魔法表情-在回来的路上

等差数列
一．等差数列知识点：
知识点1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列
就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
知识点2、等差数列的判定方法:
② 定义法：对于数列

a
n

，若a
n1
an
d(常数)，则数列

a
n

是等差数列 ③等差中项：对于数列

a
n

，若
2a
n 1
a
n
a
n2
，则数列

a
n
是等差数列
知识点3、等差数列的通项公式:
④如果等差数列
< br>a
n

的首项是
a
1
，公差是
d
， 则等差数列的通项为

a
n
a
1
(n1)d
该公式整理后是关于n的一次函数
知识点4、等差数列的前n项和:
⑤
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
d
⑥
S
n
na
1

2
2
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
知识点5、等差中项:
⑥如 果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做< br>a
与
b
的等差中项即：
A
ab
2
或2Aab

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是 它的前一项
与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
知识点6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果
a
n是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，
且
mn
，公差为
d
，则有
a
n
a
m
(nm)d

⑧ 对于等差数列

a
n
，若
nmpq
，则
a
n
a
m
a
p
a
q

也就是：
a
1
 a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2


⑨若数列

a
n

是等 差数列，
S
n
是其前n项的和，
kN
*
，那么
S
k
，
S
2k
S
k
，
S
3kS
2k
成
等差数列如下图所示：
S
3k
 
a
1
a
2
a
3


a
k
a
k1


a
2k
a
2k1


a
3k
< br>
S
k
S
2k
S
k
S
3k
S
2k
*

1 0、
等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn
，则

S
2n
n

a
n
a
n1
，且
S
偶
S
奇
nd
，
S
奇
a
n

S
偶
a
n1
．②若项数为< br>2n1n

*

，则
S
2n1
< br>
2n1

a
n
，且
S
奇
S< br>偶
a
n
，
S
奇
n
（其中
S
奇
na
n
，
S
偶


n1

a
n
）．


S
偶
n1
精选范本,供参考！

二、题型选析：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列{a
n
}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2
2．在数列{a
n
}中，a
1
=2，2a
n+ 1
=2a
n
+1，则a
101
的值为 （ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）
A．92 B．47 C．46 D．45
4、已知等差数列
{a
n
}
中，
a
7
a
9
16,a< br>4
1,则a
12
的值是( )
( )
C 31 D 64
）
A 15 B 30
5. 首项为－24的等差数列，从第10
888
A.
d
＞ B.
d
＜3 C. ≤
d
＜3 D.＜
d
≤3
333
6、.在数列
{a
n
}中，
a
1
3
，且对任意大于1的正整数
n
，点
(a
n
,a
n1
)
在直
xy30
上，
则
a
n
=_____________.
7、在等差数列{a
n
}中，a
5
＝3，a
6
＝－2，则a
4
＋a
5
＋…＋a
10
＝ ．
8、等差数列
a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
a
2
1,a
3
3,则S
4
＝
（< br>
）

（A）12 （B）10 （C）8 （D）6

9、设数列

a
n

的首 项
a
1
7,且满足a
n1
a
n
2 ( nN)
，则
a
1
a
2
a
17

______.
10、已知{a
n
}为等差数列，a
3
+ a
8
= 22，a
6
= 7，则a
5
= __________
11、已知数列的通项a
n
= -5n+2,则其前n项和为S
n
= .
12、设
S
n
为等差数列

a
n

的前n项和，
S
4
＝14，
S
10
S
7
30
，则S
9
＝ .
题型二、等差数列性质

1、已知｛an
｝为等差数列，a
2
+a
8
=12,则a
5
等于（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2、
设< br>S
n
是等差数列

a
n

的前
n< br>项和，若
S
7
35
，则
a
4

（ ）
A．
8
B．
7
C．
6
D．
5

3、 若等差数列

a
n

中，
a
3
a
7
a
1 0
8,a
11
a
4
4,
则
a
7__________.

4、记等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，若
S
2
4
，
S
4
20
，则该数列的公差d=（ ）
A．7 B. 6 C. 3 D. 2
5、等差数列
{a
n
}中，已知
a
1

1
，
a
2
a
5
4
，
a
n
33
，则n为（ ）
3
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
6.、 等差数列{a
n
}中，a
1
=1,a
3
+a
5=14，其前n项和S
n
=100,则n=（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
7、设S
n
是等差数列< br>
a
n

的前n项和，若
a
5
5
S
,则
9

（ ）
a
3
9S
5
精选范本,供参考！

A．1 B．－1 C．2 D．
1

2
8、已知等差数列{ a
n
}满足α
1
＋α
2
＋α
3
＋…＋α< br>101
＝0则有( )
A．α
1
＋α
101
＞0 B．α
2
＋α
100
＜0 C．α
3
＋α
99
＝0 D．α
51
＝51
9、如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d0
，则( )
（A）
a
1
a
8

a
4
a
5
（B）
a< br>8
a
1

a
4
a
5
（C）
a
1
+
a
8

a
4
+
a
5
（D）
a
1
a
8
=
a
4
a
5

10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和
为390，则这个数列有（ ）
（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项

题型三、等差数列前n项和
1、等差数列

a
n

中，已知
a
1
a
2< br>a
3

S
n

．
a10
p
，
a
n9
a
n8
a
n
q
，则其前
n
项和
2、等差数列
2,1,4,< br>的前n项和为 （ ）
1
1
11
A.
n

3n4

B.
n

3n7

C.
n

3n4

D.
n

3n7


2
222
3、已知等差 数列

a
n

满足
a
1
a
2< br>a
3
a
99
0
，则 （ ）
A.
a
1
a
99
0
B.
a
1
a
99
0
C.
a
1
a
99
0
D.
a
50
50
[来源:学科网ZXXK]
4、在等差数列

a
n

中，
a
1
a
2
a< br>3
15,a
n
a
n1
a
n2
7 8
，S
n
155，
则
n

。
5、等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
2,S
4
10 ,则S
6
等于
（ ）
A．12 B．18 C．24 D．42
6、若等差数列共有
2n1
项

nN
*

，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，
则项数为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
7、 设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7
a
8
a
9


S
7n
a
8、 若两个等差数列

a
n

和

b
n

的前
n
项和分别是
S
n
，T
n
，已知
n

，则
5
等于 （ ）
T
n
n3
b
5
227
21
Ａ ．
7
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4
38
题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{
a
n
}的前n项和记为S
n
.已知
a
10
30,a
2 0
50.

（Ⅰ）求通项
a
n
； （Ⅱ）若S
n
=242，求n.



2、已知数列{a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
1
，a
5
5
。
（1）求
{a
n
}
的 通项
a
n
；（2）求
{a
n
}
前n项和
S
n
的最大值。


精选范本,供参考！

3、设

a
n

为等差数列，
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，已知
S< br>7
7
，
S
15
75
，
T
n< br>为数列


S
n


的前
n
项和，求
T
n
。

n





4、已知

a
n

是等差数列，
a1
2
，
a
3
18
；

b
n

也是等差数列，
a
2
b
2
4
，< br>b
1
b
2
b
3
b
4
a1
a
2
a
3
。
（1）求数列

b
n

的通项公式及前
n
项和
S
n
的公式 ；
（2）数列

a
n

与

b
n

是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。
5、设等差数列{a
n
}的首项a
1
及公差d都为整数，前n项和为S
n.
(Ⅰ)若a
11
=0,S
14
=98,求数列｛a
n
｝的通项公式；
(Ⅱ)若a
1
≥6，a
11
＞0，S< br>14
≤77，求所有可能的数列｛a
n
｝的通项公式.






6、已知二次函数
yf(x)
的图像经 过坐标原点，其导函数为
f(x)6x2
，数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，

点
(n,S
n
) (nN)
均在函数
yf(x)
的图像上。 (Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式；
'
(Ⅱ)设
b
n

3
m

,
T
n
是数列{b
n
}
的前n项和，求使得
T
n

对所有< br>nN
都成立的最小正整数m；
a
n
a
n1
20





五、等差数列习题精选

1、等差数列
{a
n
}
的前三项依次为
x
，
2x1
，
4x2
，则它的 第5项为（ ）
A、
5x5
B、
2x1
C、5 D、4
2、设等差数列
{a
n
}
中，
a
4
5,a
9
17
,则
a
14< br>的值等于（ ）
A、11 B、22 C、29 D、12
3、设

a
n

是公差为正数的等差数列，若< br>a
1
a
2
a
3
15
，
a1
a
2
a
3
80
，
则
a
11
a
12
a
13

( )
A．
120
B．
105
C．
90
D．
75

4、若等差数列
{a
n
}
的公差
d0
，则 （ ）
精选范本,供参考！

（A）
a
2
a
6
a
3
a
5
（B）
a
2
a
6
a
3
a
5

（C）
a
2
a
6
a
3
a
5
（D）
a
2
a
6
与
a
3
a
5< br>的大小不确定
5、 已知

a
n

满足，对一切自 然数
n
均有
a
n1
a
n
，且
a
n
n
2


n
恒成立，则实数

的取 值范
围是（ ）
Ａ．

0
Ｂ．

0
Ｃ．

0
Ｄ．

3

中，a
1
1,公差d0,若a
1
,a
2
,a
5
成等比数列，则d
为 （ ） 6、等差数列

a
n

(A) 3 (B) 2 (C)
2
(D) 2或
2

7、在等差数列

a
n

中，
a
p
q,a
q< br>p(pq)
，则
a
pq


A、
pq
B、
(pq)
C、0 D、
pq

8、设数列

a< br>n

是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A、1 B、2 C、4 D、8 < br>9、已知为等差数列，
a
1
a
3
a
5
 105,a
2
a
4
a
6
99
，则
a
20
等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
10、已知

a
n

为等差数列，且
a< br>7
－2
a
4
＝－1,
a
3
＝0,则公差d＝
11
A.－2 B.－ C. D.2
22
11、在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
12、设等差数 列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
， 若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7
a
8
a
9

（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
13、在等差数列
a
n

中，
a
1
a
2
a
3
15,a
n
a
n1
a
n2
78，
S
n
155
，
则
n

。
14、数列

a
n

是等差数列，它的前n
项和可以表示为 （ ）
A.
S
n
An
2
BnC
B.
S
n
An
2
Bn

C. < br>S
n
An
2
BnC

a0

D.
S
n
An
2
Bn

a0










小结
精选范本,供参考！

1、等差中项：若
a,A,b
成等差数 列，则A叫做
a
与
b
的等差中项，且
A
ab

2
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a2d, ad,a,ad,a2d
…（公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a3d,ad,ad,a3d
,…（公差为2
d
）
3、当公差< br>d0
时，等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n 1)ddna
1
d
是关于
n
的一次函数，
且斜率为公 差
d
；若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
， 则为递减等差数列，若
公差
d0
，则为常数列。
4、当
mn pq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a< br>q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a
m
an
2a
p
.
{ka
n
pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、5、若
{a
n
}
、则
{ka
n}
、
{a
pnq
}(p,qN
*
)
、{b
n
}
是等差数列，
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
，…也成等差数列，而
{a
a
n
}
成等比数列；










等差数列参考答案
题型一：计算求值
题号
答案
题号
答案

题型二、等差数列的性质
精选范本,供参考！
1
B
8
2
D
9
3
C
10
4
A
11
5
D
12
6
3n
2

13

7
-49
14
C 153 15 -(5n
2
+n)2 54

1、C 2、D 3、12（a
3
+a
7
-a
10
+a< br>11
-a
4
=8+4=a
7
=12）
4、C 5、C 6、B 7、A 8、C 9、B
10、A
题型三、等差数列前n项和
1、5n(p+q) 2、B 3、C 4、n=10 5、24
6、S
奇
S
偶
=nn-1=43, n=4
7、45 8、D（a
5
b
5
=S
9
T
9
）
题型四：等差数列综合题精选
1、解：（Ⅰ）由
a
n
a
1
(n1)d,a
10
30,a
20
50,
得方程 组

a
1
9d30,


……4分 解得
a
1
12,d2.
所以
a
n
2n10.

a19d50.

1
n(n1)
d,S
n
242
得方程
2
n(n1)

12n2242.
……10分 解得
n11或n22(舍去).

2

a
1
d1
2、解：（Ⅰ）设

a
n

的公差为
d
，由已知条件，得

，

a
1
4d5解出
a
1
3
，
d2
．所以
a
n
a
1
(n1)d2n5
．
n(n1)
（Ⅱ ）
S
n
na
1
dn
2
4n
4 (n2)
2
．
2
所以
n2
时，
S
n
取到最大值
4
．
（Ⅱ）由
S
n
na
1

3、
解：设等差数列

a
n

的公差 为
d
，则
S
n
na
1

1
n

n1

d

2
∵
S
7
7
，
S
15
75
，

a
1
3d1 ,


a7d5 ,

1
S
11
解得
a
1
2
，
d1
。 ∴
n
a
1


n1

d2

n1

，
n22
SS

S

1
1
∵
n1

n

，∴ 数列

n

是等差数列，其首项为
2
，公差为，
2
n1n2

n

∴


7a
1
21d7 ,
即
15a105d75 ,

1
∴
T
n
n
2
n
。

4、解：（ 1）设{a
n
}的公差为d
1
，{b
n
}的公差为d
2
由a
3
=a
1
+2d
1
得
d
1

所以
a
n
28(n1)8n6
，所以a
2
=10, a
1
+a
2
+a
3
=30
1
4
9
4
a
3
a
1
8

2
精选范本,供参考！


b
1
d
2
6

b
1
3

依题意，得
解得

，所以b
n
=3+3(n-1)=3n
43
d3
4bd30

2
12

2

n (b
1
b
n
)
3
2
3
S
nnn.

222
3(m2)
（2）设a
n
=b
m
,则8n-6=3m, 既
n
①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需
8
m+2=8k,
kN

,所以m=8k-2 ，
kN

②
②代入①得，n=3k,
kN

,所以a
3k
=b
8k-2
=24k-6,对一切
kN< br>
都成立。
所以，数列

a
n

与

b
n

有无数个相同的项。
53
令24k-6<10 0,得
k,
又
kN

，所以k=1,2,3,4.即100以内 有4个相同项。
12

5、解：（Ⅰ）由S
14
=98得2a
1
+13d=14, 又 a
11
=a
1
+10d=0，故解得d=－2,a
1
=20 .
因此，{a
n
}的通项公式是a
n
=22－2n,n=1,2,3…

S
14
77,

2a
1
13d1 1,

2a
1
13d11,


（Ⅱ）由< br>
a
11
0,
得

a
1
10d0,
即

2a
1
20d0,


a6

a6

2a12
1

1

1< br>
由①+②得－7d＜11。即d＞－
于是－
111
。由①+③得13 d≤－1 即d≤－
713
111
＜d≤－，又d∈Z, 故d=－1，将④代入①②得10＜a
1
≤12.
713
又a
1
∈Z,故a
1
=11或a
1
=12.
所以，所有可能的数列{a
n
}的通项公式是 a
n
=12-n和a
n
=13-n,n=1,2,3,…

6、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)
＝
ax
2
+bx (a
≠
0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x
－
2,得
a=3 , b=
－
2, 所以 f(x)
＝
3x
2
－
2x.

又因为点
(n,S
n
)(nN)
均在函数
y f(x)
的图像上，所以
S
n
＝3n
2
－
2n.
3n1)2(n1)
＝
6n
－
5. 当n
≥
2时
，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝（
3n
2
－
2n
）－
（
当n
＝
1时，a
1
＝
S
1
＝
3×1
2
－
2
＝
6×1
－
5
，
所以，a
n
＝
6n
－
5
（
nN
）
（Ⅱ）由 （Ⅰ）得知
b
n

故T
n
＝


2

3
3
111
＝＝
()
，
a
n
a
n1
(6n5)

6(n1)5

26n56n1
11111

1
1

(1)() ...()
＝（1－）.

77136n56n1

2
6n1

i1
1
1
m1m
因此，要使
（
1
－）
<
（
nN

）成立的m,必须且仅须 满足
≤
，即m
≥
10，
2
20220
6n1< br>
b
i
＝
n
1
2
所以满足要求的最小正整数 m为10
题型五、精选练习
题号
答案
题号
1
D
8
2
C
9
3
B
10
4
B
11
精选范本,供参考！
5
A
12
6
B
13
7
C
14

答案


B B B A B 10 B
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