10．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、
春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影
之和为三丈一 尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和
为（

）（注：一丈
=
十尺，一尺
=
十寸）

A
．一丈七尺五寸

C
．二丈一尺五寸

B
．一丈八尺五寸

D
．二丈二尺五寸

11．在 等差数列

a
n

中，
a
5
a
2016
4
，
S
，是数列

a
n
的前
n
项和，则
S
2020
=
（

）

A
．
2019 B
．
4040 C
．
2020 D
．
4038

12．已知
a
n

是公差为
2
的等差数列，前
5
项和S
5
25
，若
a
2m
15
，则
m 
（

）

A
．
4 B
．
6 C
．
7 D
．
8

S
9

（

）

a
913．设等差数列
{a
n
}
的公差
d
≠
0，前
n
项和为
S
n
，若
S
4
5a< br>2
，则
A
．
9 B
．
5 C
．
1 D
．
5

9
121
11
0,nN
*
，则
nN
*
时，使14．已知数列
{a
n
}< br>满足
a
2
,a
5
a
1
,
且a
n
a
n1
a
n2
25
得不等式
n100a
n
a
恒成立的实数
a
的最大值是（

）

A
．
19 B
．
20 C
．
21 D
．
22

15．在等差数列
{an
}
的中，若
a
1
1,a
3
5
， 则
a
5
等于（

）

A
．
25 B
．
11 C
．
10 D
．
9

16．已知数列

a
n

中，
a
n
a
n1
2(n2)
，且
a1
1
，则这个数列的第
10
项为（

）

A
．
18 B
．
19 C
．
20 D
．
21

17．已知数列

a
n

是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前
n
项和为
S
n
.
若
pmnq
且
pqmnp,q ,m,nN
*
，则下列判断正确的是（

）

A
．
S
2p
2pa
p
B
．
a
p
a
q
a
m
a
n

D
．

1111

C
．

a
p
a
q
a
m
a
n
1111
 

S
p
S
q
S
m
S
n
18．已知等差数列

a
n

中，
a
7
 a
9
16
，
a
4
1
，则
a
1 2
的值是（

）

A
．
15 B
．
30 C
．
3 D
．
64

19．已 知数列
{x
n
}
满足
x
1
＝
1
，
x
2
＝
A
．
(
112
2
(n≥2)
，则
x
n
等于（

）

，且
xxx
3
n1n1n
C
．
n1

2
a
1
a
2
a
9

20．已知数列

a
n

是公差不为零的等差数列，且
a< br>1
a
10
a
9
，则
a
10
2< br>n
－
1
)
3
B
．
(
2
n
)
3
2

n1
D
．
（

）

27
5
B
．

2
8
二、多选题21．题目文件丢失！
A
．
C
．
3 D
．
4

22．题目文件丢失！
23．题目文件丢失！
24．题目文件丢失！

25．等差数列

a
n

的前
n
项和为< br>S
n
，若
a
1
0
，公差
d0
， 则（

）

A
．若
S
5
>S
9
，则
S
15
0

C
．若
S
6
S
7
， 则
S
7
S
8

B
．若
S
5=S
9
，则
S
7
是
S
n
中最大的项< br>
D
．若
S
6
S
7
则
S
5
S
6
.

26．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙 》是一部在中国乃至世界最早的科学
普及著作
.
《算学启蒙》中涉及一些
“< br>堆垛
”
问题，主要利用
“
堆垛
”
研究数列以及数列的 求和
问题
.
现有
100
根相同的圆形铅笔，小明模仿
“堆垛
”
问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰
梯形的
“
垛
”
，要求层数不小于
2
，且从最下面一层开始，每一层比上一层多
1
根，则该
“
等
腰梯形垛
”
应堆放的层数可以是（

）

A
．
4 B
．
5 C
．
7 D
．
8

27．无穷等差数列

a
n
< br>的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
＞0
，
d
＜
0
，则下列结论正确的是（

）

A
．数列

a
n

单调递减

C
．数列

S
n

单调递减

B
．数列

a
n

有最大值

D
．数列

S
n

有最大值

2 8．已知数列

a
n

为等差数列，则下列说法正确的是（

）

A
．
a
n1
a
n
d< br>（
d
为常数）

C
．数列

B
．数 列

a
n

是等差数列

D
．
a
n1
是
a
n
与
a
n2
的等差中项< br>

1


是等差数列


an

2
29．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
S
n
n5n,
则下列 说法正确的是（

）

A
．
{a
n
}
为等差数列

C
．
S
n
最小值为

B
．
a
n
0< br>
D
．
{a
n
}
为单调递增数列

21

4
B
．
S
17
0
30．等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
Sn
，若
a
9
0
，
a
10
0
，则下列结论正确的是（

）

A
．
S
10
S
9
C
．
S
18
S
19
D
．
S
19
0


【参考答案】
***
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一、等差数列选择题

1
．
D

【分析】


设该女子第
nnN
尺布，前
nn N
天工织布
S
n
尺，则数列

a
n
< br>为等差数列，设其公

差为
d
，根据
a
15
，
S
30
390
可求得
d
的值
.

【详解】


设该女子第
nnN
尺布，前
nnN
天工织布
S
n
尺，则数列

a
n

为等差数列，设其公

差为
d
，

由题意可得
S
30
30a
1

故选：
D.
2
．
C

【分析】

根据题意转化成等差数 列问题，再根据等差数列下标的性质求
a
2
a
3
a
4< br>.

【详解】

由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的 重量为
a
1
，粗的一端的重量为
a
5
，
可知
a
1
2
，
a
5
4
，

根据 等差数列的性质可知
a
1
a
5
2a
3
6a
3
3
，

中间三尺为
a
2
a
3
a
4
3a
3
9
.

故选：
C

【点睛】

本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型
.

3
．
D

【分析】

由题意结合新定义的概念求得 数列的前
n
项和，然后利用前
n
项和求解通项公式，最后裂
项求和即 可求得最终结果
.

【详解】

设数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，由题意可得：
当
n1
时，
a
1
S
1
2
，

当
n2
时，
a
n
S
n
S
n 1
4n2
，

且
a
1
4122
，据此可得

a
n
4n2
，

故
b
n
< br>3029
16
d1501529d390
，解得
d
.

29
2
n1
2

，则：
S
n
2n
，

S
n
2n
111

11

a
n



2n1
，

，

bb2n12n122n12n1

2

nn1
据此有：

11
b
1
b
2
b
2
b
3

1
b
9
b
10

11









1719

1


1

11


1







2


3

35

1189
.
21919
故选：
D

4
．
D

【分析】

根据等 差数列的性质，可判定
A
、
B
正确；当首项与公差均为
0
时 ，可判定
C
正确；当首
项为
1
与公差
1
时，可判定
D
错误
.

【详解】

由题意，数列
< br>a
n

为等差数列，
S
n
为前
n
项 和，

根据等差数列的性质，可得而
S
5
,S
10
S
5
,S
15
S
10
，和
S
2
,S
4
S
2
,S
6
S
4
构成等差数
列，所以，所以
A
，
B
正确；

当首项与公差均为
0
时，
S
5
,S
10
,S
15
 S
10
是等差数列，所以
C
正确；

当首项为
1< br>与公差
1
时，此时
S
2
2,S
4
S2
31,S
6
S
10
86
，此时
S2
,S
4
S
2
,S
6
S
4
不构成等差数列，所以
D
错误
.

故选：
D.

5
．
B

【分析】

先利用等差数列的下标和性质 将
a
3
a
5
2a
10
转化为
2

a
4
a
10

4a
7
，再根据< br>S
13

13

a
1
a
13
2
13a
7
求解出结果
.

【详解】

因为
a
3
a
5
2a
10
2

a
4
a
10

4a7
4
，所以
a
7
1
，

13
a
1
a
13

13a
7
13 113
，

2
故选：
B.

【点睛】

又
S
13

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若
m npq2tm,n,p,q,tN
（
1
）当

a
n

为等差数列，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
2a
t
；

（
2
）当< br>
a
n

为等比数列，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
a
t
.

2

*

，

6
．
C

【分析】

首先根据
S
n

到答案
.

【详解】

111
n

n1

得到
a
n
n
，设
b
n

，再利用裂 项求和即可得
aann1
2
nn1
当
n1
时，
a
1
S
1
1
，

当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1

n

n1

n

n1

n
.

22
检验
a
1
1S
1
，所以
a< br>n
n
.

设
b
n

1111
，前
n
项和为
T
n
，

an
a
n1
n

n1

nn1
则
T
10


1
故选：
C

7
．
C

【分析】



1
11

110

11

…1 
.


2

23

101 11111

由题设求得等差数列
{a
n
}
的公差
d
，即可求得结果
.

【详解】

S
3
153a
2
，
a
2
5
，

a1
2
，

公差
da
2
a
13
，

a
8
a
1
7d27323
，

故选：
C.

8
．
B

【分析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得
S
9
的值
.

【详解】

由等差数列的性质，可得
a
3
a
4< br>a
5
a
6
a
7
5a
5
2 0
，则
a
5
4

S
9

a1
a
9
2a
9
5
936

22
故选：
B

9
．
B

【分析】

画出图形分析即可列出式子求解
.

【详解】

所给数列为高阶等差数列
,
设该数列的第
8项为
x
，根据所给定义：用数列的后一项减去
前一项得到一个新数列，得到的新数 列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了
一个等差数列，如图：

由图可得：

故选：
B.

10
．
D

【分析】


y3612

x155

，解得

.

x107yy48

由题知 各节气日影长依次成等差数列，设为

a
n

，
S
n
是其前
n
项和，已知条件为
S
9
85.5
，< br>a
1
a
4
a
7
31.5
，由等差数列 性质即得
a
5
，
a
4
，由此可解得
d
，再 由等差
数列性质求得后5项和．

【详解】

由题知各节气日影长依 次成等差数列，设为

a
n

，
S
n
是其 前
n
项和，

则
S
9

9
a
1
a
9

9a
5
85.5
（ 尺），所以
a
5
9.5
（尺），由题知
2
a
1< br>a
4
a
7
3a
4
31.5
（尺），

所以
a
4
10.5
（尺），所以公差
da< br>5
a
4
1
，

则
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
5 a
10
5

a
5
5d

22.5< br>（尺）．

故选：
D
．

11
．
B

【分析】

由等差数列的性质可得a
5
a
2016
a
1
a
2020
4
，则
a
1
a
2020
20201010
a
5
a
2016

可得答案
.

2
【详解】

S
2020

等差数列
< br>a
n

中,

a
5
a
2016< br>a
1
a
2020
4

S
2020
a
1
a
2020
20201010

a
5
a
2016

410104040


2
故选：
B

12
．
A

【分析】

由
S
5
25
求出
a
1
，从而可求出数列的通项公式，进而可求出
m
的值

【详解】

解：由题意得
5a
1

54
225
，解得
a
1
1
，

2

所以
a
n
a
1
(n1)d12(n1)2n 1
，

因为
a
2m
15
，所以
22 m115
，解得
m4
，

故选：
A

13
．
B

【分析】

由已知条件，结合等差数列 通项公式得
a
1
d
，即可求
【详解】

S
9
.

a
9
S
4
a
1
a
2
a
3
a
4
5a
2
，即有
a
1
a
3
a
4
4a
2
，得
a
1
d
，

∴
S
9
< br>9(a
1
a
9
)
45d
，
a
9
9d
，且
d0
，

2
S
9
5
.

∴
a
9
故选：
B

14
．
B

【分析】

由等差数列的性质可得数列

而可得
a
n

【详解】

因为
1

1

为等差数列，再由等差数列的通项公式可得

a< br>n
a

n

n
，进
1
，再结合基本 不等式即可得解
.

n
211
121
0,nN*
，所以

，

a
n
a
n1a
n2
a
n1
a
n
a
n2
所以 数列


1


为等差数列，设其公差为
d
，

a

n

111
11
2,5
a,aa
由
2
，

51
可得
a
2
a
5
a
1
25

1

1
a
d2

1

1
所以
，解得

a
1
，

11

4d5 

d1


a
1

a
1所以
11
1


n1

dn
， 所以
a
n

，

a
n
a
1
n
所以不等式
n100a
n
a
即
n
又n
100
a
对任意的
nN
*
恒成立，

n
100100
2n20
，当且仅当
n10
时，等 号成立，

nn

所以
a20
即实数
a的最大值是
20
.

故选：
B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用
.

15
．
D

【分析】

利用等差数列的性质直接求解．

【详解】

因为
a
1
1,a
3
5
，
故选：
D
．

16
．
B

【分析】

由已知判断出数列

a
n

是以
1
为首项，以
2
为公差的等 差数列，求出通项公式后即可求得
2a
3
a
1
a
5a
5
9
，

a
10
.

【详解】

a
n
a
n1
2

n2

，且
a
1
1
，


数列

a
n

是以
1
为首项，以
2
为公差的等差数列，

通项公式为
a
n
12

n1

2n1
，

a
10
210119
，

故选：
B.

17
．
D

【分析】

利用等差数列的求和公式可判断
A
选项的正误；利用作差 法结合等差数列的通项公式可判
断
B
选项的正误；利用
a
p
a
q
a
m
a
n
结合不等式的基本性质可判断
C< br>选项的正误；利用等
差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断
D
选项的正 误
.

【详解】

对于
A
选项，由于
S< br>2p
2
对于
B
选项，由于
mpqn
，则

2p

a
1
a
2p

p

a
p
a
p1

2pa
p
，故选项
A
错误；

a
p
a
q
a
m< br>a
n



a
m


p m

d





a
n


qn

d


a
m
 a
n

2



a
m


qn

d





an


qn

d


a
m
a
n


qn

a
m
a
n

d

qn

d

2

qn

nm

d
2
< br>
qn

d
2
0
，故选项
B
错 误；

11
a
p
a
q
a
m
a
n
a
m
a
n
11

对于C
选项，由于，故选项
C
错误；

a
p
aq
a
p
a
q
a
p
a
q
a
m
a
n
a
m
a
n
2

对于
D
选项，设
xqnmp0
，则
pqmn
mx

nx

mnx

nm

x
2
0
，从而
pqmn
，
由于
pqmnpq2pqmn2mn
，故
p
2
q
2
m
2
n
2
.

2222
p1

q1

pq

pq
1mn

mn

1

m1< br>
n1

，

p
2
q
2pqm
2
n
2
mn
故
S
p
S
q


pq

a
1
d

mn

a
1
dS
m
S
n
.

22
p

p1


q

q1


pq

pq2

pq< br>
p1

q1

2

S
p< br>S
q


pa
1
d



qa
1
d

pqa
1
2
a1
dd
2224


mn

mn 2

mn

p1

q1

2
a
1
dd
24
mn

mn2

m n

m1

n1

2
mna
1< br>2
a
1
ddS
m
S
n
，
< br>24
mna
1
2

11
S
p
S
q
S
m
S
n
11

由此，故选 项
D
正确
.

S
p
S
q
S
p
S
q
S
m
S
n
S
m
S
n
故选：
D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数 列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表
示
a
n
、
S
n
，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断
.

18
．
A

【分析】

设等差数列
a
n

的公差为
d
，根据等差数列的通项公式列方程组，求出< br>a
1
和
d
的值，

a
12
a
1
11d
，即可求解
.

【详解】

设等差数列

a
n

的公差为
d
，

7

d


a
1
6da
1
8d16

a
1
7d8< br>
4

解得：

则

，即

，

17< br>a3d1a3d1

1

1

a
1

4

所以
a
12
a
1
 11d
所以
a
12
的值是
15
，

故选：
A

19
．
C

【分析】

17760
1115
，

444

由已知可得数列

【详解】

1

1

是等差数列，求出数列

的通项公式， 进而得出答案．

x

n

x
n
113

1

1,
，故公差
d
1

由已知可得数列

是等差数列，且
x
1
x
2
2
2

x
n

11n1
2
1 n1

则，故
x
n


x
n
22
n1
故选：
C

20
．
A

【分析】

根据数列

a
n

是等差数列，且
a
1
a
10
 a
9
，求出首项和公差的关系，代入式子求解.

【详解】

因为
a
1
a
10
a
9
，

所以
2a
1
9da
1
8d
，

即
a
1
d
，

a
1
a2
a
9
9a
5
9

a
1< br>4d

27d27

.

所以
a< br>10
a
10
a
1
9d8d8
故选：
A
二、多选题

21．无

22．无

23．无

24．无

25
．
BC

【分析】

根据等差数列的前
n
项和性质判断．

【详解】

A
错：
S
5
S
9
 a
6
a
7
a
8
a
9
0a
1
a
14
0S
15
0
；
B
对：
S
n
对称轴为
n
7
；

C
对：
S
6
S
7
a
7
0
，又
a< br>1
0
，
d0a
8
a
7
0S< br>7
S
8
；

D
错：
S6
S
7
a
7
0
，但不能得出
a
6
是否为负，因此不一定有
S
5
S
6
．

故选：
BC
．

【点睛】

关键点点睛：本题考查 等差数列的前
n
项和性质，（
1
）
S
n
是关于n
的二次函数，可以利
用二次函数性质得最值；（
2
）
S
n
S
n1
a
n
，可由
a
n
的正负 确定
S
n
与
S
n1
的大小；
（
3
）
S
n

26
．
BD

【分析】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为
a
1
，公差即每一层比上
一层多的根数为
d1
，设一共放
n

n2

层，利用等差数列求和公式，分析即可得解
.

【详解】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为
a
1
，公差为
d1
，设
一共放
n

n 2

层，则总得根数为：

n(a
1
a
n
)
，因此可由
a
1
a
n
的正负确定
S
n
的正负．

2
n

n1

dn

n1

S
n
na
1
na
1< br>100

22
整理得
2a
1


200
1n
，

n
200


1 n

2
且为偶数，

n
因为
a
1
N
，所以
n
为
200
的因数，
验证可知
n5 ,8
满足题意
.

故选：
BD.

【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目 信息转化为等
差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.

27
．
ABD

【分析】

由
a
n1
a
n
d0
可判断
AB
，再由
a
1
＞
0
，
d
＜
0
，可知等差数列数列

a
n

先正后负，可
判断
CD.

【详解】

根据等差数列定义可得
a
n1
a
n
d0
，所以数列

a
n

单调递减，A正确；

由数列

a
n

单调递减，可知数列

a
n

有最大值
a
1
，故
B
正确 ；

由
a
1
＞
0
，
d
＜
0
，可知等差数列数列

a
n

先正后负，所以数列

S
n

先增再减，有最大值，
C不正确，D正确.

故选：ABD.

28
．
ABD

【分析】

由等差数列的性质直接判断
AD
选项，根 据等差数列的定义的判断方法判断
BC
选项
.

【详解】

A.
因为数列

a
n

是等差数列，所以
a
n1
a
n
d
，即
a
n1
a< br>n
d
，所以
A
正确；

B.
因为数列< br>
a
n

是等差数列，所以
a
n1
a< br>n
d
，那么

a
n1



a
n



a
n1
a
n

d
，所以数列

a
n

是等差数 列，故
B
正确；

C.
11
aa
n1
d

1


n

，不是常数，所以数列

不是等差数列，故
C
不正
a
n1
a
na
n
a
n1
a
n
a
n1

a
n

确；

D.
根据等差数列的性质可知
2a
n1
a
n
a
n2
，所以
a
n1
是
a
n
与
a
n2
的等差中项，故
D正
确.

故选：
ABD

【点睛】

本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型
.

29
．
AD

【分析】


S
1
,n1
利用
a
n


求出数列的通项公式，可对
A
，
B
，
D
进行判断，对
SS,n2
n1

n
S
n
n
2
5n,
进行配方 可对
C
进行判断

【详解】

解：当
n1
时，
a
1
S
1
154
，

2 2
当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
n5n[(n1)5(n1)]2n6
，

当
n1
时，
a
1
4
满足上式，

所以
a
n
2n6
，

由于
a
n
a
n1
2

n2

，所以数列
{a
n
}
为首项为
4
，公差为
2
的等差数列，< br>
因为公差大于零，所以
{a
n
}
为单调递增数列，所以A， D正确，B错误，

由于
S
n
n5n(n)
2< br>5
2
2
25
，而
nN
+
，所以当
n2
或
n3
时，
S
n
取最小值，
4
且 最小值为
6
，所以
C
错误，

故选：
AD

【点睛】

此题考查
a
n< br>,S
n
的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和
前n项和的最值问题，属于基础题

30
．
ABD

【分析】

先根据题意可知前
9
项的和最小，判断出
A
正确；根据题意可知数列为递减数列，则
a
19
0
，又
S
18
S
19
a
19
，进而可知
S< br>15
S
16
，判断出
C
不正确；利用等差中项的性质
和求和公式可知
S
17


a
1
a
1 7

17
2

2a
9
17
17a< br>9
0
，
2
S
19


a
1
a
19

19
2

2a
10
19
19a
10
0
，故
BD
正确
.

2
【详解】

根据题意可知数列为递增数列，
a
90
，
a
10
0
，


前
9
项的和最小，故
A
正确；

S17
S
19
a
1
a
17

17< br>

2
a
1
a
19

19

2


2a
9
17
17a< br>9
0
，故
B
正确；

2
2a
10
19
19a
10
0
，故
D
正确；

2
a
19
0
，

S
18
S
19
a
19
，

S
18
S
19
，故
C
不正确
.

故选：
ABD
.

【点睛】

本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
.