上海财经大学历年录取分数线-哈里波特与死亡圣器

精品文档
等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从 第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 数列的公差，公差通常用字母
d
表
示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{
a
n
}的首项是
a
1
，公差是
d，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
＝(
n
－
m
)
d
＝
p< br>.
3．等差中项
如果三个数
x
，
A
，
y
组成等差数列，那么
A
叫做
x
和
y
的等差中项，如 果
A
是
x
和
x
＋
y
y
的等差中项 ，则
A
＝.
2
4．等差数列的常用性质
*
(1)通项公 式的推广：
a
n
＝
a
m
＋(
n
－
m
)
d
(
n
，
m
∈N)．
(2)若{< br>a
n
}为等差数列，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，
*
则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
(
m
，
n
，
p
，
q
∈N)．
*
(3)若{
a
n
}是等差数列，公差为
d
，则
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋2
m
，…(
k，
m
∈N)是公差为
md
的等
差数列．
(4)数列< br>S
m
，
S
2
m
－
S
m
，< br>S
3
m
－
S
2
m
，…也是等差数列． (5)
S
2
n
－1
＝(2
n
－1)
a
n
.
(6)若
n
为偶数，则
S
偶
－S
奇
＝；
2
若
n
为奇数，则
S
奇< br>－
S
偶
＝
a
中
(中间项)．
5．等差数列的前
n
项和公式
na
1
＋
a
n
若已知首项
a
1
和末项
a
n
，则
S< br>n
＝，或等差数列{
a
n
}的首项是
a
1
， 公差是
d
，
2
nn
－1
则其前
n
项和公式 为
S
n
＝
na
1
＋
d
.
2
6．等差数列的前
n
项和公式与函数的关系
2

2

7．最值问题
在等差数列{
a
n
}中，
a
1
＞0，
d
＜0，则
S
n存在最大值，若
a
1
＜0，
d
＞0，则
S
n< br>存在最
小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前
n
项和公式：
S
n
＝< br>a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
，①
S
n
＝
a
n
＋
an
－1
＋…＋
a
1
，②
na
1
＋< br>a
n
①＋②得：
S
n
＝.
2
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和 为定值时，可设为…，
a
－2
d
，
a
－
d
，
a
，
a
＋
d
，
a
＋2
d
，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，
a
－3
d
，
a
－
d
，
a
＋
d
，
a
＋3
d
，…，
其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于
n
≥2的任意 自然数，验证
a
n
－
a
n
－1
为同一常数；
精品文档
nd
d

d

S
n
＝
n
2
＋

a
1
－

n
， 数列{
a
n
}是等差数列的充要条件是
S
n
＝
An
2
＋
Bn
(
A
，
B
为常数)．

精品文档
(2)等差中项法：验证2
a
n
－1＝
a
n
＋
a
n
－2
(
n
≥3 ，
n
∈N)都成立；
(3)通项公式法：验证
a
n
＝pn
＋
q
；
2
(4)前
n
项和公式法：验证
S
n
＝
An
＋
Bn
.
注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
*

回顾：
1．已知等差数列{a
n
}中，a
3
=9，a
9
= 3，则公差d的值为（ ）


A．

1
B． C．

D． ﹣1
2．已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5，则此数列是（ ）

A．以7为首项，公差为2的等差数列 B． 以7为首项，公差为5的等差数列

以5为首项，公差为2的等差数列 C．D． 不是等差数列
3．在等差数列 {a
n
}中，a
1
=13，a
3
=12，若a
n< br>=2，则n等于（ ）


23 24 25 26
A．B． C． D．
4．两个数1与5的等差中项是（ ）


1 3 2
A．B． C． D．
5．（2005•黑龙江）如果数列{a
n
}是等差数列，则（ ）

A．B． C．
a
1
+a
8
＞a
4
+a
5
a
1
+a
8
＜a
4
+a
5

a
1
+a
8
=a
4
+a
5



D．
a
1
a
8
=a
4
a
5


考点1:等差数列的通项与前n项和
题型1：已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法
【例1】已知
a
n

为等差数列，
a
15
8,a
60
20
，则
a
75




a
15
a
1
14d8
644
a
1
,d
解：
方法1：



aa 59d20
1515
1

60
644
7424
1515
aa
15
2084
方法2：

d
60

，
60154515
4

a75
a
60
(7560)d201524

15

a
75
a
1
74d
方法3：令
a
n
anb
，则


15ab8
168a,b

453

60ab20
168
24

45 3

a
75
75ab75
方法4：

< br>a
n

为等差数列，

a
15
,a
30
,a
45
,a
60
,a
75
也成等差数列， 设其公差为
d
1
，则
a
15
为首项，
a
6 0
精品文档

精品文档
为第4项.

a
60
a
15
3d
1
2083dd
1
 4


a
75
a
60
d
1
 20424

方法5：


a
n

为 等差数列，

(15,
a
15
),(60,
a
60
),(75,
a
75
)
三点共线

a
60
a
15
a
75
a
60
208
a
75
20
a
75
24
60 1575604515

对应练习：1、已知



2 、已知

a
n

为等差数列，
a
m
p, a
n
q
（
m,n,k
互不相等），求
a
k
.

5
个数成等差数列，它们的和为
5
，平方和为
165
，求这
5
个数.




题型2：已知前
n
项和
S
n
及其某项，求项数.
【解题思路】
⑴
利用等差数列的通项公式
求项数
a
n
a< br>1
(n1)d
求出
a
1
及
d
，代入S
n
可
n
；

⑵利用等差数列的前4项和及后4项和 求出
【例2】已知
a
1
a
n
，代入
S
n
可求项数
n
.
S
n
为等差数列

an

的前
n
项和，
a
4
9,a
9< br>6,S
n
63
，求
n

解：设等差数列的首项 为
a
1
，公差为
d
，则


a
1
3d9
a
1
18,d3


a
1
8d6

S
n
18n
这个数列的项数




4.已知
3
n(n1)63n
1
6,n
2
7

2
对应练习：3、若一个等差数列的前4 项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求
n
.
S
n为等差数列

a
n

的前
n
项和，
a
1
1,a
4
7,S
n
100
，则
n 
.
题型3：求等差数列的前n项和
【解题思路】（1）利用S
n
求出
a
n
，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
精品文档

精品文档
（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.
【例3】已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
S
n
12nn
2
.
（1） < br>⑵求
⑶求
解：

a
1
a
2
a< br>3
；
a
1
a
2
a
3
 a
10
a
1
a
2
a
3
an
S
n
12nn
2
，
；
.

当
n1
时，
a
1
S
1
121 11
，
当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
(12nn
2
)12(n1)(n1)
2
132n
，
当
n1
时，
132111a
1
，

a
n
132n
.
a
n
132 n0
，得
n
由
时，
13
，

当
1n6
时，
a
n
0
；当
n7
2
a
n
0
.
（1）
⑵
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
a
3
 S
3
1233
2
27
；
a
1
 a
2
a
3
a
10
a
1
a2
a
3
a
6
(a
7
a
8
a
9
a
10
)


2S
6
S
10
2(1266
2
)(1 21010
2
)52
；
3）（
1n6
时，a
1
a
2
a
3
a
n
a< br>1
a
2
a
3
a
n
12nn< br>2
，
当
n7
时，< br>a
1
a
2
a
3
a
n
a
1
a
2
a
3
a
6
(a
7
a
8
a
n
)


2S
6
S
n
2(1266
2
)(12 nn
2
)n
2
12n72.

对应练习：5、已知




S
n
为等差 数列

a
n

的前
n
项和，
S
1 0
100,S
100
10
，求
S
110
.
精品文档

精品文档



考点2 ：证明数列是等差数列

【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：
1、定义法：
列；
2、中项法：
a
n1
a
n
d
（
nN

，
d
是常数）


a
n

是等差数
2a
n1
a
n
a
n2
(
nN

)


a
n

是等差数列；
a
n
knb
（
k,b
是常数）


a
n

是等差数列；
S
n
An
2
Bn
（
A,B
是常数，
A0
）


a
n
3、通项公式法：
4、项和公式法：
是等差数列.
【例4】已知S
n
为等差数列

a
n

的前
n项和，
b
n

S
n
(nN

).
n
求证：数列

b
n

是等差数列. < br>解：方法1：设等差数列

a
n

的公差为
d
，
S
n
na
1

1
n(n1)d
，
2

b
n

S
n
1
a
1
(n1)d

n2
11d

b
n1
b
n
a
1
nda
1
(n1)d
2 22

数列

b
n

是等差数列.
（常数）
方法2：

b
n


b
n1

S
n
1

a
1
(
n
1)
d
，
n2
1
1
a
1
 nd
，
b
n2
a
1
(n1)d

22
b
n2
b
n
a
1

11
(n1)da
1
(n1)d2a
1
nd2b
n1
，
22

数列

b
n

是等差数列. 对应练习：6、设
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，
S
n
pna
n
(nN

)
，
a
1
a
2
.

（1） 常数
p
的值；
（2） 证：数列

a
n

是等差数列.
精品文档

精品文档








考点3 :等差数列的性质
【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.
【例5】1、已知
2、知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
a
6
100
，则
S
11

；
为等差数列
S
n< br>
a
n

的前
n
项和，
S
n
m,S
m
n(nm)
，则
S
mn

.
解：1、
S
11

11(a
1
a
1 1
)
112a
6
11a
6
1100
；
22
S
n
An
2
Bn
，则 2、方法1：令< br>
An
2
Bnm
A(n
2
m
2)B(nm)mn
.

2

AmBmn

nm
，

A(nm)B1
，

S< br>mn
A(mn)
2
B(mn)(mn)
；
方法2：不妨设
mn

S
m
S
n
 a
n1
a
n2
a
n3


a
m1
a
m

.
(mn)(a
n1
a
m
)
nm
2

a
1
a
mn
a
n1
a
m
2
，

S
mn

方法3：

(mn)(a
1
amn
)
(mn)
；
2

n

S
n


a
n

是等差数列，



为等差数列
S
mn

S
m

,m,,mn,

三点共线.
mn
m


S


n,
n

n
精品文档

精品文档
S
mn
nmn


mn

mnm
S
mn
(mn).
mnn
对应练习：7、含
2n1
个项的等差数列其奇数项的和与 偶数项的和之比为（ ）

A.
8.设
2n1
n1n1n1

B.

C.

D.

nn
n2n
分别是等差数列
S
n
、
T
n

a< br>n

、

a
n

的前
n
项 和，
S
n
T
n

7n2
n3
，则a
5

.
b
5


考点

【解题思路】1、利用
2、求出
4： 等差数列与其它知识的综合

a
n
与
S
n
的关系式及等差数列的通项公式可求；
T
n
后，判断
T
n
的单调性.
【例6】已知

S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，
S
n

1
2
1 1

nn
；数列

b
n

满足：
b
3
11
，
22
b
n2
2b
n 1
b
n
⑴ 数列
，其前
9
项和为
153.


a
n< br>
、

b
n

的通项公式；
为数列 ⑵设
T
n

c
n

的前
n
项和，
c
n

6
(2a
n
11)(2b
n1)
，求使不等式
k
对
nN

都成立的最大正整 数
k
的值.
57
1
2
11
解：⑴
S
n

n

n
，
22
T
n



当
n1
时，< br>a
1
S
1
6
；


当
a
n
S
n
S
n1
n2
1111 11
n
2
n(n1)
2
(n1)n5
< br>2222
n1
时，
156a
1
，

a
n
n5
；
时，
当
精品文档

精品文档


b
n22b
n1
b
n
b
n1

b
n
b
n2
2
，


b
n
< br>是等差数列，设其公差为
d
.



b
1< br>2d11
b
1
5,d3
， 则

9b3 6d153

1

b
n
53(n1)3n2< br>.
⑵

c
n

66


(2a
n
11)(2b
n
1)

2(n5)11

2(3n2)1



211


(2n1)(2n1)2n12n1

11111111

T
n
(1)()()

()1

3 35572n12n12n1

nN

，

Tn
是单调递增数列.


当
n1
时，
< br>T
n

min
T
1
1

T< br>n

12


33
kk2k
对
n N

都成立


T
n

min
k38

5757357

所求最大正整数
k
的值为
37
.
对应练习：9.已知
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，
a
1
3
，
S
n< br>S
n1
2a
n
(n2)
.
⑴ 数列
⑵数列

a
n

的通项公式；
a
k1
对任意不小于
k
的正整数都

a
n

中是否存在正整数
k
，使得不等式
a
k
成立？若存在，求最小的正 整数
k
，若不存在，说明理由.




课后练习：
1.(2010广雅中学)设数列
项和，则
A．
且< br>a
2
8
，
a
15
5
，
Sn
是数列

a
n

的前
n

a
n

是等差数列，
S
10
S
11
B．
S
10
S
11
C．
S
9
S
10
D．
S
9
S
10

2.在等差数列

a
n

中，
a
5
120
，则
a
2
a
4
a
6
a
8

.
精品文档

精品文档
3.数列

a
n

中，
a
n
2n49
，当数列

a< br>n

的前
n
项和
S
n
取得最小值时，
n
.
4.已知等差数列
是 .
5.设 数列

a
n

共有
10
项，其奇数项之和为
10
，偶数项之和为
30
，则其公差

a
n
< br>中，
a
1
2,a
n1
a
n
n1< br>，则通项
a
n

.
6.从正整数数列
1,2,3,4,5,
中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第
1964
项是 .
答案与解析：
对应练习：
1、【解析】
a
m
a
n
a
k
a
n
pq
a
k
q
p(kn)q(mk)
a
k

mnk nmnknmn

2、【解析】设这
5
个数分别为
a2d ,ad,a,ad,a2d.
则

(a2d)(ad)a(ad )(a2d)5

a1



2222222< br>
(a2d)(ad)a(ad)(a2d)165

5a 10d165
a1,d4

当
a1,d4
时，这5
个数分别为：
7,3,1,5,9
；
当
a1,d 4
时，这
5
个数分别为：
9,5,1,3,7.

解得
3、【解析】

a
1
a
2
a
3
a
4

36,
a
n
a
n1
a< br>n2
a
n3

124

a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
an2
a
4
a
n3


4(a
1
a
n
)160a
1
a
n
40

S
n


n(a
1
a
n
)< br>78020n780n39

2
aa
1
71< br>4、【解析】设等差数列的公差为
d
，则
d
4
2

413
1
S
n
nn(n1)2100n10< br>.
2
11

a
1


10a
1
45d100
50



5、【解析】方法 1：设等差数列的公差为
d
，则


100a
1
 4950d10

d
1099
100

1
< br>S
110
110a
1
110109d110
；
2
90(a
11
a
100
)
方法2：

S
100
S
10

90
a
11< br>a
100

2

2
110(a
1
a
110
)110(a
11
a
100
)
S< br>110
110

22
6、【解析】⑴

S< br>n
pna
n
，
a
1
a
2
，
a
1
pa
1
p1

精品文档

精品文档
⑵由⑴知：
当
S
n
na
n
，
n2< br>时，
a
n
S
n
S
n1
na
n
(n1)a
n1
(n1)(a
n
a
n1< br>)0
，

a
n
a
n1
0(n2 )
，

数列

a
n

是等差数列. 7、【解析】（本两小题有多种解法）

S
奇
a
1
 a
3
a
5
a
2n1

(n1)(a< br>1
a
2n1
)

2
n(a
2
 a
2n
)
，
a
1
a
2n1
a
2
a
2n
2
S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2n


S
奇
n1
.

选B.

S
偶
n
8、【解析 】
a
n
S
2n1
7(2n1)214n5
a
145565


填

5

bn
T
2n1
(2n1)32n2b
5
25212< br>65
.
12
9、【解析】⑴当
n2
时，
S
n
S
n1
2a
n
S
n
S
n1< br>2(S
n
S
n1
)

111
< br>S
n
S
n1
2
，且

11
1
，


a
n

是以

为公 差的等差数列，
S
1
3
2
其首项为
1
.
3

11153n6
(n1)S
n

S
n
S
1
2653n


当
n2
时，
a
n

118
S
n
S
n1
< br>2(3n8)(3n5)


3(n1)
1818
< br>18
a
1
，


当
n1
时，
(n2)
；
(38)(35)10


(3n8)(3n5)
⑵ a
k
a
k1

18
25
8
0< br>，得
k
或
k
，
(3k8)(3k5)(3k2)
333


当
k3
时，
a
k
a
k1
恒成立， 所求最小的正整数
k3.

a
2
a
16
a2
a
15
d(ad)a
15
,S
10

2
S
9
S
10

222
课后练习 ：1、
【解析】C．
S
9

精品文档

精品文档
另法：由
计算知
a
2
8，
a
15
5
，得
d
5(8)1369
，

，
a
1
a
2
d
15877< br>S
9
S
10

2、
【解析】
480

a
2
a
4
a
6
a
8
4a
5
480.

3、
【解析】
24
由
a
n
2n49
知
a
n

是等差数列，
a
n
0n25.


n24.

法.

精品文档
4、【解析】
4
已知两式相减，得
5d20d4.

5、【解析】
1
2
n(n1)1
利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方
6、【解析】
2008