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等差数列

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奚新桃 曾固本

数学




如果你的单元作品集将来被选中而上传到英特尔®未来教育数据库中，你是否愿意署名？
是 否

单元概览
单元标题
基本问题
单元问题
等差数列

如何对实际生活中“等差数列”问题进行数学建模？
1. 如何快速判断一个数列是否为等差数列？
2. 等差数列的通项公式是如何推导出来的？
3. 等差数列的前n项和是如何推导出来的？如何选择公式进行计
框架问题
内容问题 1.
2.
3.
单元概述
算？
什么样的数列叫等差数列？等差数列有什么特点？公差是什么？
等差中项是什么？ 如何求等差中项？
你知道等差数列的通项公式吗？如何运用公式进行计算？
你知道等差数列的前n项和公式吗？如何运用公式进行计算？

本单元旨在让学 生理解和掌握等差数列的概念，能理解和掌握等差
数列和其前n项和公式，能运用公式进行计算，并能运 用所学知识解决
有关的实际生活中的问题。通过演示文稿中的幻灯片逐步呈现问题，由
简单到复 杂，由特殊到一般，调动学生的学习性，让学生在“跳一跳，
摘得到”的学习环境下，尝试自主学习：分 析等差数列的特点，自己构
造等差数列，自己编题并解题等提高学生的数学学习积极性。通过推导
和运用等差数列通项公式及其前n项和的公式，让学生享受数学思维的
乐趣。通过生活实际问题的设计 感受“数学来源于实践，并应用于实践”，
激发学生学习生活数学的兴趣。并站在学生的角度设计网页， 引导学生
自己去学习数学、探究数学问题，获取数学学习的乐趣。
关键词 等差数列、公差、等差中项、通项公式、前n项和公式、自主学习、乐
趣

学科领域（在相关学科复选框内打勾）：
思想品德
音乐
语文
美术
数学
外语
体育
物理

化学 生物 历史 地理
信息技术教育 研究性学习 社区服务 社会实践
劳动与技术教育 其他：社会学科、戏
剧

年级（在相关年级复选框内打勾）：
小学 年级 初中 年级 高中1-3年级 其他：中专一
年级

课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：
1、情感体验： “快乐学习”。中 职学生有太多的失败，对学习尤其是数学更是没有乐趣，学习成
绩差不是他们脑子笨，而是压根没把心思 放在学习上。心理学上证明，凡人们感兴趣的事物，就会
引起注意，并能使人感知敏锐，思维活跃，想象 丰富，从而引起探究倾向，他们就会执着地追求和
钻研，他的智力因素也会得到最大限度的发挥。要改变 中职学生的数学学习现状，数学学习必须有
新颖的学习方式，数学课堂必须有吸引学生注意的东西，让学 生感兴趣。学生对学习有了兴趣，就
会有快乐的体验，让学生逐步从厌学走向乐学。
2、知识 的掌握和能力的培养：在等差数列的概念、通项公式、前n项和公式的理解和掌握中，不断
培养学生分析 、判断、推理和探究等数学思维能力，并培养学生运用所学知识解决数学问题和实际
生活中的有关问题的 能力。


学习目标：
一、 数学学科的学习目标：
学 生通过对问题的思考，理解等差数列的含义和特点，理解通项公式和前n项和公式的推导过
程，理解数学 与实际生活的联系，能运用所学知识解决数学问题和有关的实际问题。学生在自主学
习和探究数学问题的 尝试中，体验数学学习的乐趣。
二、信息技术的学习目标：
通过PowerPoint教师 演示文稿和FrontPage学生网站的设计，让学生感受信息技术在数学学
科中的运用，引导学生上 网查找数学学习资料，探究数学问题，从而提高学生利用信息技术进行数
学学习的兴趣。
过程（教学或学习过程）：
一、 逐步展示教师演示文稿，开展教师的教和学生的学。（分三次课）
第一次课（2个课时）：
（一） 等差数列的概念和特点：
1、 投影出示三个数列：1，3，5，7，9， ，…… ①
0，5，10，15，20， ，…… ②
-2，2，6，10， ，…… ③
要求：观察思考后讨论：你会写出它们的后一项吗？它们有什么共同特点？
2、 引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
请在“课程标准”
处提醒学员充分研
究我国 的新课程标
准，并告诉他们在
附录中提供了指向
我国各科新课程标
准的网站链 接。
“
2、

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 2 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 4

3、师生一起归纳概括出等差数列的概念和特点：
概念：一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列。
特点：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
．．．．．．．．．．
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
那么d1=2，d2=5，d3= 4。
4、学生自己尝试构造等差数列，并由师生共同分析评判其是否构成等差数列，公差是多少？
5、等差数列的判定：
投影出示问题：以下三个数列是否为等差数列，若是，公差是多少？
2，2，2，2，2…… ①
2，0，-2，-4，…… ②
2，4，6，10，…… ③
引导学生得出结论：①d1=0（数列中的每一项都相等时，公差为0，该数列称为常数列。）
②d2=-2（公差可以任何实数。）
③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，才是等差数列。
．．．
。
（二） 等差数列的通项公式：
1、引入：数列100，97，94， ，……，第10项是多少？第20项是多少？第n项
是多少？
2、通项公式的推导：一般地， 等差数列｛
a
n
｝，首项为
a
1
，公差为d，求
a
n
=？

师生一起分析：
方法一：不完全归纳法：
a
2
a
1
d

a
3
a2
d(a
1
d)da
1
2d

a
4
a
3
d(a
1
2d)da
1
3d
思考：
a
5
a
1
?d


a
10
a
1
?d


a
20
a
1
?d

a
n
a
1
?d


a
2
a
1
d
师生共同归纳得出等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
。
a
3
a
2
d
方法二：叠加法：
a
4
a
3
d


思考：两边同时作加法，抵消后左边等于什么？右边多少个d相加？
a

n
a
1
(n1)d
结论：
a
n
a
n1
d
同样得等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
。
思考：1）
n1
时， 公式是否成立？（注意：
a
1
a
1
）
2）通项公式中有几个量，已知多少个量可以求出另外一个量？
（在
a
n
 a
1
(n1)d
中
n
，
a
1
，
d
，
a
n
四数中已知三个可以求出另一个。）
（三）应用：
1、P120例1 和P121例2
（学生看书，师巡视进行个别辅导。提示：公差d如何求？）

2、学生自己编题（已知3个量求另一个量），其他同学解答并由师生共同评价和验证。
3、堂上尝试练习：p120 A组填书上；解决B组第1、2题和C组第1、2题。
（四）小结：
等差数列的概念、特点和通项公式。
（五）作业：
课后练习：p122 B组第1题和C组第1、2题。
第二次课（2个课时）：
（一）复习等差数列的概念、特点和通项公式
（二）等差中项
1、质疑引入：填空：使数列8， ，2 ，-4成等差数列。 < br>2、等差中项：一般地，如果
a,A,b
成等差数列，则
A
a，b的 等差中项。
你会上面的填空了吗？请尝试。
由填空题分析发现：
一般地， 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（项数有限的等差数列末项除外）
都是它的前一项与后一项的等 差中项。
3、拓展：思考：
a
n
是哪两个项的等差中项？
结论：
2a
n
a
n1
a
n1

学生自学：p121例3（师作个别辅导）
4、堂上练习：p122 B组第2题和A组2、3题。
ab
（A-a=b-A），A叫做
2
（三）等差数列的前n项和
1、 抛出问题：你会算1+2+3+4+5+6+……+100吗？
根据学生的回答提高难度，造成认识冲突：你会算1+2+3+4+5+6+……+153吗？
2、故事引入：
高斯算法：高斯是德国一位世界著名的数学家，他小时候非常淘气，一次老师 去
开会，他和同学们闹腾。老师回来后大发雷霆，命令他们全班所有人都开始算
1+2+3+4 +5+6+……+100的得数，小高斯看了看题目，想了一下，很快说出结果是
5050。他的同学无 不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说。但小高斯得出的结果
被确定是正确的。
师生共同 分析，这100个数，1和100，2和99，……，每两个数是一对，共有50
对，即共有50个10 1，所以1＋2＋3＋……＋100＝101×50＝5050。后来人们把这种
简便算法称作高斯算法 。
1，2，3，4，……，100……是一个等差数列，1＋2＋3＋……＋100是这个等差数列前100项的和，这个等差数列前100项的和＝（首项＋末项）×项数÷2。
现在你会算1+2+3+4+5+6+……+153了吗？
2、 等差数列前n项和公式：一 般地，等差数列
｛
a
n
｝，首项为
a
1
，
公差为d，
求
前n项
的和
s
n
。
引导学生类比联想：
S
n

验证：
公式一：

推导方法：逆序相加法：
n(a
1
a
n
)
< br>2

s
n
a
1
a
2
a< br>3
a
n

s
n
a
n
a
n1
a
n2
a
1

分析： a
2
a
n1
a
1
da
n
 da
1
a
n

a
3
a
n2
a
2
da
n1
da
2
a
n1< br>a
1
a
n

……
思考：左边有多少个
s
n
，右边共有多少n个（
a
1
a
n
）？ 结论：左边有2个
s
n
，右边共有n个（
a
1
an
），则
2s
n
n(a
1
a
n
)

得 等差数列前n项和的公式一：
S
n

n(a
1
a
n
)

2
公式二：
由
a
n
a
1
(n1)d
，学生尝试将
a
n
代入前n项和的公式一中，进行 化简变形。
得等差数列前n项和的公式二：
S
n
na
1

n(n1)
d

2
思考：两个公式中各有几个量，已知多少个量可以求出另外一个量？
（公式一中n ，
a
1
，
a
n
，
s
n
四数中已知 三个可以求出另一个。
公式二中n，
a
1
，d，
s
n
四数中已知三个可以求出另一个。)
（四）应用：
1、P123例4和P1 24例5
（学生看书，师巡视进行个别辅导。提示：求
s
10
可知n=?并思 考
该
用哪个公式？例5先求通项公式再求和.）

2、计算1+3+5+7+……+153（提示：先利用通项公式求出项数n）
3、堂上尝试练习：p124 解决B组第1、2、3题。
（
五）小结：
等差数列中项和等差数列前n项和的两个公式。
（六）作业：
课后练习：A组第1、2、3题和C组第1题。
第三次课（综合练习课2课时，由易到难。）
（一）复习等差数列的概念、特点和通项公式、等差中项和前n项和公式
（二）学生练习：
1、判断下列数列是否为等差数列，若是，写出它的首项、公差、通项公式及第10项。
（1）1，3，5，7……；
（2）
1
2
1
，，0，

……。
33< br>3
2、选择题：一个等差数列前三项依次为x-1，x+1，2x+3，则x的值为（ ）
A -2 B 0 C 2 D 4
3、在等差数列
｛
a
n
｝中，已知
a
1
=3，
a
20
=60，求它的通项公式。
4、在等差数列
｛
a
n
｝ 中，（1）已知
a
1
=5，
a
n
=95，n=18，求s
n
；
（2）已知
a
1
=100，d=-3，n=25，求
s
n
；
（3）已知
a
1
=
3
2
，
a
n
=-，n=14，求
s
n
。
3
2

5、变式练习题：解方程：(注意观察等式左边数的特点) (x+1)+(x+4)+(x+7)+(x+10)+(x+13)+(x+16)+(x+19)+(x +22)+(x+25)+(x+28)=155
（三）等差数列在生活中的应用：
1、师生共同学习p125例6
分析：剧院交错安排座位，各排的座位数成等差数列，已知n =51，d=3，
a
51
=180，
要求
S
51
，得先利用通项公式求出首项
a
1
。
2、尝试练习
（1）p126 B组第2题
（2）2008年北京奥运会的体育 馆已建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数
了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数 为2008个，而且一共有36排，问
这一块地的方砖有多少块？
（3）2003年医护人员 积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人
体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一 排的病毒数是2个，后面每一排比前一排
多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？
（四）等差数列的数学建模
1、我市出租车的计价标准为1.5元km，起步价为4元，即最 初的2km内（不含2km）
计费4元。如果某人乘坐出租车去往10km处的目的地，且一路畅通，等 候时间为0，
需要支付多少车费？
分析：当出租车的行程大于或等于2km时，每增加1km ，乘客需要多支付1.5元.
所以，我们可以建立一个等差数列
｛
a
n
｝
来计算车费.
令
a
1
=5.5，表示2km处的车费，公差 d=1.5。那么当出租车行至10km处时，n=9，
求

a
9
。
思考：若你来构建，你打算怎样构建？
2、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为 单利，即不把利息加入本金计算
下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+年 利率×存期）.
例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本
利和分别是：
时间
第1年
第2年
第3年
年初本金（元）
10 000
10 000
10 000
年末本利和（元）
10 072
10 144
10 216
各年的本利和是否构成等差数列？若是，
a
1
=？d=? 如何用等差数列通项公式来求第5
年的本利和？
分析：令
a
1
=1000，则d=本金×年利率＝72元，那么第5年的本利和应是求
a
6
。
思考：若你来构建，你打算怎样构建？
（五）作业：
1、书中练习题p126 B组第1题、C组第1、2题。

2、等差数列{
an
}的首项为a
1
，公差为
d
，项数为
n
，第
n
项 为
a
n
，前
n
项和为
S
n
，
请填 写下表：
a
1

5

-38
d

10
-2

n

10
8

a
n



-10

S
n


104
-360
二、 展示学生网站，拓展学生的数学知识面。（站在学生角度设计的网站）
预计时间（如，45分钟、4小时、一年等）：
三次课，每次连堂，共6节课（6个45分钟）。
前需技能（学生在开始此单元前必须掌握的知识或技能）：
1、 学生要具备一定的数列基础知识和较强的计算能力，具备一定的数学学习兴趣。
2、 学生要具备一定的分析、判断、推理和探究等数学思维能力。
3、
学生要具备一定的计算机操作能力和利用网络或书籍查找并筛选资料的能力。

本单元所需材料和资源：
印刷资料
辅助材料
网络资源
其他
课本、印发补充的生活实例、数学建模题和有关表格。
多媒体室、Internet网络。
网络上有关等差数列的知识和教学案例。

评价工具（请将制作完成的评价工具名称列在这里，并设置链接，以便指向相应的文件）：
对演示文稿
对出版物
对网站网页
其他评价



为个别化教学所做的调整：
1、 增强对其数学思维能力的培养，加强数学建模思想的渗透。
2、 培养其自主学习的能力，学会从生活中发现数学问题并进行探究
数学基础较好的
学生
解决的能力。
3、 对具备较强电脑操作能力且有数学学习兴趣的学生，鼓励其利用
计算机和网络进行数学学习的能力。
4、 鼓励其帮助需要帮助的学生，形成互相学习、合作学习的气氛。
1、中职学生基础薄弱的比较多，加强个别指导，并鼓励其主动问学生。
需要帮助的学生 2、从生活入手，不断提高他们的数学学习兴趣。
3、加强基础知识的要求，逐步渗透数学意识。