2
C
．
a
n
n2n1
D
．数列

a
n

为周期数列

22．(
多选题
)
已知数列

a
n

中，前
n
项和为
S
n
，且
S
n

（

）

A
．
2 B
．
5 C
．
3
a
n
n2
a
n
，则的值不可能为
a
3< br>n1
D
．
4

23．已知等差数列

a< br>n

的前
n
项和为
S
n
，公差为
d
，且
a
3
5
，
a
7
3
，则（

）

A
．
d
1

2
B
．
d
1

2
C
．
S
9
18
D
．
S
9
36

24．等差数列

a< br>n

是递增数列，公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，满足
a
7
3a
5
，下列选项正
确的 是（

）

A
．
d0

C
．当
n5
时
S
n
最小

B
．
a
1
0

D
．
S
n
0
时
n
的最小值为
8

25．朱世杰是元代著 名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学
普及著作
.
《算学 启蒙》中涉及一些
“
堆垛
”
问题，主要利用
“
堆垛
”
研究数列以及数列的求和
问题
.
现有
100
根相同的圆形 铅笔，小明模仿
“
堆垛
”
问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰
梯形 的
“
垛
”
，要求层数不小于
2
，且从最下面一层开始，每一 层比上一层多
1
根，则该
“
等
腰梯形垛
”
应堆放的 层数可以是（

）

A
．
4 B
．
5 C
．
7 D
．
8

26．公差不 为零的等差数列

a
n

满足
是（

）

A
．
S
11
0

C
．当
S
11
0
时，
S
n
S
5

B
．
S
n
S
10n
（
1n1 0
）

D
．当
S
11
0
时，
S
n
S
5

a
3
a
8
，
S
n
为

a
n

前
n
项和，则 下列结论正确的
27．已知数列

a
n

为等差数列，则下 列说法正确的是（

）

A
．
a
n1a
n
d
（
d
为常数）

C
．数列

B
．数列

a
n

是等差数列

D
．
a
n1
是
a
n
与
a< br>n2
的等差中项


1


是等差数列

a

n

28．下列命题正确的是（

）

A
．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
< br>B
．若等差数列

a
n

的公差
d0，则

a
n

是递增数列

C
．若< br>a
，
b
，
c
成等差数列，则
,,
可能成等差 数列

D
．若数列

a
n

是等差数列， 则数列

a
n
2a
n1

也是等差数列

29．等差数列

a
n

的前
n
项和 为
S
n
，
a
1
5a
3
S
8< br>，则下列结论一定正确的是（

）

A
．
a
10
0
B
．当
n9
或
10
时，
S
n
取最大值

111
abc

C
．
a
9
a
11
D
．
S
6
S
13

30．设公差不为
0
的等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
Sn
，若
S
17
S
18
，则下列各式的值为
0
的是（

）

A
．
a
17
B
．
S
35
C
．
a
17
a
19
D
．
S
19
S
16


【参考答案】
***
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一、等差数列选择题


1
．
A

【分析】

由已知等式分别求出数列的前三项，由
2a
2
 a
1
a
3
列出方程，求出公差，利用等差数列
的通项公式求解可得 答案．

【详解】

a
1
1
，
2

a
n
a
n1
1

tn

1a
n

,

令
n1
，则
2
a
1
a
2
1

t

1 a
1

，解得
a
2
t1

2
令
n2
，则
2

a
2
a
3
 1

2t

1a
2

，即

t1

a
3
t1
，若
t1
，则
a
2
0,d1
，
与已知矛盾，故解得
a
3
t 1


a
n

等差数列，
2a
2
a
1
a
3
，即
2

t1

1t1
，解得
t4

则公差
da
2
 a
1
2
，所以
a
n
a
1


n1

d2n1
.

故选：
A

2
．
C

【分析】

利用等差数列的通项公式即可求解
.

【详解】

{
a
n
}为等差数列，

S
3
＝
12
，即
a
1
a
2
a
3
3a
2
12
，解得
a
2
4
.

由
a
1
2
，所以数列的公差
da
2
a
1422
，

所以
a
n
a
1


n1

d22

n1

2n
，

所以
a
6
2612
.

故选：
C

3
．
B

【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果
.

【详解】

因为
S
n
为等差数列
{ a
n
}
的前
n
项和，公差
d1
，
S6
S
2
10
，

所以
a
6
 a
5
a
4
a
3


a
42da
3
2d

a
4
a
3
2

a
4
a
3

410
，

解得
a
3
a
4
3
.

故选：
B.

4
．
A

【详解】

由
S
8

5
．
B

【分析】

把已知的两式相加得到
a
1
a
20< br>18
，再求
S
20
得解
.

【详解】

由题得
(a
1
a
20
)( a
2
a
19
)(a
3
a
18
) 247854
，

所以
3(a
1
a
20)54,a
1
a
20
18
.

所以
S
20

故选：
B

6
．
B

【分析】

先利用等差数列的下标和性质 将
a
3
a
5
2a
10
转化为
2

a
4
a
10

4a
7
，再根据< br>
a
1
a
8

8


a
4
a
5

8

48
16
.
故选
A.

222
20
(a
1
a< br>20
)1018180
.

2
S
13

13

a
1
a
13

2
1 3a
7
求解出结果
.

【详解】

因为
a
3
a
5
2a
10
2

a
4
a
10

4a
7
4
，所以
a
7
1
，

13

a
1
a
1 3

13a
7
13113
，

2
故选：
B.

【点睛】

又
S
13

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若
mnpq2tm,n,p ,q,tN
（
1
）当

a
n

为等差数 列，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
2a
t
；

（
2
）当

a
n

为等比数列，则有
a
m
a
n
a
p< br>a
q
a
t
.

2

*

，

7
．
B

【分析】

设公差为
d
，利用等差数列的前
n
项和 公式，
S
5
S
6
，得
d2
，由前
n
项和公式，得

S
7
28
，同时可得
Sn
的最大值，
d2
，
n5
或
n6
时取 得，结合递减数列判断
D
．

【详解】

设公差为
d
，由已知
a
1
10
，
S
5
S
6
，得
51010d61015d
，所以
d2
，< br>A
正确；

所以
S
7
71021d702 2128
，
B
错误；

a
n
a
1< br>(n1)d10(n1)d0
，解得
n
解得
n< br>所以

10
1
，
a
n1
a
1
nd10nd0
，
d
10
，

d
1010
n1
，当
d2
时，
5n6
，
dd
当
n5
时，有最大值，此时
M51010( 2)30
，

当
n6
时，有最大值，此时
M610 15(2)30
，
C
正确．

又该数列为递减数列，所以< br>a
2019
a
2020
，
D
正确．

故选：
B
．

【点睛】

关键点点睛：本题考查等 差数列的前
n
项和，掌握等差数列的前
n
和公式与性质是解题关
键． 等差数列前
n
项和
S
n
的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由

8
．
D

【分析】

由题设求出数列< br>{a
n
}
的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判< br>断，即可得出正确选项
.

【详解】

解：

a
n
0
求得．


a< br>n1
0
S
n
a(2
n
1)b[(n2) 2
n
2](a2bbn)2
n
(a2b)
，


当
n1
时，有
S
1
a
1
a0
；

n1
当
n2
时，有
a
n
S
n
S
n1
(abnb)2
，

0
又当
n1
时，
a
1
(abb)2a
也适合上式，

a
n
(abnb)2
n1
，

n1
令
b
n
abbn
，
c
n
2
，则数列
{b
n
}
为等差数列，
{c
n
}
为等比数列，

故
a
n
b
n
c
n，其中数列
{b
n
}
为等差数列，
{c
n
}< br>为等比数列；故
C
错，
D
正确；

n1n1因为
a
n
(ab)2bn2
，
b≠0
，所以
bn2

n1

即不是等差数列，也不是等比数
列，故
AB
错
.

故选：
D.

【点睛】

方法点睛：

由数列前
n
项和求通项公式时，一般根据
a
n


力
.

9
．
A

【分析】

设项数为
2n
，由题意可得

2n1

d
【详解】

设 等差数列

a
n

的项数为
2n
，
末项比首项大

S
n
S
n1
,n2
求解 ，考查学生的计算能

a
1
,n1
21
，及
S< br>偶
S
奇
6nd
可求解．

2
21
，

2
21
①;

2a
2n
a
1


2n1

d 
S
奇
24
，
S
偶
30
，

S
偶
S
奇
30246nd②
．

由
①②
，可得
d
即项数是
8
，

故选：
A.

10
．
B

【分析】

设出数列

a
n

的公差，利 用等差数列的通项公式及已知条件，得到
a
1
2d4
，然后代入
求和公式即可求解

【详解】

设等差数列

a
n

的公差为
d
，则由已知可得
2

a
1< br>6d



a
1
10d

a
1
2d4
，

所以
S
5
5a
1

故选：
B

11
．
D

【分析】

由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数
.

【详解】

被
3
除余
2
且被
5
除 余
3
的数构成首项为
8
，公差为
15
的等差数列，记为
a
n

，则
3
，
n4
，

2
54
d5

a
1
2d

5420

2
a
n
815

n1
15n7
，令
a
n
15n72020
，解 得：
n135
2
，

15

所以该数列的项数共有
135
项
.

故选：
D

【点睛】

关键点点睛：本题以数学文化为背景 ，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象
出等差数列
.

12
．
D

【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果
.

【详解】

因为在等差数列

a
n

中， 若
S
n
为其前
n
项和，
a
6
5
，

所以
S
11

故选：
D.

13
．
B

【分析】

直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和

【详解】

解：当
n
为奇数时，
a
n2
a
n
，

当
n
为偶数时，
a
n2a
n
2
，

所以
a
1
a
3
a
29
1
，

11

a
1
a
11

2
11a
6
55
.

a
2
,a
4
,,a
30
是以
2
为首项，
2
为公差的等差数列，

所以
S
30
(a
1
a
3
a
29
)(a
2
a
4
a
30
)15152
故选：
B

14
．
B

【分析】

先求得
a
n
2n1
，根据
a
n
m
，求得
n
列的求和公式，即可求解.

【详解】

2由题意，等差数列

a
n

的前
n
项和为S
n
，且
S
n
n
，可得
a
n
2n1
，

1514
2255
，

2
m12k1
，进而得到
b
2k1

，结合等差数22
因为
a
n
m
，即
2n1m
，解得< br>n
当
m2k1
，（
kN
*
）时，
即
b
2k1

m1
，

2
m

m1

mmk
m1

，

b
m
k
，即
b
m

m12

m1< br>
2
m
2k1
，

2

从而
b
1
b
3
b
5

故选：
B.

15
．
A

【分析】

由题意可得
d
【详解】

解：根据题意，
d
故选：
A.

16
．
A

【分析】

b
19

1

135
2
19

50
.

a
5
a
2
820
4
，再由< br>a
2
20
可求出
a
1
的值

5 252
a
5
a
2
820
4
，则
a
1
a
2
d20(4)24
，

5 252
22
由
a
1
a
9
，可得
a< br>1
4d
，从而得
S
n

d
2
9 d
nn
，然后利用二次函数的性质求其最
22
值即可

【详解】

解：设递减的等差数列

a
n

的公差为
d
（
d0
），

22
22
因 为
a
1
a
9
，所以
a
1
(a
1
8d)
，化简得
a
1
4d
，

所 以
S
n
na
1

对称轴为
n
n(n 1)ddd9d
d4dnn
2
nn
2
n
，
22222
9
，

2
因为
nN
+
，
d
0
，
< br>2
所以当
n4
或
n5
时，
S
n
取最大值，

故选：
A

17
．
A

【分析】

根据已知条件，结合等差数列前
n
项和公式，即可容易判断
.

【详解】

依题意，有
a
1
a
7
0< br>，
a
1
a
8
0

则
S
7


a
1
a
7

7
0< br>
2
2
S
8


a
1
a
8

8
4

a
1
a
8
0

故选：
A
.

18
．
A

【分析】

设等差数列

a
n

的公差为
d
，根据等差数列的通项公式列 方程组，求出
a
1
和
d
的值，

a
12
a
1
11d
，即可求解
.

【详解】

设等差数列

a
n

的公差为
d
，

7

d


a
1
6da
1
8d16

a
1
7d8< br>
4

解得：

则

，即

，

17< br>a3d1a3d1

1

1

a
1

4

所以
a
12
a
1
 11d
所以
a
12
的值是
15
，

故选：
A

19
．
C

【分析】

根据首末两项求等差数列的公差，再求这
5
个数字
.

【详解】

在
1
与
25
之间插入五个数，使其组成等差数列，

则
a
1
1,a
7
25
，则
d
17 760
1115
，

444
a
7
a1
251
4
，

716
则这5个数依次是5，9，13，17，21.

故选：
C

20
．
C

【分析】

由等差数列的性质可得
a
n
3n32
，结合分组求和法即可得解 。

【详解】

*
因为
a
1
29，
a
n1
a
n
3nN
，

 
所以数列

a
n

是以
29
为首项， 公差为
3
的等差数列，

所以
a
n
a
1


n1

d3n32
，

所以当
n10
时，
a
n
0
；当
n11
时，
a
n
0
；

所以
a
1
a2
a
20


a
1
a
2a
10



a
11
a
12
a
20


a
1
a
10
aa
292128
10
1120
1010 10300
.

2222
故选：
C.


二、多选题

21
．
ABC

【分析】

由
a
n


a
n1
212
，变形得到
a
n
2a
n1
2 1
，再利用等差数列的定义求

2
得
a
n
，然后 逐项判断
.

【详解】

当
n2
时，由
a
n

得
a
n
2

a
n1
212
，


2


a
n1
21
，


2
即
a
n
2a
n1
21，又
a
1
2
，

所以

a
n
2
是以2为首项，以1为公差的等差数列，

所以
a
n
22(n1)1n1
，

2
即
a
n
n2n1
，故
C
正确；

所以
a
2
7
，故
A
正确；

a
n


n1

2
，所以

a
n

为递增数列，故正确；

2
数列

a
n

不具有周期性，故
D
错误；

故选：ABC

22
．
BD

【分析】

a
n
2
1
利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案 ．

a
n1
n1
【详解】

解：∵
S
n

n2
a
n
，

3
n2n1
a
n
a
n1
，
33
∴
n2
时，
a
n
S
n
S< br>n1

a
n
n12
1
化为：，

a
n1
n1n1
由于数列


2


单调递减，

n1

2
取得最大值
2
．

n1< br>可得：
n2
时，
a
n
∴的最大值为
3
．< br>
a
n1
故选：
BD
．

【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23
．
BD

【分析】

由等差数列下标和性质结 合前
n
项和公式，求出
S
9
，可判断
C
，
D
，由等差数列基本量运
算，可得公差，判断出
A
，
B
．< br>
【详解】

因为
a
1
a
9
a
3
a
7
538
，

所以
S
9

9

a
1
a
9

98
36
．

22
a
7
a
3
1

．
732
因为
a
3
5
，
a
7
3< br>，所以公差
d
故选：
BD

24
．
BD

【分析】

由题意可知
d 0
，由已知条件
a
7
3a
5
可得出
a
1
3d
，可判断出
AB
选项的正误，求
出
S
n< br>关于
d
的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出
CD
选项的正误
.

【详解】

由于等差数列

a< br>n

是递增数列，则
d0
，
A
选项错误；

a
7
3a
5
，则
a
1
6d3

a
1
4d

，可得
a
1
3d 0
，
B
选项正确；

2
2
n

n 1

dn

n1

d

n7n
d
1


7

49

S< br>n
na
1
3nd


n



d
，

2222

2
4




当
n3
或
4
时 ，
S
n
最小，
C
选项错误；

令
S
n
0
，可得
n
2
7n0
，解得
n0或
n7
.

nN

，所以，满足
S
n
0
时
n
的最小值为
8
，
D
选项正确
.

故选：
BD.

25
．
BD

【分析】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为
a
1
，公差即每一层比上
一层多的根数为
d1
，设一共放
n

n2

层，利用等差数列求和公式，分析即可得解
.

【详解】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为
a
1
，公差为
d1
，设
一共放
n

n 2

层，则总得根数为：

S
n
na
1

n

n1

dn

n1

na
1
100

22

整理得
2a1


200
1n
，

n
200


1n

2
且为偶数，

n
因为
a
1
N
，所以
n
为
200
的因数 ，
验证可知
n5,8
满足题意
.

故选：
BD.

【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的 求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等
差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能 力，属于基础题.

26
．
BC

【分析】

设公差
d
不为零,由
【详解】

设公差
d
不为零,

因为
a
3
a
8
，解得
a
1
d
，然后逐项判断
.

9
2
a
3
a
8
，

所以
a
1
2da
1
7d
，

即
a
1
2da
1
7d
，

解得
a
1
d
，

9
2
11< br>
9

S
11
11a
1
55d11

d

55dd0
，故
A
错误；

2

2

n

n1

10 n

9n

d
d
n
2
10nd
d

n
2
10n

,S
10 n


10n

a
1


2 222
，故
B
正确；

S
n
na
1
若
S
11
11a
1
55d11
< br>
11

9

d

55dd0
，解得
d0
，
2

2

d
2
dd
2
n10n



n5

25 S
5
，故
C
正确；
D
错误；


222
故选：
BC

27
．
ABD

【分析】

S
n

由等差数列的性质直接判断
AD
选项，根据等差数列的定义的判断方法判断
BC
选项
.

【详解】

A.
因为数列

a
n

是等差数列，所以
a
n1
a
n
d
，即
a
n1
a
n
d
，所以A
正确；

B.
因为数列

a
n

是等差数列，所以
a
n1
a
n
d
，那么
a
n1



a
n



a
n1
a
n

d
，所以 数列

a
n

是等差数列，故
B
正确；

C.
11
aa
n1
d

1< br>

n

，不是常数，所以数列

不是等差数列 ，故
C
不正
a
n1
a
n
a
n
a
n1
a
n
a
n1

a
n
< br>确；

D.
根据等差数列的性质可知
2a
n1
a
n
a
n2
，所以
a
n1
是
a
n
与
a
n2
的等差中项，故
D
正
确.

故选：
ABD

【点睛】

本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型
.

28
．
BCD

【分析】

根据等差数列的性质即可判断选项的正误
.

【详解】

A
选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B
选项：由 等差数列性质知
d0
，

a
n

必是递增数列；

C
选项：
abc1
时，
111
1< br>是等差数列，而
a = 1
，
b = 2
，
c = 3
时不成立；

abc
D
选项：数列

a
n

是等差数列公差为
d
，所以
a
n
2a
n1
a
1
(n1)d2a
1
2nd3a
1
(3n1)d
也是等差数列；

故选：
BCD

【点睛】

本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题
.

29
．
AD

【分析】

由
a
1
5a
3
S
8
求出
a
10
0
，即
a
1
9d
，由此表示出
a
9
、
a
11
、
S
6
、
S
13
，可判断
C
、
D
两选项；当
d0
时，
a
1
0，
S
n
有最小值，故
B
错误
.

【详解】

解：
a
1
5a
3
S
8
，
a
1
5a
1
10d8a
1

87d
,a
1
9d0,a
10
0
，故正确
A.

2
由
a
1
9d0
，当
d0
时，
a
1
0
，
S
n
有最小值，故
B
错误
.

a
9
a
10
d d,a
11
a
10
dd
，所以
a
9
a
11
，故
C
错误
.

S
6
 6a
1
+
65d
54d15d39d
，
2
1312d
117d78d39d
，故
D
正确< br>.

2
S
13
13a
1
+
故选：
AD

【点睛】

考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题
.

30
．
BD

【分析】

由
S
1 7
S
18
得
a
18
0
，利用
a
17
a
18
dd0
可知
A
不正确；；根据S
35
35a
18
可
知

B
正确； 根据
a
17
a
19
2d0
可知
C
不正确；根据
S
19
S
16
3a
18
0可知
D
正确
.

【详解】

因为
S< br>17
S
18
，所以
S
18
S
17
0
，所以
a
18
0
，

因为公差
d 0
，所以
a
17
a
18
dd0
，故< br>A
不正确；

S
35

35(a
1
a
35
)352a
18
35a
18
0
， 故
B
正确；

22
a
17
a
19
2d0
，故
C
不正确；

S
19
S16
a
17
a
18
a
19
3a
18
0
，故
D
正确
.

故选：
BD.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题
.