等差数列的概念教学设计
如何炖排骨-新课改培训心得体会
6.2.1 等差数列的概念
【教学目标】
1.
理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;掌握等差中项的概念.
2.
逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.
3.
通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗透由特殊到一般的思想.
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式.
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用.
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景,尽可能地增加教学过
程的趣味性、实践
性.在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过
程中研究和领悟得
出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.
【教学过程】
环节 教学内容
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢
师生互动
教师出示引例,并提出问
设计意图
希望学生能通过
对日常生活中的实际
问题的分析对比,建
学生探究、解答.
立等差数列模型,进
行探究、解答问题,
体验数学发现和创造
的过程.
从上例中,我们得到一个数列,每师:请同学们仔细观察,
看看这个数列有什么特点?
学生观察、回答.
教师总结特征:
从第二项起,每一项与它
前面一项的差等于同一个常数
(即等差).
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项
我们给具有这种特征的数
列一个名字——等差数列.
教师板书定义.
师:等差数列的例子,在
生活中有很多,谁能再举几
个?
由特殊到一般,
发挥学生的自主性,
培养学生的归纳能
力.
在学生自主探
究的基础上得出定
义和公式,更有利于
学生理解和运用.
管(参见教材图6-1),共堆放了7层,题.
导
入
试从上到下列出每层钢管的数量.
层钢管数为
新
课
4,5,6,7,8,9,10.
起,每一项与它前一项的差等于同一个
常数,这个数列就叫做等差数列,这个
常数就叫做等差数列的公差(常用字母
“d”表示)
.
1
练习一
抢答:下列数列是否为等差数列?
1,2,4,6,8,10,12,„;
0,1,2,3,4,5,6,„;
3,3,3,3,3,3,3,„;
2,4,7,11,16,„;
-8,-6,-4,0,2,4,„;
3,0,-3,-6,-9,„.
注意:求公差d一定要用后项减前
教师出示题目.
学生思考、抢答.
师:你能说出练习一中,
各等差数列的公差吗?
学生说出各题的公差d.
教师订正并强调求公差应
注意的问题.
引导学生观察、
归纳、猜想,培养学
生合理的推理能力.
学生在
分组合
作探究过程中,可能
会找到多种不同的
解决办法,教师要逐
一点评,并
及时肯
定、赞扬学生善于动
脑、勇于创新的品
质,激发学生的创造
意识.
项,而不能用前项减后项.
2.常数列
特别地,数列
3,3,3,3,3,3,3,„
也是等差数列,它的公差为0.公差为0
的数列叫做常数列.
新
课
3.等差数列的通项公式
首项是a
1
,公差是d的等差数列{a
n
}
师:已知一个等差数列
{a
n
}的首项是a
1
,公差是d,
如何求出它的任意项a
n
呢?
学生分组探究,填空,归
纳总结通项公式
a
2
=a
1
+ d,
a
3
=
+ d = +
d
= a
1
+ d,
a
4
=
+ d = + d
= a
1
+ d,,
„„
a
n
= a
1
+ d.
的通项公式可以表示为
4.通项公式的应用
根据这个通项公式,只要已知首项a
n
=a
1
+(n-1)d.
师:一个等差数列的各项,
已知 和 就可以确定下来?
师:等差数列的通项公式
中共有几个变量?
a
1
和公差d,便可求得等差数列的任意项
a
n
.
事实上,等差数列的通项公式中共
有四个变量,知道其中三个,便可求出
2
第四个.
例1 求等差数列8,5,2,„的通
教师引导学生分析本题,
鼓励学生自主
项公式和第20项.
解 因为a
1
= 8,d = 5-8=-3,所
已知什么?求什么?怎么求?
解答,培养学生运算
学生思考、说出已知、所
求,代入通项公式.
强调:通项公式是用含有
n 的式子表示 a
n
.
学生尝试解答后,师生共
同板书解题过程.
仿照例1,教师引导、点
拨.
学生解答.
多媒体出示解题过程.
学生核对、订正.
教师强调解题过程要规
范、严谨.
学生练习.
请学生在黑板上做题.
教师巡视指导.
师生共同订正.
能力.
通过例题,强化
学生对等差数列通
项公式的理解,强化
学生学以致
用的意
识.
教师出示例题. 由特殊到一般,
以这个数列的通项公式是
a
n
= 8+(n-1)×(-3),
即a
n
= -3n + 11.所以
a
20
= -3×20 + 11 = -49.
例2
等差数列-5,-9,-13,„
的第多少项是-401?
解 因为a
1
= -5,而且
d = -9-(-5)=-4,
a
n
= -401,
所以
新
课
-401= -5+ (n-1)×(-4).
解得 n=100.
即这个数列的第100项是-401.
练习二
(1)求等差数列3,7,11,„的第
4,7,10项.
(2)求等差数列10,8,6,„的第
20项.
以
A-3 = 7-A,2A = 3 + 7.
练习三
在等差数列{a
n
}中:
1
(1)d =- ,a
7
= 8,求a
1
;
3
(2)a
1
=
12,a
6
= 27,求d.
例3
在3与7之间插入一个数A,
使3,A,7成等差数列,求A.
解
因为3,A,7成等差数列,所
学生同桌之间合作探究. 发挥学生的自主性,
学生分析解题思路.
教师出示答案,订正.
师:在a与b 之间插入一
培养学生的归纳能
力.
3
解得A=5.
5.等差中项的定义
个数A,使a,A,b 成等差数
列.你能用a,b 来表示A 吗?
学生探究、回答.
教师订正学生的回答,给
在学生自主探
究的基础上得出定
义和公式,更有利于
学生理解和运用.
引导学生观察、
归纳、猜想,培养学
生合理的推理能力.
一般地,如果a,A,b 成等差数列,出等差中项的定义和公式.
师:你能用文字描述一下
这个式子的含义吗?
师:在等差数列1,3,5,
7,9,11,13,„中,每相邻
的三项,满足等差中项的关系
吗?
学生分组合作探究,得出
结论.
师:能将这个结论推广到
一般的等差数列中吗?
学生继续分组合作探究.
a
2
=
a
1
+ a
3
,
2
学生做练习.
学生回答各题结果,统一
订正答案.
例4 已知一个等差数列的第3项是
5,第8项是20,求它的第25项.
教师出示例题.
学生分组合作探究.
教师总结学生的回答,给
出结论.
那么A 叫做a与b的等差中项.
新
课
6.等差中项公式
如果A
是a与b的等差中项,则
A =
a + b
.
2
这就表明,两个数的等差中项就是
它们的算术平均数.
7.一个结论
在等差数列a
1
,a
2
,a
3,„,a
n
,„
中,
a
2
+
a
4
a
3
= ,
2
„„
a
n
=
a
n
-
1
+
a
n+1
,
2
„„
这就是说,在一个等差数列中,从
第2项起,每一项(有穷等差数列的末
项除外)都是它的前一项与后一项的等
差中项.
练习四
求下列各组数的等差中项:
(1)732与-136;
49
(2) 与42.
2
通过两道直接
套用公式的练习题,
强化学生对中项公
式的掌握.
学生在分组合
作探究过程中,可能
4
新
课
解 因为a
3
= 5,a
8
= 20,根据通项
公式得
教师点拨、引导:
会找到多种不同的
解决办法,教师要逐
a1
+(3-1)d = 5
a
1
+(8-1)d = 20
整理,得
a
1
+2d = 5
a
1
+7d =
20
(1)例题给出了哪些量?一点评,并及时肯
如何用数列符号表示?
(2)例题中的所求量是什
么?需要知道哪些条件?
教师总结学生思路,给出
解题过程.
学生自主练习.
教师巡视指导.
请个别学生在黑板上做题
定、赞扬学生善
于动
脑、勇于创新的品
质,激发学生的创造
意识.
鼓励学生自主
解答,培养学生运算
能力.
教师出示例题.
引导学生将题中的已知和
通过例题
,强化
学生对等差数列通
解此方程组,得a
1
= -1,d = 3.
所以
a
25
= -1+(25-1)×3 = 71.
强调:
已知首项a
1
和公差d,便可
求得等差数列的任意项a
n
.
练习五
(1)已知等差数列{a
n
}中,a
1
= 3,
a
n
= 21,d = 2,求n.
(2)已知等差数列{a
n
}中,a
4
=
10,
后,师生共同订正.
a
5
= 6,求a
8
和d.
例5 梯子的最高一级是33
cm,
最低一级是89 cm,中间还有7级,各级
的宽度成等差数列,求中间各级的宽度.
未知转化为用数列符号表示.
项公式的理解,强化
解 用{a
n
}表示题中的等差数
学生学以致用的意
列.已知a
1
= 33,a
n
=
89,n = 9,
识.
则a
9
= 33+(9-1)d
,即
89 = 33 + 8d,
解得d = 7.
于是
a
2
= 33 + 7 = 40,
a
3
= 40
+ 7 = 47,
a
4
= 47 + 7 = 54,
a
5
= 54 + 7 = 61,
a
6
= 61 + 7 = 68,
a
7
= 68 + 7 = 75,
a
8
= 75
+ 7 = 82.
教师出示解题过程,强调
解题步骤要规范、严谨,叙述
要简明、完整.
学生解答.
教师巡视指导.
5
新
课
即梯子中间各级的宽从上到下依次
是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68
cm,
75 cm,82 cm.
例6
已知一个直角三角形的三条
边的长度成等差数列.求证:它们的比
是3∶4∶5.
证明 设这个直角三角形的三边长
分别为
a-d,a,a+d.
根据勾股定理,得
(a-d)
2
+ a
2
=(a+d)
2
.
解得a = 4d .
于是这个直角三角形的
三边长是
3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边
长的比是3∶4∶5.
1.等差数列的定义及通项公式.
2. 等差中项的定义和公式.
小
结
3.等差数列通项公式和中项公式的
应用.
教师出示例题,提示点拨:
当已知三个数成等差数列时,
可将这三个数表示为
a-d,a,a+d,
在例题的教学
中
,教师要注重引导
学生分析题意,教会
学生思考问题、解决
其中d
是公差.由于这样具有问题的思路与方法;
对称性,运算时往往容易化简.
在解决问题中,将新
学生根据教师的提示,分
组探究.
请学生在黑板上做题.
教师引导学生订正解题过
程,规范解题步骤.
的知识内化到学生
原有的认知结构中
去.
学生阅读课本P9~P12,
畅谈本节课的收获.
教师引导梳理,总结本节
课的知识点和解题方法.
教师鼓励学生
积极回答,
答不完整
没有关系,其它同学
补充.以此培养学生
的口头表达能力,归
纳概括
能力.
作
业
教材P17,习题第1,2,6题. 学生课后完成. 巩固拓展.
6