爆笑幽默笑话-方文山写的歌

等差数列
一．等差数列知识点：
知识点1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起 ，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公 差，公差通常用字母d表示
知识点2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列

a
n

，若
a
n1
a
n
 d
(常数)，则数列

a
n

是等差数列
③等 差中项：对于数列

a
n

，若
2a
n1
a
n
a
n2
，则数列

a
n
< br>是等差数列
知识点3、等差数列的通项公式:
④如果等差数列

a
n

的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数 列的通项为

a
n
a
1
(n1)d
该公式整理后是关于n的一次函数
知识点4、等差数列的前n项和:
⑤
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
d
⑥
S
n
na
1

2
2
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
知识点5、等差中项:
⑥如 果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做< br>a
与
b
的等差中项即：
A
ab
2
或2Aab

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是 它
的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项
的等差中项
知识点6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果
a
n是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的
第
m
项，且
mn
，公差为
d
，则有
a
n
a
m
(nm)d

⑧ 对于等差数列

a
n
，若
nmpq
，则
a
n
a
m
a
p
a
q

S
3k
也就是：
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2


⑨若数列

a
n

是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
kN
*< br>，那么
S
k
，
S
2k
S
k
，S
2k
成等差数列如下图所示：

S

3k

a
1
a
2
 a
3
a
k
a
k1
a
2k
a
2k1
a
3k

 
S
k
S
2k
S
k
S
3k< br>S
2k
10、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为< br>2n

n
*

，则
S
2n
n

a
n
a
n1

，且
S
偶< br>S
奇
nd
，
S
2n1


2 n1

a
n
，且
S
奇
S
偶
 a
n
，
S
奇
a

n
．②若项数为
2n1

n
*

，则
S
偶
a
n1
S
奇
n
（其中
S
奇
na
n，
S
偶


n1

a
n
） ．

S
偶
n1
1

二、题型选析：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列{a
n
}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2
2．在数列{a
n
}中，a
1
=2，2a
n+ 1
=2a
n
+1，则a
101
的值为 （ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）
A．92 B．47 C．46 D．45
4、已知等差数列{a< br>n
}中，
a
7
a
9
16,a
4
1,则a
12
的值是( )
( )
A 15 B 30 C 31 D 64
5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
888
A.
d
＞ B.
d
＜3 C. ≤
d
＜3 D.＜
d
≤3
333< br>6、.在数列
{a
n
}
中，
a
1
3
，且对任意大于1的正整数
n
，点
(a
n
,a
n1)
在直
xy30
上，则
a
n
=_____________.
7、在等差数列{a
n
}中，a
5
＝3，a
6
＝－2，则a
4
＋a5
＋…＋a
10
＝ ．
8、等差数列
< br>a
n

的前
n
项和为
S
n
，若a
2
1,a
3
3,则S
4
＝
（

）

（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
9、设数列

a
n

的首项
a
1
7,且满足a
n1
a
n
2 (nN)
，则
a
1
a
2
a
17

______ .
10、已知{a
n
}为等差数列，a
3
+ a
8
= 22，a
6
= 7，则a
5
= __________
11、已知数列的通项
a
n
= -5
n
+2,则其前
n
项和为S
n
= .
12、设
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
S
4
＝14，
S
10S
7
30
，则
S
9
＝ .

题型二、等差数列性质
1、已知｛
a
n
｝为等差数列，
a
2
+a
8
=12,则
a
5
等于（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2、设
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和，若
S
7
35
，则
a
4

（ ）
A．
8
B．
7
C．
6
D．
5

3、 若等差数列

a
n

中，
a
3
a
7
a
10
8,a
11
a
4
4,
则
a
7
__________.

4、记等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，若
S
2
4
，
S
4
20
， 则该数列的公差d=（ ）
A．7 B. 6 C. 3 D. 2
1
5、等差数列
{a
n
}
中，已知
a< br>1

，
a
2
a
5
4
，
a
n
33
，则n为（ ）
3
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
6.、等差数列{
a
n
}中，
a
1
=1,
a
3
+
a
5
=14，其前
n
项和
S
n
=100,则
n
=（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
2

7、设S
a
n
是等差数列

a
5
n

的前n项和，若
a

5
9
,则
S9
S

（ ）
35
A．1 B．－1 C．2 D．
1
2

8、已知等差数列{a
n
}满足 α
1
＋α
2
＋α
3
＋…＋α
101
＝0则 有( )
A．α
1
＋α
101
＞0 B．α
2
＋α
100
＜0 C．α
3
＋α
99
＝0 D．α
51
＝51
9、如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d0
，则( )
（A）
a
1
a
8

a
4
a
5
（B）
a< br>8
a
1

a
4
a
5
（C）
a
1
+
a
8

a
4
+
a
5
（D）
a
1
a
8
=
a
4
a
5

10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和
为390，则这个数列有（ ）
（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项






























3

题型三、等差数列前n项和
1、等差数列

a
n

中，已知
a
1
a
2
a
3
La
1 0
p
，
a
n9
a
n8
La
n
q
，则其前
n
项和
S
n

．
2、等差数列
2,1,4,
的前n项和为 （ ）
1111
A.
n

3n4

B.
n

3n7

C.
n

3n4

D.
n

3n7


2222
3、已知等差数列
a
n

满足
a
1
a
2
 a
3
a
99
0
，则 （ ）
A.
a
1
a
99
0
B.
a
1
a
99
0
C.
a
1
a
99
0
D.
a
50
50
[来源:学科
网ZXXK]
4、在等差数列

a
n

中，
a
1
a
2
a
3
15,a
n
a
n1
a
n278
，S
n
155，
则
n

。
5、等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
2,S
4
10 ,则S
6
等于
（ ）
A．12 B．18 C．24 D．42
6、若等差数列共有
2n1
项

nN
*

，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，
则项数为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
7、 设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7
a
8
a
9


S
7n
a
8、 若两个等差数列

a
n

和

b
n

的前
n
项和分别是
S
n
，T
n
，已知
n

，则
5
等< br>T
n
n3
b
5
于（ ）
2
2721
Ａ．
7
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
84
3















4

题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{
a
n
}的前n项和记为S
n
.已知
a
10
30,a
20
50.

（Ⅰ）求通项
a
n
； （Ⅱ）若S
n
=242，求n.




2、已知数列
{a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
1
，
a
5
5
。
（1）求
{a
n
}
的通项
a
n
；（2）求
{a
n
}
前n项和
S
n
的最大值。






3、设

a
n

为等差数列，
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，已知< br>S
7
7
，
S
15
75
，
T< br>n
为数列


S
n


的前
n
项和，求
T
n
。
n





4、已知

a
n

是等差数列，a
1
2
，
a
3
18
；

b
n

也是等差数列，
a
2
b
2
4< br>，
b
1
b
2
b
3
b
4
a
1
a
2
a
3
。
（1）求数列

b
n

的通项公式及前
n
项和
S
n的公式；
（2）数列

a
n

与

b
n

是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，
请说明理由。









6、已知二次函数
yf(x)
的图像经过坐标原点，其导函数为
f
'
(x)6x2
，数列
{ a
n
}
5

的前n项和为
S
n
， 点
(n,S
n
)(nN

)
均在函数
yf(x )
的图像上。 (Ⅰ)求数列
{a
n
}
的
通项公式； 3
m
,
T
n
是数列
{b
n
}
的前n项和，求使得
T
n

对所有
nN

都成立
a
n
a
n1
20
的最小正整数m；




































(Ⅱ)设
b
n

6

五、等差数列习题精选
1、等差数列
{a
n}
的前三项依次为
x
，
2x1
，
4x2
， 则它的第5项为（ ）
A、
5x5
B、
2x1
C、5 D、4
2、设等差 数列
{a
n
}
中，
a
4
5,a
9
17
,则
a
14
的值等于（ ）
A、11 B、22 C、29 D、12
3、设

a< br>n

是公差为正数的等差数列，若
a
1
a
2
a
3
15
，
a
1
a
2
a
3
80
，
则a
11
a
12
a
13
( )
A．
120
B．
105
C．
90
D．
75

4、若等差数列
{a
n
}
的公差
d0
，则 （ ）
（A）
a
2
a
6
a
3
a
5
（B）
a
2
a
6
a
3
a
5

（C）
a
2
a
6
a
3
a
5
（D）
a
2
a
6
与
a
3
a
5< br>的大小不确定
5、 已知

a
n

满足，对一切自 然数
n
均有
a
n1
a
n
，且
a
n
n
2


n
恒成立，则实数

的取 值范围是（ ）
Ａ．

0
Ｂ．

0
Ｃ．

0
Ｄ．

3

中，a
1
1,公差d0,若a
1
,a
2
,a
5
成等比数 列，则d
为 （ ） 6、等差数列

a
n

(A) 3 (B) 2 (C)
2
(D) 2或
2

7、在等差数列

a
n

中，
a
p
q,a
q
p(pq)
，则
a
p q


A、
pq
B、
(pq)
C、0 D、
pq

8、设数列

a
n

是单调递 增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的
首项是
A、1 B、2 C、4 D、8
aaa105,a
2
a
4
a
6
99a
9、已知为等差数列，
135
，则
20
等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
10、已知

a
n

为等差 数列，且
a
7
－2
a
4
＝－1,
a
3
＝0,则公差d＝
11
C. D.2
22
11、在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ ）
A.－2 B.－
A．18 B 27 C 36 D 9
12、设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7
a
8
a
9

（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
13、在等差数列

a
n
中，
a
1
a
2
a
3
15,a
n
a
n1
a
n2
78
，
S
n155
，
则
n

。
1 4、数列

a
n

是等差数列，它的前
n
项和可以 表示为 （ ）
A.
S
n
An
2
BnC
B.
S
n
An
2
Bn

7

C.
S
n
An
2
BnC

a0

D.
S
n
An
2
Bn

a0










小结
ab

2
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设 为…，
；偶数个数成等差，可设为…，
a2d,ad,a,ad,a2d
…（ 公差为
d
）
1、等差中项：若
a,A,b
成等差数列，则A叫做a
与
b
的等差中项，且
A
a3d,ad,ad,a3 d
,…（公差为2
d
）
3、当公差
d0
时，等差数列的 通项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的
一次函数，且斜率为公差
d
；若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
，则
为递减等差数列，若公差< br>d0
，则为常数列。
4、当
mnpq
时,则有
a< br>m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p.
5、若
{a
n
}
、
{b
n
}是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、
{apnq
}(p,qN
*
)
、
S
n
,S2n
S
n
,S
3n
S
2n
，…也成等差数列，而
{a
a
n
}
成等比数列；



等差数列参考答案
题型一：计算求值
题号 1 2
答案 B D
题号
答案
8
C
9
153
3
C
10
15
4
A
11
-(5n
2
+n)2
5
D
12
54
6
3n
2

13

7
-49
14


题型二、等差数列的性质
1、C 2、D 3、12（a
3
+a
7
-a
10
+a
11
-a
4
=8+4=a
7
=12）
4、C 5、C 6、B 7、A 8、C 9、B
10、A

8

题型三、等差数列前n项和
1、5n(p+q) 2、B 3、C 4、n=10 5、24
6、S
奇
S
偶
=nn-1=43, n=4
7、45 8、D（a
5
b
5
=S
9
T
9
）

题型四：等差数列综合题精选
1、解：（Ⅰ）由
a
n
 a
1
(n1)d,a
10
30,a
20
50,得方程组

a
1
9d30,


……4分 解得
a
1
12,d2.
所以
a
n
2n10.

a19d50.

1
（Ⅱ）由
S
n
na
1


12n
n(n1)
d,S
n
242
得方程
2
n(n1)
2242.
……10分 解得
n11或n22(舍去).

2

a
1
d1
2、解：（Ⅰ）设

a
n

的公差为
d
，由已知条件，得

，

a
1
4d5解出
a
1
3
，
d2
．所以
a
n
a
1
(n1)d2n5
．
n(n1)
（Ⅱ ）
S
n
na
1
dn
2
4n
4 (n2)
2
．
2
所以
n2
时，
S
n
取到最大值
4
．
3、解：设等差数列

a
n< br>
的公差为
d
，则
S
n
na
1
n

n1

d

∵
S
7
7
，
S
15
75
，
∴


7a
1
21d7 ,

a3d1 ,
即

1

15a105d75 ,a7d5 ,

1

1
1
2
S
n< br>11
a
1


n1

d2

n1

，
n22
SS

S

1
1
∵
n1

n

，∴ 数列

n

是等差数列，其首项为
2
，公差为，
2
n1n2

n

解得
a
1
2
，
d1
。 ∴
∴
T
n
n
2
n
。
4、解：（1 ）设{
a
n
}的公差为
d
1
，{
b
n}的公差为
d
2
由
a
3
=
a
1
+2d
1
得
d
1

a
3
a
1
8

2
1
4
9
4
所以
a
n
28(n1 )8n6
，所以a
2
=10, a
1
+a
2
+a
3
=30

b
1
d
2
6

b
1
3

依题 意，得

解得，所以b
n
=3+3(n-1)=3n

4 3
4b
1
d
2
30

d
2
3

2

n(b
1
b
n
)
3
2
3
S
n
nn.

222
9

（2）设a
n
=b
m
,则8n-6=3m, 既
n
3(m2)
①，要是①式对非零自然数m、n成立，
8
只需
m+2=8k,
kN

,所以m=8k-2 ，
kN

②
②代入①得，n=3k,
kN

,所以a
3k
=b
8k-2
=24k-6,对一切
kN< br>
都成立。
所以，数列

a
n

与

b
n

有无数个相同的项。
53
令24k-6<10 0,得
k,
又
kN

，所以k=1,2,3,4.即100以内 有4个
12
相同项。

5、解：（Ⅰ）由
S
14
=98得2
a
1
+13
d
=14, 又
a
11
=
a
1
+10
d
=0，故解得
d
=－2,
a
1
=20.
因此，{
a
n
}的通项公式是a
n
=22－2
n
,
n
=1,2,3…
< br>S
14
77,

2a
1
13d11,

2a
1
13d11,

（Ⅱ）由

a< br>11
0,
得

a
1
10d0,
即

2a
1
20d0,


a6

a6

2a12
1

1

1< br>
由①+②得－7
d
＜11。即
d
＞－
于是－
111
。由①+③得13
d
≤－1 即
d
≤－
713
111
＜
d
≤－，又
d
∈Z, 故d
=－1，将④代入①②得10＜
a
1
≤
713
12.
又
a
1
∈Z,故
a
1
=11或
a< br>1
=12.
所以，所有可能的数列{
a
n
}的通项公式是
a
n
= 12-
n
和
a
n
=13-
n
,
n
=1,2,3,…



6、解：（Ⅰ）设这二次函数
f(x)＝ax
2
+bx (a≠0) ,
则
f`(x)=2ax+b,
由于
f`(x)=6x
－2,
得
a=3 , b=－2,
所以
f(x)＝3x
2
－2x.
又因为点
(n,S
n
)(nN

)
均在函数
yf(x)
的图像上，所以
S
n
＝
3n
2
－2n.
3n1)
2
2(n1)
＝6n－5.
当
n≥2时
，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝（3n
2
－2n）－
（
当
n＝1
时，
a
1
＝S< br>1
＝3×1
2
－2＝6×1－5，
所以，
a
n
＝6n－5 （
nN

）
3
3
111
)
， （Ⅱ）由（Ⅰ）得知
b
n
＝＝
(
a
n
a
n1
(6n5)

6(n1)5

26n56n1

11111

11

(1)()...()
＝（1－）.
< br>77136n56n1
26n1

i1
11
1mm
因此，要使
（1－）<（
nN

）成立的
m,< br>必须且仅须满足
≤
，
2
26n1
2020
即
m≥
10，
所以满足要求的最小正整数
m
为10
故T
n
＝

b
i
＝
n
1
2
10

题型五、精选练习
题号 1 2
答案 D C
题号
答案







8
B
9
B
3
B
10
B
4
B
11
A
5
A
12
B
6
B
13
10
7
C
14
B

11