等差数列 (1)
组织结构图模板-幼儿音乐游戏
2.2等差数列
1．理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义．
2．掌握等差数列的通项公式及其应用．
3．会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系．
一、等差数列 <
br>一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都
等于__________，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等
差数列的______，通常用字母d表示．
(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调
作差的顺序，即后面的项
减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(2)公差d∈R，当d＝0时，数列为常数列；当d＞0
时，数列为
递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
【做一做】
等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________．
二、．通项公式
等
差数列{a
n
}的首项是a
1
，公差是d，则通项公式是a
n
＝________.
(1)如果数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝pn＋q(p，q是常数)，那么数
列{a
n
}是等差数列．
(2)如果数列{a
n
}满足2a
n
＝a
n
－
1
＋a
n
＋
1
(n＞1，n∈N
*
)，那么数列{a
n
}
是等差数列．
【做一做】 已知等差数列{a
n
}中
，首项a
1
＝4，公差d＝－2，则
通项公式a
n
等于( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
三．等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么____叫做______的等差中
项．
等差中项的性质：
①A是a与b的等差中项，则
a＋b
A＝
2
或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
②当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项．
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【做一做3】
13与－11的等差中项m＝__________.
1．对等差数列定义的理解
剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一个
常数”．
①如
果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，
每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数
列不是等差数列．
②如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管是常
数，但这个
数列也不一定是等差数列．这是因为这些常数可能不相同，
必须是同一个常数，才是等差数列．
(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义：
在数列{a
n
}中，如
果a
n
＋
1
－a
n
＝d(常数)对任意n∈N
*<
br>都成立，则
称数列{a
n
}为等差数列，常数d称为等差数列的公差．
(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠
倒，即d＝a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
－a
n
－
1
＝…＝a
3
－a
2
＝a
2
－a
1
.
(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个
常数，就断言此数列为等
差数列．
2．对等差数列通项公式的理解
剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式．
由等差数列的通项公式a
n＝a
1
＋(n－1)d可得a
n
＝dn＋(a
1
－d)
，
如果设p＝d，q＝a
1
－d，那么a
n
＝pn＋q，其中p，q
是常数．当p≠0
时，a
n
是关于n的一次函数，即(n，a
n
)在
一次函数y＝px＋q的图象
上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上．
所以公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排
开的一群孤立的点．
当p＝0时，a
n
＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行
于x轴的直线(
或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点．
(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的
任意
两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出
数列中的任意一项．
(3)等差数列{a
n
}的通项公式a
n
＝a
1
＋
(n－1)d中共含有四个变数，
即a
1
，d，n，a
n
，如果知道
了其中的任意三个数，就可以由通项公式
求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一
”．
题型一 求等差数列的通项公式
1.求等差数列8,5,2，….的第20项；
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2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，…,的项？如果是，是第几项？
3. 若{a
n
}是等差数列，a
15
＝8，a
60
＝20，求a
n
.
分析：先求出a
1
，d，然后求a
n
.
a
1
＋(m－1)d＝a，
反思：一般地，可由a
m
＝a，a<
br>n
＝b，得
求出
a
1
＋(n－1)d＝
b，
a
1
和d，从而确定通项公式．
题型二 实际应用问题
1.某市出租车的计价标准为1.2
元公里，起步价为10元，即最
初的4公里（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14公里处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多
少车费？
2. 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110
cm，中间还有10
级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
分析：要求梯子中
间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差
数列的公差．又梯子的级数是12，因此，该问题相当于已
知等差数
列的首项、末项及项数求公差．
反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本
题中的数学
模型是已知等差数列的首项和末项及项数，求各项．
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题型三
等差数列的判定与证明
1.已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝pn+q，其中p.q为常数，那么
这个数列一定是等差数列吗？
2. 已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝4－2n，
求证：数列{a
n
}是等
差数列．
分析：只需证明a
n
＋
1
－a
n
＝常数或a
n
－a
n
－
1
＝常数(n≥2)．
反思：已知数列{a
n
}的通项公式a
n<
br>＝f(n)，用定义判断或证明{a
n
}
是等差数列的步骤：
(1)
利用通项公式a
n
＝f(n)写出a
n
＋
1
＝f(n＋1)
(或a
n
－
1
＝f(n－1))；
(2)作差a
n
＋
1
－a
n
(或a
n
－a
n
－
1
)，将差变形；
(3)当差a
n
＋
1
－a
n<
br>(或a
n
－a
n
－
1
)是一个与n无关的常数时，数
列{a
n
}
是等差数列；当差a
n
＋
1
－a
n
(或a
n
－a
n
－
1
)不是常数，是与n有关
的代数
式时，数列{a
n
}不是等差数列．
1在等差数列{a
n
}中，a
1
·a
3
＝8，a
2
＝3，则公差d＝( )
A．1 B．－1 C．±1
D．±2
2等差数列－3,1,5，…的第15项为( )
A．40
B．53 C．63 D．76
3等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是(
)
A．92 B．47 C．46 D．45
4已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝7
n
＋
2
，求证
：数列{lg a
n
}是等差
数列．
5有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面
中最上面一行铺瓦30块，
总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面
最下面一行需铺瓦多少块？
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a
15
＝
a
1
＋14d＝8，
答案：【例题1】 解：由题意，知
解得
a
60
＝a
1
＋59d＝20，
64
a
1
＝
15
，
4<
br>
d＝
15
，
6444
故a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝
15
＋(n－1)×
1
5
＝
15
n＋4.
【例题2】
解：设梯子的第n级的宽为a
n
cm，其中最高一级宽
为a
1
cm，则数列{a
n
}是等差数列．
由题意，得a
1
＝33，a
12
＝110，n＝12，
则a
12
＝a
1
＋11d.
所以110＝33＋11d，解得d＝7.
所以a
2
＝33＋7＝40，a
3
＝40＋7＝47，…，a
11
＝96＋7＝103，
即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，
61
cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm，96 cm，103 cm.
【例题3】
证明：∵a
n
＝4－2n，∴a
n
＋
1
＝4－2(n＋1)
＝2－2n.
∴a
n
＋
1
－a
n
＝(2－2n)
－(4－2n)＝－2.
∴{a
n
}是等差数列．
答案：1．C 由题意
a
1
(a
1
2d)8,
解得d＝
±1.
a
1
d3,
2．B
a
1
＝－3，d＝1－(－3)＝4，
故a
15
＝a
1
＋(15－1)d＝－3＋14×4＝53.
3．C a
1
＝1，d＝(－1)－1＝－2，
故a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝3－2n，
令－89＝3－2n，解得n＝46.
4．分析：转化为证明lg
a
n
＋
1
－lg a
n
是一个与n无关的常数．
证明：设b
n
＝lg a
n
＝lg
7
n
＋
2
＝(n＋2)lg 7，
则b
n
＋
1
＝[(n＋1)＋2]lg 7＝(n＋3)lg 7，
则b
n
＋
1
－b
n
＝(n＋3)lg
7－(n＋2)lg 7＝lg 7＝常数．
所以数列{b
n
}是等差数列，
即数列{lg a
n
}是等差数列．
5．分析：转化为求等差数列的第15项．
解：设从上面开始第n行铺瓦a
n
块，则数列{a
n
}是首项为30，
公差为3的等差数列．
则a
15
＝a
1
＋14d＝30＋14×3＝72，
即该侧面最下面一行应铺瓦72块．
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答案：1．(1)同一个常数 公差
【做一做1】 3
2．a
1
＋(n－1)d
【做一做2】 C
3．A a与b
【做一做3】
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