780,求这个数列
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n
. 的项数

4、已知
S
n
为等差数列
a
:啲前
n
项和，
a
i
=1,a
4
=7,S
n
=100
，则
n
二 _—
题型3：求等差数列的前 n项和
【解题思路】(1)利用
S
n
求 出
a
.
,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题
(2)含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论
【例3】已知
S
n< br>为等差数列
fa
n
詁勺前
n
项和，
S
n
-12n-n
2
.
(1)
a
i
+ a
?
+ a
?
；
⑵求
a1 + a? + a? +…+
印。；⑶求印+
a? + a? +…+ a.

【评注】由正項开始的递减等差数列的绝对值莪和的计算解题步陳*
(“找出率值或者持罟由正变步的項 叫^
(2)
对相进行讨论，劈并£珈 时，丁” = £ |务|
=S
曹
n>n
0
时*
T, = S a. | =2S.
a
—S.・
练习：
n
已知数列的前斤项和
S, = 10
n
-
n
S
数列 ｛%｝的每一项都有久=
Ia„h
求
数列｛仇｝的前卅项和.
对应练习：
5
、已知
S
n
为等差数列
a
n
•的前
n
项和，
S
10
- 1OO,S
1oo
- 10
，求
Sn
o
.
考点2 :证明数列是等差数列
【名师指引】 判断或证明数列是等差数列的方法有：
1定义法：
ani- an=d
（
N
.
，
d
是常数）
= d ?
是等差数列；
2、 中项法：
2a
n 1
二
a. ■ a
n 2
（
N
.） =
1
是等差数列；
3、 通项公式法：
a^kn • b
（
k, b
是常数）二 乩？是等差数列；
4、 项和公式法：
Sn =An
2
• Bn
（
A, B
是常数，
A = 0
）二
^a
n

是等差数列.
【例4】已知
S
n
为等差数列
1a
n

［的前
n
项和，
b
n
二」
（
n • N .）
.求证：数列
b
［是等差数列
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n
对应练习：
6
、设
S
n
为数列
a
■的前
n
项和，
S
n
= pna
n
（n
・
N ）
，
a^
a
2
.
（1） 常数
p
的值；
（
2）证：数列〈
a
n
?
是等差数列
考点3 :等差数列的性质
【解题思路】利用等差数列的有关性质求解 .
【例5】1、已知
S
n
为等差数列 Gn ［的前
n
项和，
a
6
=100
,则
S1
二 _________________
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2、知
S
n
为等差数列
^n
的前
n
项和，
S
n
=m, S
m
= n（n = m）
，则
S
m

n -
.
对应练习：7、含
2n • 1
个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
A.
2n 1

n
a
?、
B.
n 1

n
C.
n
「
1

n
S
n
T
n
—
D.
n 1

2n
，则竺 8.设
S
n
、
T
n
分别是等差数列

的前
n
项和，

7n 2
n 3

b
5
考点4:等差数列与其它知识的综合
【解题思路】1、利用
a
n
与
S
n
的关系式及等差数列的通项公式可求；
2、求出
T
n
后，判断
T
n
的单调性•
【例6】已知
S
n
为数列
a
詁勺前
n
项和，
S
n
二丄
n
2 11
n
;数列满足：
b^ 11
，
2 2
b
n 2
=2b
n 1
-b
n
，其前
9
项和为
153.
⑴数列
a
1

n
涵通项公式；
⑵设
T
n
为数列 匕』的前
n
项和，
C
n

k —
6
(2a
n
-11)(2b
n
-1)
求使不等式
T
n
对-
n • N
.都成立的最大正整数
k
的值.
57
课后练习：
1.（2010广雅中学）设数列
和，则
是等差数列，且
3^-8
,
3
1^
5
,
S
n
是数列 7 的前
n
项
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A.
S
io =
S
n

B •
S
io -
S
n
C .
S
9
= S
i
D -
S
9
：：：

S
i0
2.在等差数列：
a
n

冲，
a^ = 120
，则
a
2
a
4
a
6
a^ ______________
.____
3.数列©n J中，
a
n
= 2n -49
，当数列 & 的前
n
项和
S
n
取得最小值时，
n =
.
4. 已知等差数列
a
［共有
10
项，其奇数项之和为
10,
偶数项之和为
30
，则其公差是 _」
5.设数列 3n』中，
a
i
=2,a
n i.=
a
n
• n • 1
，则通项
a
n =
.
对应练习：
9.
已知
S
n
为数列
'a
n
［的前
n
项和，
a
i
=3
，
S
n
S
n
<
=2a
n
(
n—
2)
.
⑴ 数列
：
a
n

的通项公式；
⑵ 数列
'a
n

'中是否存在正整数
k
，使得不等式
a
k
- a
k i
对任意不小于
k
的正整数都成
立？若存在，求最小的正整数
k
，若不存在，说明理由
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