狠-现在开始我爱你歌词

1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{a
n
}的首项为a< br>1
，公差为d，那么它的通项公式是a
n
＝a
1
＋(n－1) d.
3．等差中项
如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a
n
＝a
m＋(n－m)d(n，m∈N
*
)．
(2)若{a
n
}为等差 数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
*
)，则a
k
＋a
l
＝a
m
＋a
n
.
(3)若{a
n
}是等 差数列，公差为d，则{a
2n
}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{a
n
}，{b
n
}是等差数列，则{pa
n
＋qb
n
}也是等差数列．
(5)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a
k，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，…(k， m∈N
*
)是公差为md
的等差数列．
5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{a
n
}的公差为d，其前n项和S
n
＝或S
n＝na
1
＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
S
n
＝n
2
＋n.
数列{a
n
}是等差 数列?S
n
＝An
2
＋Bn(A、B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{a
n
}中，a
1>0，d<0，则S
n
存在最__大__值；若a
1
<0，d>0，则S
n
存在
最__小__值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差
数列．( × )
(2)数列{a
n
}为等差数列的充要条件是对任意n∈N
*
，都有2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋2
.( √ )
(3)等差数列{a
n
}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(4)数列{a
n
}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( × )

(5)数列{a
n
}满足a
n
＋
1
－a
n
＝n，则数列{a
n
}是等差数列．( × )
(6)已知 数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{ a
n
}一定是
等差数列．( √ )
1．(2015·重庆)在等差数列{ a
n
}中，若a
2
＝4，a
4
＝2，则a
6
等于( )
A．－1B．0C．1D．6
答案 B
解析 由等差数列的性质 ，得a
6
＝2a
4
－a
2
＝2×2－4＝0，选B. 2．(2014·福建)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a1
＝2，S
3
＝12，则a
6
等于( )
A．8B．10C．12D．14
答案 C
解析 由题意知a
1
＝2，由S
3
＝3a
1
＋×d＝12，
解得d＝2，所以a
6
＝a
1
＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.
3．在等差数列{a
n
}中，已知a
4
＋a
8
＝1 6，则该数列前11项和S
11
等于( )
A．58B．88C．143D．176
答案 B
解析 S
11
＝＝＝88.
4．设数列{a
n
}是等差数列，若a
3
＋a
4
＋a
5
＝12，则a
1
＋a
2
＋…＋a
7
等于( )
A．14B．21C．28D．35
答案 C
解析 ∵a
3
＋a
4
＋a
5
＝ 3a
4
＝12，∴a
4
＝4，
∴a
1
＋a
2
＋…＋a
7
＝7a
4
＝28.
5．(2014·北京 )若等差数列{a
n
}满足a
7
＋a
8
＋a
9>0，a
7
＋a
10
<0，则当n＝________
时，{a
n
}的前n项和最大．
答案 8
解析 因为数列{a
n
}是等差数列，且a
7
＋a
8
＋a
9
＝3a
8＞0，所以a
8
＞0.又a
7
＋a
10
＝a
8
＋a
9
＜0，所以a
9
＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．

题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{a
n
}中，若a
1
＝－2，且对任意的n∈N
*
有2a
n
＋1
＝1＋2a
n
，则数列
{a
n
}前10项的和为( )
A．2B．10C.D.
(2)已知在等差数列{a
n
}中，a
2
＝7，a
4
＝15，则前10项和S
10
等于( )
A．100
C．380
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由2a
n＋1
＝1＋2a
n
得a
n＋1
－a
n
＝ ，
所以数列{a
n
}是首项为－2，公差为的等差数列，
所以S
10
＝10×(－2)＋×＝.
(2)因为a
2
＝ 7，a
4
＝15，所以d＝4，a
1
＝3，
故S
10
＝10×3＋×10×9×4＝210.
思维升华 (1)等差数 列运算问题的一般求法是设出首项a
1
和公差d，然后由通项
公式或前n项和公式转化 为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公
式，共涉及五个量a
1
， a
n
，d，n，S
n
，知其中三个就能求另外两个，体现了方程
的思 想．
(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＋a
3
＋a
5
＝3，则S
5
等于( )
A．5B．7C．9D．11
(2)已知等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，且满足－＝1，则数列{a
n
}的公差是( )
A.B．1C．2D．3
答案 (1)A (2)C
解析 (1)∵{an
}为等差数列，∴a
1
＋a
5
＝2a
3
，
∴a
1
＋a
3
＋a
5
＝3a
3
＝ 3，得a
3
＝1，
B．210
D．400

∴S
5
＝＝5a
3
＝5.故选A.
(2)∵S
n
＝，∴＝，又－＝1，
得－＝1，即a
3
－a
2
＝2，
∴数列{a
n
}的公差为2.
题型二 等差数列的判定与证明
例2 已知数列{a
n
}中，a
1
＝，a
n
＝2－ (n≥2，n∈N
*
)，数列{b
n
}满足b
n
＝(n∈N
*
)．
(1)求证：数列{b
n
}是等差数列；
(2)求数列{a
n
}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明 因为a
n
＝2－(n≥2，n∈N
*
)，
b
n
＝(n∈N
*
)，
所以b
n＋1
－b
n
＝－
＝－＝－＝1.
又b
1
＝＝－.
所以数列{b
n
}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知b
n
＝n－，
则a
n
＝1＋＝1＋.
设f(x)＝1＋，
则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．
所以 当n＝3时，a
n
取得最小值－1，当n＝4时，a
n
取得最大值3.
引申探究
例2中，若条件变为a
1
＝，na
n＋1
＝(n ＋1)a
n
＋n(n＋1)，探求数列{a
n
}的通项公式．
解 由已知可得＝＋1，
即－＝1，又a
1
＝，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，

∴＝＋(n－1)·1＝n－，
∴a
n
＝n
2
－n.
思维升华 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有a
n＋1
－a
n
等于同一个 常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2a
n＋1
＝a
n＋a
n＋2
后，可递推得出a
n＋2
－a
n＋1
＝a< br>n＋1
－a
n
＝a
n
－a
n－1
＝a
n－1
－a
n－2
＝…＝a
2
－a
1
，根据定义 得出数列{a
n
}
为等差数列．
(3)通项公式法：得出a
n＝pn＋q后，得a
n＋1
－a
n
＝p对任意正整数n恒成立，根
据定义判定数列{a
n
}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出S
n
＝An
2
＋Bn后，根据S
n
，a
n
的关系，得出 a
n
，再使用
定义法证明数列{a
n
}为等差数列．
( 1)若{a
n
}是公差为1的等差数列，则{a
2n
－
1
＋ 2a
2n
}是( )
A．公差为3的等差数列
C．公差为6的等差数列
B．公差为4的等差数列
D．公差为9的等差数列
(2)在数列{a
n< br>}中，若a
1
＝1，a
2
＝，＝＋(n∈N
*
)，则 该数列的通项为( )
A．a
n
＝
C．a
n
＝
答案 (1)C (2)A
解析 (1)∵a
2n－1
＋2a
2n
－(a
2n－3
＋2a
2n－2
)
＝(a
2n－ 1
－a
2n－3
)＋2(a
2n
－a
2n－2
)
＝2＋2×2＝6，
∴{a
2n－1
＋2a
2n
}是公差为6的等差数列．
(2)由已知式＝＋可得
－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列， 所以＝n，即a
n
＝.
B．a
n
＝
D．a
n
＝

题型三 等差数列的性质及应用
命题点1 等差数列的性质
例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a
n}中，若a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋ a
7
＝25，则a
2
＋a
8
＝
________.
(2)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
10
＝10，S
20
＝30，则S
30
＝________.
答案 (1)10 (2)60
解析 (1)因为{a
n
}是等差数列，所 以a
3
＋a
7
＝a
4
＋a
6
＝a
2
＋a
8
＝2a
5
，a
3
＋a
4
＋a
5
＋
a
6
＋a
7
＝5a
5
＝ 25，即a
5
＝5，a
2
＋a
8
＝2a
5
＝10.
(2)∵S
10
，S
20
－S
10
，S
30
－S
20
成等差数列，且S
10
＝10，S
2 0
＝30，S
20
－S
10
＝20，
∴S
30
－30＝10＋2×10＝30，∴S
30
＝60.
命题点2 等差数列前n项和的最值
例4 在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＝20，前n项和为S
n
，且S
10
＝S
15< br>，求当n取何
值时，S
n
取得最大值，并求出它的最大值．
解 ∵a
1
＝20，S
10
＝S
15
，
∴10×20＋d＝15×20＋d，
∴d＝－.
方法一 由a
n
＝20＋(n－1)×＝－n＋.
得a
13
＝0.
即当n≤12时，a
n
＞0，当n≥14时，a
n
＜0.
∴当n＝12或13时，S
n
取得最大值，
且最大值为S
12
＝S
13
＝12×20＋×＝130.
方法二 S
n
＝20n＋·
＝－n
2
＋n
＝－
2
＋.

∵n∈N
*
，∴当n＝12或 13时，S
n
有最大值，且最大值为S
12
＝S
13
＝13 0.
方法三 由S
10
＝S
15
得a
11
＋a< br>12
＋a
13
＋a
14
＋a
15
＝0.
∴5a
13
＝0，即a
13
＝0.
∴当n＝12或13时 ，S
n
有最大值，且最大值为S
12
＝S
13
＝130.
引申探究
例4中，若条件“a
1
＝20”改为a
1
＝－2 0，其他条件不变，求当n取何值时，S
n
取得最小值，并求出最小值．
解 由S< br>10
＝S
15
，得a
11
＋a
12
＋a13
＋a
14
＋a
15
＝0，
∴a
13＝0.又a
1
＝－20，∴a
12
<0，a
14
>0，
∴当n＝12或13时，S
n
取得最小值，
最小值S
12
＝S
13
＝＝－130.
思维升华 (1)等差数列的性质：
①项的性质：在等差数列{a
n
}中，a
m
－a
n
＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其几何意义是点
(n，a
n)，(m，a
m
)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
②和的性质：在等差数列{a
n
}中，S
n
为其前n项和，则 a．S
2n
＝n(a
1
＋a
2n
)＝…＝n(a
n
＋a
n＋1
)；
b．S
2n－1
＝(2n－1)a
n
.
(2)求等差数列前n项和S
n
最值的两种方法：
①函数法：利用等差数列 前n项和的函数表达式S
n
＝an
2
＋bn，通过配方或借助图
象求 二次函数最值的方法求解．
②邻项变号法：
a．当a
1
＞0，d＜0时， 满足的项数m使得S
n
取得最大值S
m
；
b．当a
1＜0，d＞0时，满足的项数m使得S
n
取得最小值S
m
.

(1)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知 a
5
＋a
7
＝4，a
6
＋a
8
＝－2，则
当S
n
取最大值时，n的值是( )
A．5B．6C．7D．8
(2)设数列{a
n
}是公差d＜0的等差数列，S
n
为前n项和，若S< br>6
＝5a
1
＋10d，则S
n
取最大值时，n的值为( )
A．5
C．5或6
B．6
D．11
(3)已知等差数列{a
n
}的首项a
1
＝20，公差d＝－2，则前n项和S
n
的 最大值为
________．
答案 (1)B (2)C (3)110
解析 ( 1)依题意得2a
6
＝4,2a
7
＝－2，a
6
＝2＞0， a
7
＝－1＜0；又数列{a
n
}是等差
数列，因此在该数列中，前 6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是
当S
n
取最大值时，n＝6，选B .
(2)由题意得S
6
＝6a
1
＋15d＝5a
1
＋10d，所以a
6
＝0，故当n＝5或6时，S
n
最大，
选C.
(3)因为等差数列{a
n
}的首项a
1
＝20，公差d＝－2，代 入求和公式得，
S
n
＝na
1
＋d＝20n－×2
＝－n
2
＋21n＝－
2
＋
2
，
又因为 n∈N
*
，所以n＝10或n＝11时，S
n
取得最大值，最大值为110.
6．等差数列的前n项和及其最值
典例 (1)在等差数列{a
n
}中，2 (a
1
＋a
3
＋a
5
)＋3(a
7
＋a< br>9
)＝54，则此数列前10项的
和S
10
等于( )
A．45
C．75
B．60
D．90
(2)在等差数列{a
n
}中，S
10
＝100，S
100
＝10，则S
110
＝________.
(3)等差数列{a
n
}中，已知a
5
>0，a
4
＋a
7
<0，则{a
n
}的前n项和 S
n
的最大值为( )
A．S
4
B．S
5
C． S
6
D．S
7

思维点拨 (1)求等差数列前n项 和，可以通过求解基本量a
1
，d，代入前n项和
公式计算，也可以利用等差数列的性 质：a
1
＋a
n
＝a
2
＋a
n－1
＝…；
(2)求等差数列前n项和的最值，可以将S
n
化为关于n的二次函数，求二次函数的
最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．
解析 (1)由题意得a
3
＋a
8
＝9，
所以S
10
＝＝＝＝45.
(2)方法一 设数列{a
n
}的公差为d，首项为a
1
，
则解得
所以S
110
＝110a
1
＋d＝－110.
方法二 因为S
100
－S
10
＝＝－90，
所以a
11
＋a
100
＝－2，
所以S
110
＝
＝＝－110.
(3)因为所以
所以S
n
的最大值为S
5
.
答案 (1)A (2)－110 (3)B
温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n项和S
n
的最值时，要注意到n∈N
*
；
(2)利用等差数列的性质求S
n
，突出了整体思想，减少了运算量．
[方法与技巧]
1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a
1
，d的方程组进行求解．
2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公
式法判定一个 数列是否为等差数列．
3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．

4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，
a， a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．
[失误与防范]
1．当 公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，a
n
为常数．
2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数
列的前n项和公式 是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第
二项起成等差数列．
A组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．设等差数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，若S
3
＝9，S
6
＝36，则a
7
＋a
8
＋a
9
等于( )
A．63B．45C．36D．27
答案 B
解析 由{a
n
}是等差数列，得S
3
，S6
－S
3
，S
9
－S
6
为等差数列．
即2(S
6
－S
3
)＝S
3
＋(S
9
－ S
6
)，
得到S
9
－S
6
＝2S
6－3S
3
＝45，故选B.
2．(2015·北京)设{a
n
}是等差数列，下列结论中正确的是( ) A．若a
1
＋a
2
＞0，则a
2
＋a
3
＞0
B．若a
1
＋a
3
＜0，则a
1
＋a2
＜0
C．若0＜a
1
＜a
2
，则a
2
＞
D． 若a
1
＜0，则(a
2
－a
1
)(a
2
－ a
3
)＞0
答案 C
解析 设等差数列{a
n
}的公差 为d，若a
1
＋a
2
>0，a
2
＋a
3
＝ a
1
＋d＋a
2
＋d＝(a
1
＋a
2
)< br>＋2d，由于d正负不确定，因而a
2
＋a
3
符号不确定，故选项A错 ；若a
1
＋a
3
<0，
a
1
＋a
2
＝a
1
＋a
3
－d＝(a
1
＋a
3
)－ d，由于d正负不确定，因而a
1
＋a
2
符号不确定，

故选项B错；若01
2
，可知a
1
>0，d>0 ，a
2
>0，a
3
>0，所以a－a
1
a
3
＝(a
1
＋d)
2
－a
1
(a
1
＋2d )＝d
2
>0，所以a
2
>，故选项C正确；若a
1
<0， 则(a
2
－a
1
)·(a
2
－a
3
)＝d ·(－
d)＝－d
2
≤0，故选项D错．
3．设等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，若S
m
－
1
＝－2，S
m
＝0，S
m
＋
1
＝3，则m等于( )
A．3
C．5
答案 C
解析 ∵数列{a
n
}为等差数列，且前n项和为S
n
，
∴数列也为等差数列．
∴＋＝，即＋＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解，故选C.
4．数列{a
n
}的首项为3 ，{b
n
}为等差数列，且b
n
＝a
n
＋
1
－a
n
(n∈N
*
)，若b
3
＝－2，
b
10
＝12，则a
8
等于( )
A．0
C．8
答案 B
解析 设{b
n
}的公差为d，
∵b
10
－b
3
＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2. ∵b
3
＝－2，∴b
1
＝b
3
－2d＝－2－4＝－6 .
∴b
1
＋b
2
＋…＋b
7
＝7b
1< br>＋d
＝7×(－6)＋21×2＝0.
又b
1
＋b
2＋…＋b
7
＝(a
2
－a
1
)＋(a
3
－a
2
)＋…＋(a
8
－a
7
)＝a
8
－a
1
＝a
8
－3＝0，
∴a
8
＝3.故选B.
5．已知数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＝a
n
－，且a
1
＝5，设{a
n
}的前n项和为S
n
，则使得S
n
取得最大值的序号n的值为( )
B．3
D．11
B．4
D．6

A．7
C．7或8
答案 C
B．8
D．8或9
解析 由题意可知数列{a
n
}是首项为5， 公差为－的等差数列，所以a
n
＝5－(n－
1)＝，该数列前7项是正数项，第8项 是0，从第9项开始是负数项，所以S
n
取
得最大值时，n＝7或8，故选C. 6．已知数列{a
n
}中，a
1
＝1且＝＋(n∈N
*
)，则a
10
＝________.
答案
解析 由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，
故a
10
＝.
7．已知递增 的等差数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
3
＝a－4，则a< br>n
＝________.
答案 2n－1
解析 设等差数列的公差为d，
∵a
3
＝a－4，∴1＋2d＝(1＋d)
2
－4，
解得d
2
＝4，即d＝±2.
由于该数列为递增数列，故d＝2.
∴a
n
＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
8．设数列{a
n}的通项公式为a
n
＝2n－10(n∈N
*
)，则|a
1|＋|a
2
|＋…＋|a
15
|＝________.
答案 130
解析 由a
n
＝2n－10(n∈N
*
)知{a
n
}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由
a
n
＝2n－10≥0得n≥ 5，∴n≤5时，a
n
≤0，当n＞5时，a
n
＞0，∴|a
1|＋|a
2
|＋…
＋|a
15
|＝－(a
1
＋ a
2
＋a
3
＋a
4
)＋(a
5
＋a
6
＋…＋a
15
)＝20＋110＝130.
9．若数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
n
＋2S
n
Sn
－
1
＝0(n≥2)，a
1
＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式．

(1)证明 当n≥2时，由a
n
＋2S
n
S
n－1
＝0，
得 S
n
－S
n－1
＝－2S
n
S
n－1
，所 以－＝2，
又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)解 由(1)可得＝2n，∴S
n
＝.
当n≥2时，
a
n
＝S
n
－S
n－1
＝－＝＝－.
当n＝1时，a
1
＝不适合上式．
故a
n
＝
1 0．等差数列{a
n
}中，设S
n
为其前n项和，且a
1
＞ 0，S
3
＝S
11
，则当n为多少时，
S
n
最大？
解 方法一 由S
3
＝S
11
得
3a
1
＋d＝11a
1
＋d，则d＝－a
1
. < br>从而S
n
＝n
2
＋n＝－(n－7)
2
＋a
1
，
又a
1
＞0，所以－＜0.故当n＝7时，S
n
最大．
方法二 由于S
n
＝an
2
＋bn是关于n的二次函数，由S
3
＝S
11
，可知S
n
＝an
2
＋bn
的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，S
n
最大．
方法三 由方法一可知，d＝－a
1
.
要使S
n
最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，S
n
最大．
方法四 由S
3
＝S
11
，可得2a
1
＋13d＝0，
即(a
1
＋6d)＋(a
1
＋7d)＝0，
故a
7
＋a
8
＝0，又由a
1
＞0，S
3
＝S
11
可知d＜0，

所以a
7
＞0，a
8
＜ 0，所以当n＝7时，S
n
最大．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．设S
n
为等差数列{a
n
}的 前n项和，(n＋1)S
n
＜nS
n
＋
1
(n∈N
*
)．若＜－1，则( )
A．S
n
的最大值是S
8

C．S
n
的最大值是S
7

答案 D
解析 由条 件得＜，即＜，所以a
n
＜a
n＋1
，所以等差数列{a
n
}为递增数列．又＜
－1，所以a
8
＞0，a
7
＜0，即数列{a< br>n
}前7项均小于0，第8项大于零，所以S
n
的
最小值为S
7
，故选D.
12．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
1
＝－3，a
k
＋
1
＝，S
k
＝ －12，则正整数
k＝________.
答案 13
解析 S
k＋1
＝S
k
＋a
k＋1
＝－12＋＝－，
又S
k＋1
＝
＝
＝－，
解得k＝13.
1 3．设等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
，若对任意自然数n都有＝，
则＋的值为________．
答案
解析 ∵{a
n
}，{b
n
}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＝.
B．S
n
的最小值是S
8

D．S
n
的最小值是S
7

14．已知数列 {a
n
}是首项为a，公差为1的等差数列，b
n
＝，若对任意的n∈N*
，
都有b
n
≥b
8
成立，则实数a的取值范围为__ ______．
答案 (－8，－7)
解析 依题意得b
n
＝1＋，对任 意的n∈N
*
，都有b
n
≥b
8
，即数列{b
n< br>}的最小项是
第8项，于是有≥.又数列{a
n
}是公差为1的等差数列，因此 有
即由此解得－8＜a＜－7，
即实数a的取值范围是(－8，－7)．
15． 已知公差大于零的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
3
·a
4
＝117，a
2
＋a
5
＝22.
(1)求通项a
n
；
(2)求S
n
的最小值；
(3)若数列{b
n
}是等差数列，且b
n
＝，求非零常数c.
解 (1)因为数列{a
n
}为等差数列，
所以a
3
＋a
4
＝a
2
＋a
5
＝22.又a
3
·a4
＝117，
所以a
3
，a
4
是方程x
2< br>－22x＋117＝0的两实根，
又公差d＞0，所以a
3
＜a
4
，
所以a
3
＝9，a
4
＝13，
所以所以
所以通项a
n
＝4n－3.
(2)由(1)知a
1
＝1，d＝4，
所以S
n
＝na< br>1
＋×d＝2n
2
－n＝2
2
－.
所以当n＝1时，S
n
最小，
最小值为S
1
＝a
1
＝1.
(3)由(2)知S
n
＝2n
2
－n，

所以b
n
＝＝，
所以b
1
＝，b
2
＝，b
3
＝.
因为数列{b
n
}是等差数列，
所以2b
2
＝b
1
＋b
3
，
即×2＝＋，
所以2c
2
＋c＝0，
所以c＝－或c＝0(舍去)，
经验证c＝－时，{b
n
}是等差数列，
故c＝－.