等差数列专题复习
唱歌跑调是种病-长相思第三部
戴氏教育簇桥校区 等差数列
授课老师:唐老师
等差数列
知识梳理
1.定义:
a
n
a
n1
d
(
d
为常数)(
n2
);
2.等差数列通项公式:
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN
*
)
,
首项:
a
1
,公差:d,末项:
a
n
a
n
a
m
nm
推广:
a
n
a
m
(nm)d
.
从而
d
3.等差中项
;
(1)如果
a
,
A<
br>,
b
成等差数列,那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项.即:
A
ab
2
或
2Aab
(2)等差中项:数列
a
n
是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2
4.等差数列的前n项和公式:
s<
br>n
n(a
1
a
n
)
2
na<
br>1
n(n1)
2
d
d
2
n(a1
2
1
2
d)n
AnBn
2
(其中A、B是常数)
(当d≠0时,S
n
是关于n的二次式且常数项为0)
5.等差数列的判定方法
(1)定义法:若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)<
br>
a
n
是等差数列.
(2)等差
中项:数列
a
n
是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2
.
(3)数列
a
n
是等差数列
a
n
knb
(其中
k,b是常数)。
2
(4)数列
a
n
是等差数
列
S
n
AnBn
,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常
数
nN
)
a
n
是等差数列.
7.提醒:(1)等差数列的通项
公式及前
n
和公式中,涉及到5个元素:
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
,
其中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其
余2个,即知3
求2。
(2)通常把题中条件转化成只含
a
1
和
d
的等式!
1
戴氏教育簇桥校区 等差数列
授课老师:唐老师
8.等差数列的性质:
(1)若公差
d0
,则为递增
等差数列,若公差
d0
,则为递减等差数列,若公差
d0
,则为
常数列。
(2)当
mnpq
时,则有
a
m
an
a
p
a
q
,特别地,当
mn2p
时
,则有
a
m
a
n
2a
p
.
(3)
若{
a
n
}是等差数列,则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
,„也成等差数列
(公差为
md
)
3m
a
1
a
2
a
3
am
a
m1
a
2m
a
2m
1
a
3m
图示:
S
S
m
S
2m
S
m
S
3m
S
2m
(4)若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
,且
则
a
n
b
n
(2n1)a
n
(2n1)b
n
A
2n
1
B
2n1
f(2n1)
.
A
n
B
n
f(n)
,
(5)若
a
n
、
b
n
为等差数列,则<
br>
a
n
b
n
为等差数列
(6)求
S
n
的最值
法一:直接利用二次函数的对称性:由于等差
数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数,故
n
取
离二次函数对称轴
最近的整数时,
S
n
取最大值(或最小值)。若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n
法二:①“首正”的递减等差数列中,前<
br>n
项和的最大值是所有非负项之和
a
n
0
即当
a
1
0,d0,
由
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a0
n1
pq
2
②“首负”的递增等差数列中,前
n
项和的最小值是所有非正项之和。
a
n
0
即
当
a
1
0,d0,
由
可得
S
n
达到最小值时的
n
值.
a
n1
0
或求
a
n
中正
负分界项
(7)设数列
a
n
是等差数列,
S
奇
是奇数项的和,
S
偶
是偶数项的和,
S
n
是前n项的和,则:
1.当项数为偶数
2n
时,
S
偶
S
奇
nd
,其中n为总项数的一半,d为公差;
2、在等差数列
a
n
中,若共有奇数项
2n1
项,则
S
奇
(n1)a
n1
S
奇
n1
S
2n1
S
奇
S
偶
(2
n1)a
n1
Sn
a
SSa
Sn
n1
偶
n1
奇偶
偶
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本
量法:即运用条件转化为关于
a
1
和
d(q)
的方程;
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
2
戴氏教育簇桥校区 等差数列
授课老师:唐老师
等差数列练习题
一、选择题
1.已知为等差数列,
a
1
a
3
a
5
105,a
2
a4
a
6
99
,则
a
20
等于( )
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
2.设
S
n
是等差数列
a
n
的前n项
和,已知
a
2
3
,
a
6
11
,则S
7
等于( )
A.13 B.35
C.49 D. 63
3.等差数
列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,且
S3
=6,
a
1
=4, 则公差d等于
A.1
B
5
C.- 2 D 3
3
4.已知
a
n
为等差
数列,且
a
7
-2
a
4
=-1,
a
3
=0,则公差d=
A.-2
B.-
1
C.
1
D.2
22
5.若等差数列
{a
n
}
的前5
项和
S
5
25
,且
a
2
3
,则
a
7
( )
A.12 B.13
C.14 D.15
6.在等差数列
a
n
中,
a
2
a
8
4
,则
其前9项的和S
9
等于 ( )
A.18 B
27 C 36 D 9
3
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授课老师:唐老师
7.已知
{a
n
}
是等差数列,
a1
a
2
4
,
a
7
a
8
28
,则该数列前10项和
S
10
等于( )
A.64
B.100 C.110 D.120
8.
记等差数列
{a
1
n
}
的前
n
项和为
S<
br>n
,若
a
1
2
,
S
4
20
,则
S
6
( )
A.16
B.24 C.36 D.48
9.等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
x
若
a
2
1,a
3
3,则S
4
=
( )
A.12 B.10
C.8 D.6
10.设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,若
S
3<
br>9
,
S
6
36
,则
a
7
a<
br>8
a
9
(
A.63
B.45 C.36 D.27
11.已知
等差数列
{a
n
}
中,
a
7
a
9
16,a
4
1,则a
12
的值是 ( )
A.15
B.30 C.31 D.64
12.等差数列{a
n
}的前
m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(
A.130 B.170
C.210 D.260
)
)
4
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等差数列 授课老师:唐老师
二、填空题
13.已知
{a
n
}
是等差数列,且
a
4
a
7
a
10
57,a
4
a
5
a
6
a
14
77,若a
k
13,
则
k=
.
14.已知等差数列
a
n
的
前
n
项和为
S
n
,若
S
12
21
,则
a
2
a
5
a
8
a
11
15. 设等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,若
S
9
72
,则
a
2
a
4
a
9
=
16.设等差数列
a
n
的前n
项和为
S
n
,若
a
5
5a
3则
S
9
S
5
.
17.等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,且
6S
5
5S
35,
则
a
4
18.已知等差数列
{a
n
}
的公差是正整数,且a3
a
7
12,a
4
a
6
4
,则前10项的和S
10
=
S
n<
br>T
n
3n1
4n3
19.设{
a
n
}与
{
b
n
}是两个等差数列,它们的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
,若
,那么
a
n
b
n
___________;
5
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授课老师:唐老师
20.
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项和,
a
5
2,a
n4
30
(n≥
5,
nN
*
),
S
n
=336,则n的值
是
.
三、解答题
21.在等差数列
a<
br>n
中,
a
4
0.8
,
a
11<
br>2.2
,求
a
51
a
52
a
80
.
22.设等差数列
a
n
的前
n项和为
S
n
,已知
a
3
12
,
S<
br>12
>
0
,
S
13
<
0
,
①求公差
d
的取值范围;②
S
1
,S
2
,,S
12
中哪一个值最大?并说明理由.
6
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23.己知
{a
n}
为等差数列,
a2,a3
,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列
的数构
12
成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?
(2)新数列的第29项是原数列的第几项?
24.设等差数列
{a
n
}
的前n项的和为S
n
,且S
4
=-62, S
6
=-75,求:
(1)
{a
n
}
的通项公式a
n
及前n项的和S
n
;
(2)|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+„„+|a
14
|.
7
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25.已知等差数列{
a
n
}中,
a
3
a
7
16,a
4
a
6
0,
求{
a
n
}前n项和
s
n
.
26.数列
a
n
<
br>是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。
(1)求数列公差
;(2)求前
n
项和
s
n
的最大值;(3)当
s
n
0
时,求
n
的最大值。
8