romance-冬日雪景

1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，通常用字母__
d
__表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数 列{
a
n
}的首项为
a
1
，公差为
d
，那 么它的通项公式是
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1 )
d
.
3．等差中项
如果
A
＝
a
＋< br>b
2
，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中 项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：
a
n
＝< br>a
m
＋(
n
－
m
)
d
(
n
，
m
∈N)．
(2)若{
a
n
}为等差数列，且
k
＋
l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈N)，则
a
k
＋< br>a
l
＝
a
m
＋
a
n
.
( 3)若{
a
n
}是等差数列，公差为
d
，则{
a
2
n
}也是等差数列，公差为2
d
.
(4)若{
a
n
}，{
b
n
}是等差数列，则{
pa
n
＋
qb
n
}也是等差数列．
(5)若{
a
n
}是等差数列 ，公差为
d
，则
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋2
m
，…(
k
，
m∈N)是公差为
md
的等差数列．
5．等差数列的前
n
项和公式
设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，其前
n
项和
S
n
＝
6．等 差数列的前
n
项和公式与函数的关系
*
*
*
n
?
a
1
＋
a
n
?
2
或
S
n
＝
na
1
＋
n
?
n
－1?
d.
2
d

d

S
n
＝
n< br>2
＋

a
1
－

n
.
2

2

数列{
a
n
}是等差数列?
Sn
＝
An
＋
Bn
(
A
、
B
为 常数)．
7．等差数列的前
n
项和的最值
在等差数列{
a
n
}中，
a
1
>0，
d
<0，则
S
n< br>存在最__大__值；若
a
1
<0，
d
>0，则
S< br>n
存在最__小__值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数
列．( × )
(2)数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是对任意
n∈N，都有2
a
n
＋1
＝
a
n
＋
a< br>n
＋2
.( √ )
(3)等差数列{
a
n
}的单调性是由公差
d
决定的．( √ )
(4)数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是其通项公式为
n
的一次函数．( × )
(5)数列{
a
n
}满足
a< br>n
＋1
－
a
n
＝
n
，则数列{
a< br>n
}是等差数列．( × )
(6)已知数列{
a
n
}的通 项公式是
a
n
＝
pn
＋
q
(其中
p
，
q
为常数)，则数列{
a
n
}一定是等差数
*
2

列．( √ )

1．(2015·重庆)在等差数列{
a
n
}中，若
a
2
＝4，
a
4
＝2，则< br>a
6
等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．6
答案 B
解析 由等差数列的性质，得
a
6
＝2
a
4
－
a
2
＝2×2－4＝0，选B.
2．(2014·福建)等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
＝2，
S
3
＝12，则
a
6
等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案 C
3×2
解析 由 题意知
a
1
＝2，由
S
3
＝3
a
1
＋×
d
＝12，
2
解得
d
＝2，所以
a
6
＝
a
1
＋5
d
＝2＋5×2＝12，故选C.
3．在等差数列{
a
n
}中，已知
a
4
＋
a8
＝16，则该数列前11项和
S
11
等于( )
A．58 B．88 C．143 D．176
答案 B
11?
a
1
＋
a
11
?11?
a
4
＋
a
8
?< br>解析
S
11
＝＝＝88.
22
4．设数列{
a< br>n
}是等差数列，若
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝12，则
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
7
等于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
答案 C
解析 ∵
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝3
a
4
＝12，∴
a
4
＝4，
∴
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
7
＝7
a
4
＝28.
5．(2014·北京)若等差数列{
an
}满足
a
7
＋
a
8
＋
a
9
>0，
a
7
＋
a
10
<0，则当
n
＝________时，{
a
n
}的
前
n
项和最大．
答案 8
解析 因为数列{
a
n
}是等差数列，且
a7
＋
a
8
＋
a
9
＝3
a
8< br>＞0，所以
a
8
＞0.又
a
7
＋
a
10
＝
a
8
＋
a
9
＜0，
所以
a
9
＜0.故当
n
＝8时，其前
n
项和最大．

题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{
a
n
}中， 若
a
1
＝－2，且对任意的
n
∈N有2
a
n
＋1
＝1＋2
a
n
，则数列{
a
n
}前10项< br>的和为( )
A．2 B．10
(2)已知在等差数列{
a< br>n
}中，
a
2
＝7，
a
4
＝15，则前10 项和
S
10
等于( )
A．100 B．210
*

C．380
答案 (1)C (2)B
D．400
1
解析 (1)由2
a
n
＋1
＝1＋2
a
n
得
a
n
＋1
－
a
n
＝，
2
1
所以数列{
a
n
}是首项为－2，公差为的等差数列，
2
10×?10－1?15
所以
S
10
＝10×(－2)＋ ×＝.
222
(2)因为
a
2
＝7，
a
4
＝15，所以
d
＝4，
a
1
＝3，
1
故
S
10
＝10×3＋×10×9×4＝210.
2
思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项
a
1
和 公差
d
，然后由通项公式或前
n
项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差 数列的通项公式及前
n
项和公式，共涉及五个量
a
1
，
a< br>n
，
d
，
n
，
S
n
，知其中三个就 能求另外两个，体现了方程的思想．
(1)(2015·课标全国Ⅱ)设
S
n是等差数列{
a
n
}的前
n
项和，若
a
1＋
a
3
＋
a
5
＝3，则
S
5
等于( )
A．5 B．7 C．9 D．11
(2)已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且满足－＝1，则数列{
a
n
}的公差是( )
32
B．1 C．2 D．3
答案 (1)A (2)C
解析 (1)∵{
a
n
}为等差数列， ∴
a
1
＋
a
5
＝2
a
3
， ∴
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝3< br>a
3
＝3，得
a
3
＝1，
5?
a
1
＋
a
5
?
∴
S
5
＝＝5
a3
＝5.故选A.
2
(2)∵
S
n
＝
得S
3
S
2
n
?
a
1
＋
an
?
2
2
，∴＝
S
n
a
1
＋
a
n
S
3
S
2
，又－＝1，
n
232
a
1
＋
a
3
a
1
＋
a2
2
－＝1，即
a
3
－
a
2
＝2，
∴数列{
a
n
}的公差为2.
题型二 等差数列的判定与证明
311
**
例2 已知数列{
a
n
}中，
a
1
＝，
a
n
＝2－(
n
≥2，
n
∈N) ，数列{
b
n
}满足
b
n
＝(
n
∈N)．
5
a
n
－1
a
n
－1
(1)求证：数列{
b
n
}是等差数列；
(2)求数列{
a
n
}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明 因为
a
n
＝2－
1
a
n
－1
(
n
≥2，
n
∈N)，
*

*
b
n
＝(
n
∈N)，
a
n
－1
1
所以
b
n
＋1
－
b
n
＝
＝
1
1
11
－
a
n
＋1
－1
a
n
－1
1
a
n
1
－ ＝－＝1.
a
n
－1
a
n
－1
a
n－1
?2－?－1
a
n
又
b
1
＝
15
＝－.
a
1
－12
5
所以数列{
b
n< br>}是以－为首项，1为公差的等差数列．
2
7
(2)解 由(1)知
b
n
＝
n
－，
2
12
则
a
n
＝1＋＝1＋.
b
n2
n
－7
2
设
f
(
x
)＝1＋， < br>2
x
－7
77
则
f
(
x
)在区间( －∞，)和(，＋∞)上为减函数．
22
所以当
n
＝3时，
an
取得最小值－1，当
n
＝4时，
a
n
取得最大值3.
引申探究
3
例2中，若条件变为
a
1
＝，
na< br>n
＋1
＝(
n
＋1)
a
n
＋
n(
n
＋1)，探求数列{
a
n
}的通项公式．
5
解 由已知可得
即
a
n
＋1
a
n
＝＋1，
n
＋1
n
a
n
＋1
a
n
3
－＝1， 又
a
1
＝，
n
＋1
n
5

a< br>n

a
1
3
∴

是以＝为首项，1为公差 的等差数列，
15

n

a
n
32
∴＝ ＋(
n
－1)·1＝
n
－，
n
55
2
2
∴
a
n
＝
n
－
n
.
5
思维升华 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数
n
都有
a
n
＋1
－
a
n
等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数
n
都有2
a
n
＋1< br>＝
a
n
＋
a
n
＋2
后，可递推得出
a
n
＋2
－
a
n
＋1
＝
a
n＋1
－
a
n
＝
a
n
－
a
n< br>－1
＝
a
n
－1
－
a
n
－2
＝…＝
a
2
－
a
1
，根据定义得出数列{
an
}为等差数列．
(3)通项公式法：得出
a
n
＝
p n
＋
q
后，得
a
n
＋1
－
a
n< br>＝
p
对任意正整数
n
恒成立，根据定义判定
数列{
a
n
}为等差数列．

(4)前
n
项和公式法：得出< br>S
n
＝
An
＋
Bn
后，根据
S
n< br>，
a
n
的关系，得出
a
n
，再使用定义法证明
数列{
a
n
}为等差数列．
(1)若{
a
n
}是公差为1的等差数列，则{
a
2
n
－1
＋2
a
2
n
}是( )
A．公差为3的等差数列
C．公差为6的等差数列
B．公差为4的等差数列
D．公差为9的等差数列
2
1211
*
(2)在数列{
a
n
}中，若
a
1
＝1，
a
2
＝，＝＋(
n
∈N)，则该数列的通项为( )
2
a
n
＋1
a
n
a
n
＋2
1
A．< br>a
n
＝
n
B．
a
n
＝
2

n
＋1
C．
a
n
＝
2

n
＋2
3
D．
a
n
＝
n
答案 (1)C (2)A
解析 (1)∵
a
2
n
－1
＋2a
2
n
－(
a
2
n
－3
＋2
a
2
n
－2
)
＝(
a
2
n
－1
－
a
2
n
－3
)＋2(
a
2
n< br>－
a
2
n
－2
)
＝2＋2×2＝6，
∴ {
a
2
n
－1
＋2
a
2
n
}是公 差为6的等差数列．
(2)由已知式
1
2
a
n
＋1
a
n
a
n
＋2
11
＝＋可得
a
n＋1
a
n
a
n
＋2
a
n
＋1
1
即
a
n
＝.
11111111
－＝－，知{}是首项为 ＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝
n
，
a
n
a
1
a
2
a
1
a
n
n

题型 三 等差数列的性质及应用
命题点1 等差数列的性质
例3 (1)(2015·广东)在 等差数列{
a
n
}中，若
a
3
＋
a
4＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝25 ，则
a
2
＋
a
8
＝________.
(2)已 知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
， 且
S
10
＝10，
S
20
＝30，则
S
3 0
＝________.
答案 (1)10 (2)60
解析 (1)因为{a
n
}是等差数列，所以
a
3
＋
a
7
＝
a
4
＋
a
6
＝
a
2
＋
a
8
＝2
a
5
，
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝5
a
5
＝25，即
a
5
＝5，
a
2< br>＋
a
8
＝2
a
5
＝10.
(2)∵
S
10
，
S
20
－
S
10
，
S
30
－
S
20
成等差数列，且
S
10
＝1 0，
S
20
＝30，
S
20
－
S
10＝20，
∴
S
30
－30＝10＋2×10＝30，∴
S30
＝60.
命题点2 等差数列前
n
项和的最值
例4 在 等差数列{
a
n
}中，已知
a
1
＝20，前
n项和为
S
n
，且
S
10
＝
S
15，求当
n
取何值时，
S
n
取
得最大值，并求出它的最大 值．
解 ∵
a
1
＝20，
S
10
＝
S< br>15
，
10×915×14
∴10×20＋
d
＝15×20＋
d
，
22
5
∴
d
＝－.
3
565

5

方法一 由
a
n
＝20＋(
n
－1)×

－

＝－
n
＋.
33

3

得
a
13
＝0.
即 当
n
≤12时，
a
n
＞0，当
n
≥14时，
a
n
＜0.
∴当
n
＝12或13时，
S
n
取得最大值，
12 ×11

5

且最大值为
S
12
＝
S13
＝12×20＋×

－

＝130.
2

3

方法二
S
n
＝20
n
＋
5
2
125
＝－
n
＋
n

66
5

25

2
3 125
＝－

n
－

＋.
2

6

24
∵
n
∈N，∴当
n
＝12或13时，S
n
有最大值，且最大值为
S
12
＝
S
13< br>＝130.
方法三 由
S
10
＝
S
15
得
a
11
＋
a
12
＋
a
13
＋a
14
＋
a
15
＝0.
∴5
a
13
＝0，即
a
13
＝0.
∴当
n
＝12或13时，
S
n
有最大值，且最大值为
S
12
＝
S
13
＝130.
引申探究
例4中，若条件“< br>a
1
＝20”改为
a
1
＝－20，其他条件不变，求当
n
取何值时，
S
n
取得最小值，
*
n
?
n
－1?

5

·

－


3
2


并求出最小值．
解 由
S
10
＝
S
15
，得
a
11
＋
a
12
＋
a
13
＋
a
14
＋
a
15
＝0，
∴
a
13
＝0.又
a
1
＝－20 ，∴
a
12
<0，
a
14
>0，
∴当
n
＝12或13时，
S
n
取得最小值，
13 ?
a
1
＋
a
13
?
最小值
S
12
＝
S
13
＝＝－130.
2
思维升华 (1)等差数列的性质：
①项的性质：在等差数列{
a
n
}中，
a
m
－
a
n
＝(
m
－
n
)
d
?
(
m
，
a
m
)所在直线的斜率等于等差数列的 公差．
②和的性质：在等差数列{
a
n
}中，
S
n
为其前
n
项和，则
a
m
－
a
n
＝d
(
m
≠
n
)，其几何意义是点(
n
，
a
n
)，
m
－
n
a
．
S
2n
＝
n
(
a
1
＋
a
2
n)＝…＝
n
(
a
n
＋
a
n
＋1
)；
b
．
S
2
n
－1
＝(2
n
－1)
a
n
.
(2)求等差数列前
n
项和
S
n
最值的两种方法：
①函数法：利用等差数列前
n
项和的函数表达式
S
n
＝
a n
＋
bn
，通过配方或借助图象求二次函
数最值的方法求解．
②邻项变号法：


a
m
≥0，
a
．当
a
1
＞0，
d
＜0时，满足


a
m
＋1
≤0



a
m
≤0，
b
．当
a
1
＜0，
d
＞0时，满足

< br>a
m
＋1
≥0

2


的项数m
使得
S
n
取得最大值
S
m
；
的项 数
m
使得
S
n
取得最小值
S
m
.
(1)等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，已知
a
5
＋
a
7
＝4，
a
6
＋
a
8
＝－2，则当
S
n
取最大值时，
n
的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)设数列{
a
n
}是公差
d
＜0的等差数列，
S
n
为前n
项和，若
S
6
＝5
a
1
＋10
d< br>，则
S
n
取最大值时，
n
的值为( )
A．5
C．5或6
B．6
D．11
(3)已知等差数列{
an
}的首项
a
1
＝20，公差
d
＝－2，则前
n
项和
S
n
的最大值为________．
答案 (1)B (2)C (3)110
解析 (1)依题意得2
a
6
＝4,2
a
7
＝－2，
a
6
＝2＞0，
a
7
＝－1＜ 0；又数列{
a
n
}是等差数列，因此
在该数列中，前6项均为正数，自第7 项起以后各项均为负数，于是当
S
n
取最大值时，
n
＝6，
选B.
(2)由题意得
S
6
＝6
a
1
＋15d
＝5
a
1
＋10
d
，所以
a
6＝0，故当
n
＝5或6时，
S
n
最大，选C.

(3)因为等差数列{
a
n
}的首项
a
1
＝20， 公差
d
＝－2，代入求和公式得，
n
?
n
－1?
n
?
n
－1?
S
n
＝
na
1
＋< br>d
＝20
n
－×2
22

21

2

21

22
＝－
n
＋21
n
＝－

n
－

＋

，
2

2

又因为
n
∈N，所以
n
＝10或
n
＝11时，
S
n
取得最大值，最大值为110.


6．等差数列的前
n
项和及其最值

典例 (1)在等差数列{< br>a
n
}中，2(
a
1
＋
a
3
＋a
5
)＋3(
a
7
＋
a
9
)＝54， 则此数列前10项的和
S
10
等于
( )
A．45
C．75
B．60
D．90
*
(2)在等差数列{
a
n
}中，
S
10
＝100，
S
100
＝10，则
S
110
＝________.
(3)等差数列{
a< br>n
}中，已知
a
5
>0，
a
4
＋
a
7
<0，则{
a
n
}的前
n
项和
S
n
的最大值为( )
A．
S
4
B．
S
5
C．
S
6
D．
S
7

思维点拨 (1)求等差数列前
n
项和，可以通 过求解基本量
a
1
，
d
，代入前
n
项和公式计算，
也可以利用等差数列的性质：
a
1
＋
a
n
＝
a
2
＋
a
n
－1
＝…；
(2)求等差数列前< br>n
项和的最值，可以将
S
n
化为关于
n
的二次函数， 求二次函数的最值，也
可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．
解析 (1)由题意得
a
3
＋
a
8
＝9，
10?
a
1
＋
a
10
?10?
a
3
＋
a
8
?10×9
所以
S
10
＝＝＝＝45.
222
(2)方法一 设数列{
a
n
}的公差为
d
，首项为
a
1
，
10×9
10
a
＋
d< br>＝100，


2
则

100×99
100
a
＋
d
＝10，


2
1
1
1 099
a
＝


100
，
解得

11
d
＝－


50
.
1

110×109
所以
S
110
＝110
a
1
＋
d
＝－110.
2
?
a
11
＋
a
100
?×90
方法二 因为
S
100
－
S
10
＝＝－90，
2
所以
a
11
＋
a
100
＝－2， ?
a
1
＋
a
110
?×110
所以
S
110
＝
2

＝
?
a
11
＋
a
100
?×110
＝－110.
2

a
4
＋
a
7
＝
a
5
＋
a6
<0，
(3)因为


a
5
>0，




a
5
>0，
所以

< br>a
6
<0，



所以
S
n
的最大值为
S
5
.
答案 (1)A (2)－110 (3)B
温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前
n
项和
S
n
的最值时，要注意到
n
∈N；
(2)利用等差数列的性质求
S
n
，突出了整体思想，减少了运算量．

[方法与技巧]
1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于
a
1
，
d
的方程组进行求解．
2．证明等差数列要用定义；另外还可 以用等差中项法，通项公式法，前
n
项和公式法判定一
个数列是否为等差数列．
3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．
4．在遇到三个数成等差数列问题时，可 设三个数为(1)
a
，
a
＋
d
，
a
＋2< br>d
；(2)
a
－
d
，
a
，
a
＋
d
；
(3)
a
－
d
，
a
＋< br>d
，
a
＋3
d
等，可视具体情况而定．
[失误与防范]
1．当公差
d
≠0时，等差数列的通项公式是
n< br>的一次函数，当公差
d
＝0时，
a
n
为常数．
2． 公差不为0的等差数列的前
n
项和公式是
n
的二次函数，且常数项为0.若某 数列的前
n
项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差 数列．

A组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．设等差数列{< br>a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
S< br>3
＝9，
S
6
＝36，则
a
7
＋
a
8
＋
a
9
等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
答案 B
解析 由{
a
n
}是等差数列， 得
S
3
，
S
6
－
S
3
，
S
9
－
S
6
为等差数列．
即2(
S
6< br>－
S
3
)＝
S
3
＋(
S
9
－
S
6
)，
得到
S
9
－
S
6< br>＝2
S
6
－3
S
3
＝45，故选B.
2．(2015·北京)设{
a
n
}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A．若
a
1
＋
a
2
＞0，则
a
2
＋
a
3
＞0
B．若
a
1
＋
a
3
＜0，则
a
1
＋
a
2
＜0
C．若0＜
a
1
＜
a
2
，则
a
2
＞
a
1
a
3

D．若
a
1
＜0， 则(
a
2
－
a
1
)(
a
2
－a
3
)＞0
*

答案 C
解析 设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，若
a
1
＋
a
2
>0，
a
2
＋
a
3
＝
a
1
＋
d
＋
a
2
＋
d
＝(
a1
＋
a
2
)＋2
d
，由于
d
正负不确 定，因而
a
2
＋
a
3
符号不确定，故选项A错；若
a
1
＋
a
3
<0，
a
1
＋
a2
＝
a
1
＋
a
3
－
d
＝(< br>a
1
＋
a
3
)－
d
，由于
d
正负不确定，因而
a
1
＋
a
2
符号不确定，故选项B错； 若0<
a
1
<
a
2
，可知
a
1
> 0，
22
d
>0，
a
2
>0，
a
3
>0，所以
a
2
所以
a
2
>
a
1
a
3
，故选项C正确；
2
－
a
1
a
3< br>＝(
a
1
＋
d
)－
a
1
(
a
1
＋2
d
)＝
d
>0，
若
a
1
<0，则(
a
2
－
a
1
)·(
a
2
－
a
3
)＝
d
·(－
d
)＝－
d
≤0，故选项D错．
3．设等差数列{
a
n
}的前
n< br>项和为
S
n
，若
S
m
－1
＝－2，
S
m
＝0，
S
m
＋1
＝3，则
m
等于( )
A．3
C．5
答案 C
解析 ∵数列{
a
n
}为等差数列，且前
n
项和为
S
n
，
∴数列

也为等差数列．

n


S
n

2
B．4
D．6
∴
S
m
－1
S
m
＋1
2
S
m
－23
＋＝，即＋＝0，
m
－1
m
＋1
mm
－1
m
＋1
解得
m
＝5，经检验为原方程 的解，故选C.
4．数列{
a
n
}的首项为3，{
b
n< br>}为等差数列，且
b
n
＝
a
n
＋1
－
a
n
(
n
∈N)，若
b
3
＝－2，
b< br>10
＝12，则
*
a
8
等于( )
A．0
C．8
答案 B
解析 设{
b
n
}的公差为
d
，
∵
b
10－
b
3
＝7
d
＝12－(－2)＝14，∴
d
＝2.
∵
b
3
＝－2，∴
b
1
＝
b3
－2
d
＝－2－4＝－6.
7×6
∴
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
7
＝7
b
1＋
d

2
＝7×(－6)＋21×2＝0.
又
b1
＋
b
2
＋…＋
b
7
＝(
a
2
－
a
1
)＋(
a
3
－
a
2)＋…＋(
a
8
－
a
7
)＝
a
8－
a
1
＝
a
8
－3＝0，
∴
a
8
＝3.故选B.
5
5．已知数列{
an
}满足
a
n
＋1
＝
a
n
－，且a
1
＝5，设{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，则使得
S
n
取得最大值
7
的序号
n
的值为( )
A．7
C．7或8
答案 C
B．8
D．8或9
B．3
D．11

55
解析 由题意 可知数列{
a
n
}是首项为5，公差为－的等差数列，所以
a
n＝5－(
n
－1)＝
77
40－5
n
，该数列前7项是 正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以
S
n
取得最大值
7
时，
n
＝7或8，故选C.
6．已知数列{
a
n
}中，
a
1
＝1且
1
答案
4
解析 由已知得
1
故
a
10
＝.
4
7．已知递增的等差 数列{
a
n
}满足
a
1
＝1，
a
3
＝
a
2
－4，则
a
n
＝________.
答案 2
n
－1
解析 设等差数列的公差为
d
，
∵
a
3
＝
a
2
－4，∴1＋2
d
＝(1 ＋
d
)－4，
解得
d
＝4，即
d
＝±2.
由于该数列为递增数列，故
d
＝2.
∴
a
n
＝1 ＋(
n
－1)×2＝2
n
－1.
8．设数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝2
n
－10(
n
∈N)，则|
a
1
|＋|
a
2
|＋…＋|
a
15
|＝________.
答案 130
解析 由
a
n＝2
n
－10(
n
∈N)知{
a
n
}是以－8 为首项，2为公差的等差数列，又由
a
n
＝2
n
－10≥0
得
n
≥5，∴
n
≤5时，
a
n
≤0，当
n
＞5时，
a
n
＞0，∴|
a
1
|＋|
a< br>2
|＋…＋|
a
15
|＝－(
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
*
*
2
222
11
*
＝＋(
n
∈N)，则
a
10
＝________.
a
n
＋1
a
n
3
1
11
＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，
a
10
a
1
3
1
a
4
)＋(
a
5
＋
a
6
＋…＋
a
15
)＝20＋110＝130.
1
9．若数列{a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且满足
a
n
＋2
S
n
S
n
－1
＝0(
n< br>≥2)，
a
1
＝.
2

1

(1)求证：

成等差数列；

S
n

(2)求数列{
a
n
}的通项公式．
(1)证明 当
n
≥2时，由
a
n
＋2
S
n
S
n
－1
＝0，
11
得
S
n
－
S
n
－1
＝－2
S
n
S
n
－1
，所以－＝2，
S
n
S
n
－1

1
又＝＝2，故

是首项为2，公差为2的等差数列．
S
1
a
1

S
n

11
11
(2)解 由(1)可得＝2
n
，∴
S
n
＝.
S
n
2
n

当
n
≥2时，
11
n
－1－
n
1
a
n
＝
S
n< br>－
S
n
－1
＝－＝＝－.
2
n
2?
n
－1?2
n
?
n
－1?2
n
?
n－1?
1
当
n
＝1时，
a
1
＝不适合上式．
2
1


2
，
n
＝1，
故
a
＝

1
－


2
n
?
n
－1?
，
n
≥2.
n


10．等差 数列{
a
n
}中，设
S
n
为其前
n
项和， 且
a
1
＞0，
S
3
＝
S
11
，则 当
n
为多少时，
S
n
最大
解 方法一 由
S
3
＝
S
11
得
3×211×102
3
a
1
＋
d
＝11
a
1
＋
d，则
d
＝－
a
1
.
2213
d
< br>d
2

a
1
49
2
从而
S
n
＝
n
＋

a
1
－

n
＝－(
n
－7)＋
a
1
，
2

2131 3

又
a
1
＞0，所以－＜0.故当
n
＝7时，< br>S
n
最大．
13
方法二 由于
S
n
＝an
＋
bn
是关于
n
的二次函数，由
S
3＝
S
11
，可知
S
n
＝
an
＋
bn
的图象关于
n
＝
3＋11
a
1
＝7对称．由 方法一可知
a
＝－＜0，故当
n
＝7时，
S
n
最大 ．
213
22
a
1
2
方法三 由方法一可知，
d
＝－
a
1
.
13
要使
S
n
最大，则有


a
n
≥0，



a
n
＋1
≤0，



2

a
＋?
n
－1?

－
a
≥0，



13

即


－
2
a

≤0，
a
＋
n




13

1
1
1
1


解得≤
n
≤，故当
n
＝7时，
S
n
最大．
方法四 由
S
3
＝
S
11
，可得2
a1
＋13
d
＝0，
即(
a
1
＋6
d
)＋(
a
1
＋7
d
)＝0，
故
a
7
＋
a
8
＝0，又由
a
1
＞0，
S3
＝
S
11
可知
d
＜0，
所以
a< br>7
＞0，
a
8
＜0，所以当
n
＝7时，
S< br>n
最大．
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．设S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和，(n
＋1)
S
n
＜
nS
n
＋1
(
n
∈N)．若＜－1，则( )
*
a
8
a
7