白俄罗斯旅游-我眼中的陶渊明

等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义

2．等差数列的通项公式和前
n
项和公式

3．等差中项
x
＋
y
A
是
x
和
y
的等差中项

A
＝.
2
4. 两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和 为定值时，可设为…，
a
－2
d
，
a
－
d
，
a
，
a
＋
d
，
a
＋2
d
，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，
a
－3
d
，
a
－
d
，
a
＋
d
，
a
＋3
d
，…，其余各项再依据等差
数列的定义进行对称设元．
4．等差数列的常用性质
（1）当
mnpq
时,则有
am
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p
.
注：
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2

。
（2）若

a
n

、

b
n

为 等差数列，则


a
n
b

，


1
a
n


2
b
n

都为等差数列。
（3） 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
an
,a
n+m
,a
n+2m
,
…
,为等差数
列，公差为md。
（4）
{a
n
}
是公差为d的等差数列 ，
S
n
是前n项和，那么数列
S
k
,
S
2
k

S
k
,
S
3
k

S
2
k
,…成公差为kd的等
2
差数列。
（5）设数列
a
n

是等差数列，d为公差，
S
奇
是奇数 项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是前n项的和

1）当项数为偶数
2n
时，
S
2
n
n(
a
n

a
n
1
)
，
S
偶

S
奇

nd
,
S
奇
a

n

S
偶
a
n
1
S
奇a
1
a
3
a
5
a
2n1< br>
n

a
1
a
2n1

na
n

2
S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2n

2）当项数为奇数2n-1，则 n

a
2
a
2n

na
n1< br>
2
S
2
n
-1

S
奇

S
偶
(2
n
1)
a
n
S
奇< br>
S
偶
a
n

S
奇
n a
n
S
偶
（n-1)a
n

S
奇
n


S
偶
n
1
（6）等差数列

a
n

{b
n
}
前n项 和为S
n
,T
n
，则
a
n
(2n1)
a
n
S
2n1


b
n
(2n1 )b
n
T
2n1
5、
a
n
与
S
n
之间的关系

SS
nn1

< br>a
n



S

1
(n2)
(n1)
6．等差数列的前
n
项和公式和最值问题
（1）等差数列前n项和公式与二次函数的关系
（2）
S
n
的最值求法



L
大

例题与练习
考点1:等差数列的基本计算
题型1：已知等差数列的某些项，求某项

【例1】已知

a
n

为等差数列，，则 24
练习：
1．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为
A．765 B．665




( B )
C．763


D．663
( C ) 2．若5，
x
，
y
，
z,
21成等差数列，则
x
＋
y
＋
z
的值为
A．26 B．29 C．39 D．52
3．设
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和，若
S
3
＝3，
S
6
＝24，则
a
9
＝__15______.
4．已知等差数列{
a
n
}中，
a
1
＝1，
a
3
＝－3. < br>(1)求数列{
a
n
}的通项公式；(2)若数列{
a
n}的前
k
项和
S
k
＝－35，求
k
的值．
解 (1)设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，则
a
n
＝
a
1
＋(
n
－
1)
d
.
由
a
1
＝1，
a
3
＝－3，可得1＋2d
＝－3，解得
d
＝－2.
从而
a
n
＝1＋ (
n
－1)×(－2)＝3－2
n
.
(2)由(1)可知
a
n
＝3－2
n
，

题型3：求等差数列的前n项和
【例3】已知为等差数列

a
n

的前项和，.
（1）； ⑵求；⑶求.
解：由，得，当时，；当时，.
；
（1）
⑵
；
所以
S
n
＝
n
[1＋3－2
n
]
2
2
＝ 2
n
－
n
.
2
由
S
k
＝－35 ，可得2
k
－
k
＝－35，
即
k
－2
k
－35＝0，解得
k
＝7或
k
＝－5.
又
k
∈N，故
k
＝7.
*
2

（3）
时，，

当时，

练习：1．数列{
a
n
}中，
a
1
＝8，
a
4
＝2，且满足
a
n
＋2
－2
a
n＋1
＋
a
n
＝0 (
n
∈N)．
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)设
S
n
＝|
a
1
|＋|
a
2
|＋…＋|
an
|，求
S
n
.
解 (1)∵
a
n
＋2
－2
a
n
＋1
＋
a
n
＝0.∴
a
n
＋2
－
a
n
＋1
＝
a
n< br>＋1
－
a
n
＝…＝
a
2
－
a
1
.
∴{
a
n
}是等差数列且
a
1
＝ 8，
a
4
＝2，∴
d
＝－2，

a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
＝10－2n
.
(2)∵
a
n
＝10－2
n
，令
a
n
＝0，得
n
＝5.
当
n
>5时，
a
n
<0；当
n
＝5时，
a
n
＝0；
当
n
<5时，
a
n
>0.
∴当
n
>5时，
S
n
＝|
a
1
|＋|
a
2|＋…＋|
a
n
|＝
a
1
＋
a
2＋…
＋
a
5
－(
a
6
＋
a
7
＋…＋
a
n
)＝
S
5
－(
S
n< br>－
S
5
)＝2
S
5
－
S
n

＝2·(9×5－25)－9
n
＋
n
＝
n
－9
n
＋40，
当
n
≤5时，
S
n
＝ |
a
1
|＋|
a
2
|＋…＋|
a
n
|＝
a
1
＋
a
2
＋…
＋
a
n< br>＝9
n
－
n
.


9
n
－
n

∴
S
n
＝

2

n
－9
n
＋40

2
2
22
*
n
≤5
n
>5

2．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为23 4，则它的第七项
等于
A．22
.

B ．21

C．19
（ ）
D．18
考点2：等差中项的应用
例1、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为
a
－3
d
，
a
－
d
，
a
＋
d
，
a
＋3
d
，则由题设得
a< br>－3
d
＋
a
－
d
＋
a
＋
d
＋
a
＋3
d



＝26，
< br>a
＋
d
＝40，

a
－
d
13a
＝，


2

3


d< br>＝－
2
.

∴


4
a
＝ 26，

22

a
－
d
＝40.


解得
13
a
＝，


2

3


d
＝
2

或

所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
考点3：等差数列的前n项和最值
例1．设等差数列{
a
n
}满足
a
3
＝5，
a
10
＝－9.
(1)求{
a
n
}的通项公式；
(2)求{
a
n
}的前
n
项和
S
n
及使得
S
n
最 大的序号
n
的值．
解 (1)由
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
及
a
3
＝5，
a
10
＝－9得


a
1
＋2
d＝5，



a
1
＋9
d
＝－9，< br>(2)由(1)知，
S
n
＝
na
1
＋
nn< br>－1
2
d
＝10
n
－
n
2
.



a
1
＝9，
可解得

< br>
d
＝－2，


因为
S
n
＝－(
n
－5)＋25，
所以当
n
＝5时，
S
n
取得最大值．
2
所以数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝11－2
n
.
练习：
1．已知数列{
a
n
}的前
n
项和公式为
S
n
＝2
n
－30
n
.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式
a
n
；
(2)求
S
n
的最小值及对应的
n
值．
解 (1)∵
S
n
＝2
n
－30
n
，
∴当< br>n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝－28.
当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－1
＝4
n
－32.
∴
a
n
＝4
n
－32，
n
∈N
＋
.
2
2
(2)∵
a
n
＝4
n
－32，∴
a
1
<
a
2
<…<
a
7
<0，
a
8
＝0 ，
当
n
≥9时，
a
n
>0.
∴当
n< br>＝7或8时，
S
n
最小，且最小值为
S
7
＝
S
8
＝－
112.
例2设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
＝12，且S
12
>0，
S
13
<0.
(1)求公差
d
的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)根据题意，得
2
a
1
＋11
d
>0，


整理得：

a
1
＋6
d
<0 ，


a
1
＋2
d
＝12.

24
解得：－<
d
<－3.
7
∴
a
7
<0.


13×12

13
a
＋
2
d
<0，


a
＋2
d
＝12，
1
1
12×11
12
a< br>1
＋
d
>0，
2


(2)∵
d
<0

∴
a
1
>
a< br>2
>
a
3
>…>
a
12
>
a
13
>…，
13
而
S
13
＝
，
a1
＋
a
13
2
＝13
a
7
<0， < /p>

又
S
12
＝
12
a
1
＋a
12
2
＝6(
a
1
＋
＝6(
a6
＋
a
7
)>0，∴
a
6
>0.
∴ 数列{
a
n
}的前6项和
S
6
最大．
a
1 2
)

例3、在等差数列{
a
n
}中，
a
10
<0，
a
11
>0，且|
a
10
|<
a
11
，
S
n
为{
a
n
}的前
n
项的和，则下列结论正确的是 ( D )
A．
S
1
，
S
2
，…，
S
10
都小于零，
S
11
，< br>S
12
，…都大于零 B．
S
1
，
S
2
，…，
S
5
都小于零，
S
6
，
S
7
，…都大于零
C．
S
1
，
S
2
，…，
S
20
都小于零，
S
21
，
S
22
，…都大于零 D．
S
1
，
S
2
，…，
S< br>19
都小于零，
S
20
，
S
21
，…都大于 零

练习：
1．若{
a
n
}为等差数列，
S< br>n
为其前
n
项和，若
a
1
>0，
d
<0，
S
4
＝
S
8
，则
S
n
>0 成立的最大自然数
n
为 (A)
A．11 B．12 C．13 D．14
2．等差数列{
a
n
}中，|
a< br>3
|＝|
a
9
|，公差
d
<0，则使前
n< br>项和
S
n
取得最大值的自然数
n
是__5或6____． < br>3、设{
a
n
}是等差数列，
S
n
是其前
n
项和，且
S
5
<
S
6
，
S
6＝
S
7
>
S
8
，则下列结论错误的是(C)
A．
d
<0 B．
a
7
＝0 C．
S
9
>
S
5
D．
S
6
与< br>S
7
均为
S
n
的最大值

4．若数列{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
＞0，
a
2 003
＋
a
2 004
＞0，
a
2 003
·
a
2 004
＜0，则使前
n
项和
Sn
＞0成立的最大自然数
n
是__4006______．
考点4 :等差数列的性质

例1．（中项定理和下标和定理）已知等差数列{
a
n
}的公差为
d
(
d
≠0)，且
a
3
＋a
6
＋
a
10
＋
a
13
＝32，若< br>a
m
＝8，则
m
为( B )
A．12 B．8 C．6 D．4
S
3
1
S
6
例2．（m项和成 等差）设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和，若＝，则等于
S
6
3
S
12
3
A.
10
( A )

例3、设等差数 列{
a
n
}的前n项和为
S
n，
且
S
m< br>=-2,
S
m1
0
,
S
m2
3,则m= 4
例4、（奇偶项）有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和 分别是24和30，若最后一项与第一项之

21
差为，试求此数列的首项、公差 和项数．
2
33
解 ∴首项为，公差为，项数为8.
22
练 习：1．一个等差数列的项数为2
n
，若
a
1
＋
a
3
＋…＋
a
2
n
－1
＝90，
a
2
＋
a
4
＋…＋
a
2
n
＝72，且
a1
－
a
2
n
＝33，
则该数列的公差是
A．3








( B )
B．－3 C．－2 D．－1
2．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则该数列有__21__ 项．
3．设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
＝9，
S
6
＝36.则
a
7
＋
a
8
＋
a
9
等于
A．63 B．45 C．36
( B )
D．27
考点5：证明数列是等差数列
例1．设
S
n是数列{
a
n
}的前
n
项和，且
S
n
=
n
，则{
a
n
}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列
C.等差数列，而且也是等比数列
例2．已知数 列{
a
n
}满足
a
1
＝4，
a
n
＝4－


4


B.等差数列，但不是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
1
.
a
n
－2
2
a
n
－1
(
n≥2)，令
b
n
＝
(1)求证：数列{
b
n
} 是等差数列；
(2)求数列{
a
n
}的通项公式．
44
*
(
n
≥2)，∴
a
n
＋1
＝4－ (
n
∈N)． 解：(1)证明 ∵
a
n
＝4－
a
n
－1
a
n
∴
b
n
＋1
－
bn
＝
1111
a
n
1
a
n
－21－＝－＝－＝＝.
a
n
＋1
－2
a
n
－24
a
n
－22
a
n
－2
a
n
－22
a
n
－22
2－
a
n
1
*
∴b
n
＋1
－
b
n
＝，
n
∈N.
2
11
∴{
b
n
}是等差数列，首项为，公差为.
22

(2)解
b
1
＝
11111
n
＝，
d
＝.∴
b
n
＝
b
1
＋(
n
－1)
d
＝＋(
n
－1)＝.
a
1< br>－222222
∴
1
n
2
＝，∴
a
n
＝2＋.
a
n
－22
n