等差数列的概念教学设计

巡山小妖精
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2020年12月31日 05:35
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2020年12月31日发(作者:徐净武)



6.2.1 等差数列的概念
【教学目标】
1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;掌握等差中项的概念.
2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.
3. 通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗透由特殊到一般的思想.
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式.
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用.
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景,尽可能地增加教学过 程的趣味性、实践
性.在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过 程中研究和领悟得
出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.
【教学过程】
环节 教学内容
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢
师生互动
教师出示引例,并提出问
设计意图
希望学生能通过
对日常生活中的实际
问题的分析对比,建
学生探究、解答. 立等差数列模型,进
行探究、解答问题,
体验数学发现和创造
的过程.
从上例中,我们得到一个数列,每师:请同学们仔细观察,
看看这个数列有什么特点?
学生观察、回答.
教师总结特征:
从第二项起,每一项与它
前面一项的差等于同一个常数
(即等差).
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项
我们给具有这种特征的数
列一个名字——等差数列.
教师板书定义.
师:等差数列的例子,在
生活中有很多,谁能再举几
个?
由特殊到一般,
发挥学生的自主性,
培养学生的归纳能
力.



在学生自主探
究的基础上得出定
义和公式,更有利于
学生理解和运用.


管(参见教材图6-1),共堆放了7层,题.


试从上到下列出每层钢管的数量.


层钢管数为











4,5,6,7,8,9,10.
起,每一项与它前一项的差等于同一个
常数,这个数列就叫做等差数列,这个
常数就叫做等差数列的公差(常用字母
“d”表示) .

1












练习一
抢答:下列数列是否为等差数列?
1,2,4,6,8,10,12,„;
0,1,2,3,4,5,6,„;
3,3,3,3,3,3,3,„;
2,4,7,11,16,„;
-8,-6,-4,0,2,4,„;
3,0,-3,-6,-9,„.
注意:求公差d一定要用后项减前

教师出示题目.
学生思考、抢答.
师:你能说出练习一中,
各等差数列的公差吗?
学生说出各题的公差d.
教师订正并强调求公差应
注意的问题.


























引导学生观察、
归纳、猜想,培养学
生合理的推理能力.
学生在 分组合
作探究过程中,可能
会找到多种不同的
解决办法,教师要逐
一点评,并 及时肯
定、赞扬学生善于动
脑、勇于创新的品
质,激发学生的创造
意识.







项,而不能用前项减后项.





2.常数列
特别地,数列
3,3,3,3,3,3,3,„
也是等差数列,它的公差为0.公差为0
的数列叫做常数列.




3.等差数列的通项公式
首项是a
1
,公差是d的等差数列{a
n
}
师:已知一个等差数列
{a
n
}的首项是a
1
,公差是d,
如何求出它的任意项a
n
呢?
学生分组探究,填空,归
纳总结通项公式
a
2
=a
1
+ d,
a
3
=

+ d = + d
= a
1
+ d,
a
4
=

+ d = + d
= a
1
+ d,,
„„
a
n
= a
1
+ d.
的通项公式可以表示为





















4.通项公式的应用
根据这个通项公式,只要已知首项a
n
=a
1
+(n-1)d.
师:一个等差数列的各项,
已知 和 就可以确定下来?
师:等差数列的通项公式
中共有几个变量?



a
1
和公差d,便可求得等差数列的任意项
a
n

事实上,等差数列的通项公式中共
有四个变量,知道其中三个,便可求出

2



第四个.
例1 求等差数列8,5,2,„的通

教师引导学生分析本题,

鼓励学生自主
项公式和第20项.
解 因为a
1
= 8,d = 5-8=-3,所
已知什么?求什么?怎么求? 解答,培养学生运算
学生思考、说出已知、所
求,代入通项公式.
强调:通项公式是用含有
n 的式子表示 a
n

学生尝试解答后,师生共
同板书解题过程.
仿照例1,教师引导、点
拨.
学生解答.
多媒体出示解题过程.
学生核对、订正.

教师强调解题过程要规
范、严谨.


学生练习.
请学生在黑板上做题.

教师巡视指导.
师生共同订正.

能力.









通过例题,强化
学生对等差数列通
项公式的理解,强化
学生学以致 用的意
识.













教师出示例题. 由特殊到一般,
以这个数列的通项公式是
a
n
= 8+(n-1)×(-3),
即a
n
= -3n + 11.所以



a
20
= -3×20 + 11 = -49.

例2 等差数列-5,-9,-13,„
的第多少项是-401?



解 因为a
1
= -5,而且
d = -9-(-5)=-4,
a
n
= -401,
所以






-401= -5+ (n-1)×(-4).
解得 n=100.
即这个数列的第100项是-401.

练习二
(1)求等差数列3,7,11,„的第
4,7,10项.
(2)求等差数列10,8,6,„的第
20项.













A-3 = 7-A,2A = 3 + 7.

练习三
在等差数列{a
n
}中:
1
(1)d =- ,a
7
= 8,求a
1

3
(2)a
1
= 12,a
6
= 27,求d.

例3 在3与7之间插入一个数A,
使3,A,7成等差数列,求A.
解 因为3,A,7成等差数列,所






学生同桌之间合作探究. 发挥学生的自主性,
学生分析解题思路.
教师出示答案,订正.
师:在a与b 之间插入一
培养学生的归纳能
力.


3








解得A=5.


5.等差中项的定义
个数A,使a,A,b 成等差数
列.你能用a,b 来表示A 吗?
学生探究、回答.
教师订正学生的回答,给



在学生自主探
究的基础上得出定
义和公式,更有利于
学生理解和运用.




引导学生观察、
归纳、猜想,培养学
生合理的推理能力.














一般地,如果a,A,b 成等差数列,出等差中项的定义和公式.
师:你能用文字描述一下
这个式子的含义吗?
师:在等差数列1,3,5,
7,9,11,13,„中,每相邻
的三项,满足等差中项的关系
吗?
学生分组合作探究,得出
结论.

师:能将这个结论推广到
一般的等差数列中吗?
学生继续分组合作探究.
a
2
=
a
1
+ a
3

2









学生做练习.
学生回答各题结果,统一
订正答案.



例4 已知一个等差数列的第3项是
5,第8项是20,求它的第25项.
教师出示例题.
学生分组合作探究.
教师总结学生的回答,给
出结论.
那么A 叫做a与b的等差中项.































6.等差中项公式
如果A 是a与b的等差中项,则
A =
a + b

2
这就表明,两个数的等差中项就是
它们的算术平均数.

7.一个结论
在等差数列a
1
,a
2
,a
3,„,a
n
,„
中,
a
2
+ a
4
a
3
= ,
2
„„

a
n
=
a
n

1
+ a
n+1

2
„„
这就是说,在一个等差数列中,从
第2项起,每一项(有穷等差数列的末
项除外)都是它的前一项与后一项的等
差中项.

练习四
求下列各组数的等差中项:
(1)732与-136;
49
(2) 与42.
2

通过两道直接
套用公式的练习题,
强化学生对中项公
式的掌握.


学生在分组合
作探究过程中,可能

4







































解 因为a
3
= 5,a
8
= 20,根据通项
公式得

教师点拨、引导:
会找到多种不同的
解决办法,教师要逐

a1
+(3-1)d = 5



a
1
+(8-1)d = 20
整理,得


a
1
+2d = 5




a
1
+7d = 20
(1)例题给出了哪些量?一点评,并及时肯
如何用数列符号表示?
(2)例题中的所求量是什
么?需要知道哪些条件?

教师总结学生思路,给出
解题过程.





学生自主练习.
教师巡视指导.
请个别学生在黑板上做题
定、赞扬学生善 于动
脑、勇于创新的品
质,激发学生的创造
意识.







鼓励学生自主
解答,培养学生运算
能力.



教师出示例题.
引导学生将题中的已知和
通过例题 ,强化
学生对等差数列通
解此方程组,得a
1
= -1,d = 3.
所以
a
25
= -1+(25-1)×3 = 71.
强调: 已知首项a
1
和公差d,便可
求得等差数列的任意项a
n


练习五
(1)已知等差数列{a
n
}中,a
1
= 3,
a
n
= 21,d = 2,求n.
(2)已知等差数列{a
n
}中,a
4
= 10,
后,师生共同订正.
a
5
= 6,求a
8
和d.


例5 梯子的最高一级是33 cm,
最低一级是89 cm,中间还有7级,各级

的宽度成等差数列,求中间各级的宽度.
未知转化为用数列符号表示. 项公式的理解,强化
解 用{a
n
}表示题中的等差数

学生学以致用的意
列.已知a
1
= 33,a
n
= 89,n = 9,

识.
则a
9
= 33+(9-1)d ,即
89 = 33 + 8d,
解得d = 7.
于是
a
2
= 33 + 7 = 40,
a
3
= 40 + 7 = 47,
a
4
= 47 + 7 = 54,
a
5
= 54 + 7 = 61,
a
6
= 61 + 7 = 68,
a
7
= 68 + 7 = 75,
a
8
= 75 + 7 = 82.




教师出示解题过程,强调
解题步骤要规范、严谨,叙述
要简明、完整.


学生解答.
教师巡视指导.












5


















即梯子中间各级的宽从上到下依次
是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,
75 cm,82 cm.

例6 已知一个直角三角形的三条
边的长度成等差数列.求证:它们的比
是3∶4∶5.
证明 设这个直角三角形的三边长
分别为
a-d,a,a+d.
根据勾股定理,得
(a-d)
2
+ a
2
=(a+d)
2

解得a = 4d .
于是这个直角三角形的 三边长是
3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边
长的比是3∶4∶5.
1.等差数列的定义及通项公式.
2. 等差中项的定义和公式.


3.等差数列通项公式和中项公式的
应用.




教师出示例题,提示点拨:
当已知三个数成等差数列时,
可将这三个数表示为
a-d,a,a+d,




在例题的教学
中 ,教师要注重引导
学生分析题意,教会
学生思考问题、解决
其中d 是公差.由于这样具有问题的思路与方法;
对称性,运算时往往容易化简. 在解决问题中,将新
学生根据教师的提示,分
组探究.
请学生在黑板上做题.
教师引导学生订正解题过
程,规范解题步骤.
的知识内化到学生
原有的认知结构中
去.

学生阅读课本P9~P12,
畅谈本节课的收获.
教师引导梳理,总结本节
课的知识点和解题方法.
教师鼓励学生
积极回答, 答不完整
没有关系,其它同学
补充.以此培养学生
的口头表达能力,归
纳概括 能力.


教材P17,习题第1,2,6题. 学生课后完成. 巩固拓展.


6

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