等差数列及其通项公式
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等差数列及其通项公式
周勇
【内容分析】
本节课是《普通
高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节
等差数列第一课时．数列是高中数学
重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着
承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的
有关概念和给出数列的两种方法——通项
公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同
时等差数列也为今后学习等
比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．
【教学目标】
1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．
2．能力目标：培养学生观
察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并
加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导
，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决
实际问题的能力．
3．情感目标:通过对等差
数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，
渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理
论联系实际，激发学生的学习兴趣．
【教学重点】
①等差数列的概念；②等差数列的通项公式的推导过程及应用．
【教学难点】
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过
程．
【学情分析】
1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．
2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并
加深认识；通过概
念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决
实际问题的能力．
3．情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，
渗透特殊与一般的
辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．
【设计思路】
1．教法
①诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难
点；有利
于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．
③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．
2．学法
引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特
点并抽象出
等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可
以对各种能力的同学引导
认识多元的推导思维方法．用多种方法对等差数列的通项公式进行
推导．
在引导分析时，留出
“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中
心各抒己见，把思路方法和需要解决的
问题弄清．
【教学过程】
教学
内容
创
设
情
景
，
提
出
问
题
问题
预设
师生
互动
教师：以上三个问题中
的数蕴涵着三列数．
学生：
1：0，5，10，15，20，
25，…．
2：18，15．5，13，10．5，
8，5．5．
3:10072，10144，10216，
10288，10360.
预设
意图
从实例
引入,实质是
给出了等差数列的
现实背景,目的是让
学生感受到等差数
列是现
实生活中大
量存在的数学模
型．通过分析,由特
殊到一般，激发学生
学习探究
知识的自
主性，培养学生的归
纳能力．
问题提出：
1．从0开始，将5的倍数按从小到
大的顺序排列，得到的数列是什么？
2．水库管理人员为了保证优质鱼类
有良好的生活环境，用定期放水清库
的办法清理水库中的
杂鱼．如果一个
水库的水位为18m，自然放水每天水
位降低2．5m，最低降至5m．那么从
开始放水算起，到可以进行清理工作
的那天，水库每天的水位（单位：m）
组成一个什
么数列？
3．我国现行储蓄制度规定银行支付
存款利息的方式为单利，即不把利
息
加入本息计算下一期的利息．按照单
利计算本利和的公式是：本利和＝本
金×（1＋
利率×存期）．按活期存
入10 000元钱，年利率是0．72%，
那么按照单利，5年内各
年末的本利
和（单位：元）组成一个什么数列？
①0，5，10，15，20，25，…．
②18，15．5，13，10．5，8，5．5．
观
③10072，10144，10216，10288，
察
10360.
归
纳
思考1上述数列有什么共同特点？
，
形 思考2根据上数列的共同特点，你能
成 给出等差数列的一般定义吗？
定
义
思考3你能将上述的文字语言转换成
数学符号语言吗？
教师：引导学生思考这
三列数具有的共同特
征，然后让学生抓住数
列的特征，归纳得出等
差数列概念．
学生：分组讨论，可能
会有不同的答案：前数
和后数的差符合一定规
律；这些数都是按照一
定顺序排列的…只要合
理教师就
要给予肯定．
教师引导归纳出：等差
数列的定义；另外，教
师引导学生从数学符号<
br>角度理解等差数列的定
义．
通过对一定数量感
性材料的观察、分
析，
提炼出感性材料
的本质属性；使学生
体会到等差数列的
规律和共同特点；一
开
始抓住：“从第二
项起，每一项与它的
前一项的差为同一
常数”，落实对等差
数列概念的准确表
达．
教学
内容
举
一
反
三
，
理
解
定
义
问题
预设
练一练：判定下列数列是否为等差数
列？若是，指出公差d.
(1)1,1,1,1,1;
(2)1,0,1,0,1;
(3)2,1,0,-1,-2;
(4)4,7,10,13,16.
思考4设数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=3
n+1，该数列是等差数列吗？为什
么？
师生 预设
互动 意图
教师
出示题目,学生思强化学生对等差数
考回答．教师订正并强列“等差”特征的理
调求公差应注意
的问解和应用．
题．
注意：公差
d
是每一项
（第2项起）与它
的前
一项的差，防止把被减
数与减数弄颠倒，而且
公差可以是正数，负数，
也
可以为0 ．
定
义
应
用
，
导
出
通
项
思考5已知等差数列：
8，5，2，…，求第200项？
思考
6已知一个等差数列｛a
n
｝的首
项是a
1
，公差是d，如何求出它
的任
意项a
n
呢？
教师出示问题，放手让
学生探究，然后选择列<
br>式具有代表性的上去板
演或投影展示．根据学
生在课堂上的具体情况
进行具体评
价、引导，
总结推导方法，体会递
推思想；让学生初步尝
试处理数列问题的常用
方法．
理
解
通
项
，
简
单
应
用
变1判断－401是不是等差数列－5，
－9，－13，…的项？如果是，是第
几项？
变2在等差数列{a
n
}中，已知a
5
=10，
a
12
=31， 求a
1
，d和a
n
.
<
br>变3某市出租车的计价标准为1.2元
km，起步价为10元，即最初的4km
（不含4
千米）计费10元.如果某人
乘坐该市的出租车去往14km处的目
的地，且一路畅通，等候时
间为0，
需要支付多少车费？
教师：给出问题，让学
生自己操练，教师巡视
学生答题情况．
学生：教师叫学生代表
总结此类题型的解题思
路，教师补充：已知等
差数列的首项和公
差就
可以求出其通项公式．
引导学生观察、归
纳、猜想，培养学生
合理的推
理能力．学
生在分组合作探究
过程中，可能会找到
多种不同的解决办
法，教师
要逐一点
评，并及时肯定、赞
扬学生善于动脑、勇
于创新的品质，激发
学生的
创造意识．鼓
励学生自主解答，培
养学生运算能力．
主要是熟悉公式,使
学
生从中体会公式
与方程之间的联
系．初步认识“基本
量法”求解等差数列
问题
．
教学
内容
课
堂
小
结
，
课
外
作
业
问题
预设
1.一个定义：
等差数列的定义
2.一个公式：
等差数列的通项公式
3.二个应用：
定义和通项公式的应用
师生
互动
教师：让学
生思考整理，
找几个代表发言，最后
教师给出小结内容，并
适当解析．
教师展示作业：
P39练习：2，3．
P40习题2．2A组：1，4．
预设
意图
引导学生去联想这
一概念所涉及到的
各个方面，沟通它们
之间的联系，使学生
能在新的高度上去
重新认识和掌握基
本概念，并灵活运用
基本概念．
【设计反思】
1．本设计从
生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数
列的兴趣．在探索的过程中，学
生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出
通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一
般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解
决问题的能力．
2．本课各环节的
设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度．如：
判断某数列是否成等差数列，这
是促进概念理解的好素材；此外，用方程的思想指导等差数
列基本量的运算等等．学生在经历过程中，加
深了对概念的理解和巩固．
3．本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式
”的转变，以教师提出问
题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系
，形成师生
之间的良性互动，提高课堂教学效率．
4．本人认为在概念教学中多
花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更
好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认
识数学，认识数学的思想和本质，进一步地
发展学生的思维，提高学生的解题能力．