模具技工-北京故宫简介

1.等差数列的定义式：
a
n
a
n1
2．等差数 列通项公式：
等差数列性质总结
d
（
d
为常数）（
n2
）；

a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN< br>*
)
， 首项:
a
1
，公差:d，末项:
a
n

推广：
a
n
a
m
(nm)d
． 从而
d
3．等差中项
（1）如果
a
，
A
，b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项 ．即：
A
ab
2
a
n
a
m
；
nm
或
2Aab

（2）等差中项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
 a
n1
(n2,nN
+
)
2a
n1
a
n
a
n2

4．等差数列的前n项和公式：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)d1
na
1
dn
2
(a
1
d)n
An< br>2
Bn

2222
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数
2n1
时，
a
n1
是项数为2n+1的等差数列的中间项
S
2n1


2n1

a
1
a
2n1


2

2n1

a
n1
（项数为奇数 的等差数列的各项和等于项数乘以中间
项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定 义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN

)



a
n

是等差数列．
（2） 等差中项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n- 1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2
．
⑶数列

a
n

是等差数列

a
n
knb
（其中
k,b
是常数）。 （4）数列

a
n

是等差数列

S
n
An
2
Bn
,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n1< br>d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN

)



a
n

是等差数列
等差中项性质法：
2an
a
n-1
a
n1
(n2，nN

)
．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前
n
和公式中，涉 及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作 为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(n1)d

②奇数个数成等差，可设为…，
a2d,ad,a,ad,a2d
…（公差为
d
）；
③偶数个数成等差，可设为…，
a3d,ad,a d,a3d
,…（注意；公差为2
d
）
8.等差数列的性质：
（1）当公差
d0
时，
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d
；
前
n
和
S
n< br>na
1

n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次函数且常数项为0.
222

（2）若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
，则为递减 等差数列，若公差
d0
，则
为常数列。

（3）当
m npq
时,则有
a
m
a
n
a
p
 a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p
.
注：
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2
，

（4）若

a
n

、

b
n

为等差数列，则


a
n
b

，


1
a
n

2
b
n

都为等差数列

(5) 若{< br>a
n
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S< br>n
,S
3n
S
2n
，…也成等差数列
（6）数列
{a
n
}
为等差数列,每隔k(k

N*
)项取出一项(
a
m
,a
mk
,a
m2 k
,a
m3k
,
)仍为等差数列

（7）设数列

a
n

是等差数列，d为公差，
S
奇
是 奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是前n项
的和
。当项数为偶数
2n
时，
S
奇
a
1a
3
a
5
a
2n1

n
a
1
a
2n1

na
n
< br>2
n

a
2
a
2n

S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2n
na
n1

2
S
偶
S
奇
na
n1
na
n
n

a
n1
 a
n

nd

S
偶
S
奇
na
n1
a
n1


na
n
a
n

。当项数为奇数
2n1
时，则

S
偶
n

S
2n1
S
奇
S
偶
(2n1)a< br>n+1


S
奇
(n1)a
n+1
 


SSaSna
S
奇
n1
n+1n +1

奇偶偶




（其中
an+1
是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
，且
则
A
n
f(n)
，
B
n
a
n
(2n1)a
n
A
2n1
f(2n1)
.
b
n
(2n1)b
n
B
2n1

（9）等差数列
{a
n
}
的前n项和
S
m
n
，前m项和
S
n
m
，则前m+n项和
S
m n


mn


a
n
m,a
m
n,
则
a
nm
0

(10)求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项 是关于
n
的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数
列的特殊性
nN
*
。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和 
a
n
0
即当
a
1
0，d0，
由

可得
S
n
达到最大值时的
n
值．

a
n1
0
（2） “首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。

a
n
0
即 当
a
1
0，d0，
由

可得
S
n
达到最小值时的
n
值．

a
n1
0
或求

a
n

中正 负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d
的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．