等差数列专题复习

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2020年12月31日 05:35
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2020年12月31日发(作者:蓝仁)


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
等差数列
知识梳理
1.定义:
a
n
a
n1
d

d
为常数)(
n2
);
2.等差数列通项公式:

a
n
a
1
 (n1)ddna
1
d(nN
*
)
, 首项:
a
1
,公差:d,末项:
a
n

a
n
a
m
nm
推广:
a
n
a
m
(nm)d
. 从而
d
3.等差中项

(1)如果
a

A< br>,
b
成等差数列,那么
A
叫做
a

b
的等差中项.即:
A
ab
2

2Aab

(2)等差中项:数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2

4.等差数列的前n项和公式:
s< br>n

n(a
1
a
n
)
2
na< br>1

n(n1)
2
d
d
2
n(a1

2
1
2
d)n
AnBn

2
(其中A、B是常数) (当d≠0时,S
n
是关于n的二次式且常数项为0)
5.等差数列的判定方法

(1)定义法:若
a
n
a
n1
d

a
n1
a
n
d
(常数
nN
)< br>


a
n

是等差数列.
(2)等差 中项:数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2

(3)数列

a
n

是等差数列

a
n
knb
(其中
k,b是常数)。
2
(4)数列

a
n

是等差数 列

S
n
AnBn
,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法

定义法:若
a
n
a
n1
d

a
n1
a
n
d
(常 数
nN
)



a
n

是等差数列.
7.提醒:(1)等差数列的通项 公式及前
n
和公式中,涉及到5个元素:
a
1

d

n

a
n

S
n

其中
a
1

d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其 余2个,即知3
求2。
(2)通常把题中条件转化成只含
a
1

d
的等式!
1


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
8.等差数列的性质:
(1)若公差
d0
,则为递增 等差数列,若公差
d0
,则为递减等差数列,若公差
d0
,则为
常数列。
(2)当
mnpq
时,则有
a
m
an
a
p
a
q
,特别地,当
mn2p
时 ,则有
a
m
a
n
2a
p
.
(3) 若{
a
n
}是等差数列,则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
,„也成等差数列 (公差为
md

3m

a
1
a
2
a
3


am
a
m1


a
2m
a
2m 1


a
3m
图示:
 
S

S
m
S
2m
S
m
S
3m
S
2m
(4)若等差数列
{a
n
}

{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n

B
n
,且

a
n
b
n

(2n1)a
n
(2n1)b
n

A
2n 1
B
2n1
f(2n1)
.
A
n
B
n
f(n)

(5)若
a
n



b
n

为等差数列,则< br>
a
n
b
n

为等差数列
(6)求
S
n
的最值
法一:直接利用二次函数的对称性:由于等差 数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数,故
n

离二次函数对称轴 最近的整数时,
S
n
取最大值(或最小值)。若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n
法二:①“首正”的递减等差数列中,前< br>n
项和的最大值是所有非负项之和

a
n
0
即当
a
1
0,d0,


可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a0

n1
pq
2

②“首负”的递增等差数列中,前
n
项和的最小值是所有非正项之和。

a
n
0
即 当
a
1
0,d0,


可得
S
n
达到最小值时的
n
值.

a
n1
0
或求

a
n

中正 负分界项
(7)设数列

a
n

是等差数列,
S

是奇数项的和,
S

是偶数项的和,
S
n
是前n项的和,则:
1.当项数为偶数
2n
时,
S

 S


nd
,其中n为总项数的一半,d为公差;
2、在等差数列

a
n

中,若共有奇数项
2n1
项,则

S

(n1)a
n1
S

n1

S
2n1
S

S

(2 n1)a
n1






Sn a
SSa
Sn
n1


n1
奇偶




注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本 量法:即运用条件转化为关于
a
1

d(q)
的方程;
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
2


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
等差数列练习题
一、选择题
1.已知为等差数列,
a
1
a
3
a
5
105,a
2
a4
a
6
99
,则
a
20
等于( )
A. -1 B. 1 C. 3 D.7

2.设
S
n
是等差数列

a
n

的前n项 和,已知
a
2
3

a
6
11
,则S
7
等于( )
A.13 B.35 C.49 D. 63


3.等差数 列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,且
S3
=6,
a
1
=4, 则公差d等于
A.1 B
5
C.- 2 D 3
3


4.已知

a
n

为等差 数列,且
a
7
-2
a
4
=-1,
a
3
=0,则公差d=
A.-2 B.-
1
C.
1
D.2
22


5.若等差数列
{a
n
}
的前5 项和
S
5
25
,且
a
2
3
,则
a
7

( )
A.12 B.13 C.14 D.15


6.在等差数列

a
n

中,
a
2
a
8
4
,则 其前9项的和S
9
等于 ( )
A.18 B 27 C 36 D 9
3


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
7.已知
{a
n
}
是等差数列,
a1
a
2
4

a
7
a
8
28
,则该数列前10项和
S
10
等于( )
A.64 B.100 C.110 D.120


8. 记等差数列
{a
1
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
,若
a
1

2

S
4
 20
,则
S
6

( )
A.16 B.24 C.36 D.48



9.等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
x

a
2
1,a
3
3,则S
4

( )
A.12 B.10 C.8 D.6


10.设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,若
S
3< br>9

S
6
36
,则
a
7
a< br>8
a
9


A.63 B.45 C.36 D.27


11.已知 等差数列
{a
n
}
中,
a
7
a
9
16,a
4
1,则a
12
的值是 ( )
A.15 B.30 C.31 D.64


12.等差数列{a
n
}的前 m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(
A.130 B.170 C.210 D.260





4


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
二、填空题
13.已知
{a
n
}
是等差数列,且
a
4
a
7
 a
10
57,a
4
a
5
a
6
 a
14
77,若a
k
13,

k= .


14.已知等差数列

a
n

的 前
n
项和为
S
n
,若
S
12
21
,则
a
2
a
5
a
8
a
11




15. 设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
,若
S
9
 72
,则
a
2
a
4
a
9
=


16.设等差数列

a
n

的前n
项和为
S
n
,若
a
5
5a
3
S
9
S
5





17.等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
,且
6S
5
5S
35,

a
4




18.已知等差数列
{a
n
}
的公差是正整数,且a3
a
7
12,a
4
a
6
4
,则前10项的和S
10
=


S
n< br>T
n
3n1
4n3
19.设{
a
n
}与 {
b
n
}是两个等差数列,它们的前
n
项和分别为
S
n

T
n
,若

,那么
a
n
b
n

___________;

5


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
20.
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项和,
a
5
2,a
n4
30
(n≥ 5,
nN
*
),
S
n
=336,则n的值
是 .



三、解答题
21.在等差数列

a< br>n

中,
a
4
0.8

a
11< br>2.2
,求
a
51
a
52
a
80
.










22.设等差数列

a
n

的前
n项和为
S
n
,已知
a
3
12

S< br>12
>
0

S
13
<
0

①求公差
d
的取值范围;②
S
1
,S
2
,,S
12
中哪一个值最大?并说明理由.









6


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
23.己知
{a
n}
为等差数列,
a2,a3
,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列 的数构
12
成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?
(2)新数列的第29项是原数列的第几项?












24.设等差数列
{a
n
}
的前n项的和为S
n
,且S
4
=-62, S
6
=-75,求:
(1)
{a
n
}
的通项公式a
n
及前n项的和S
n

(2)|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+„„+|a
14
|.











7


戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
25.已知等差数列{
a
n
}中,
a
3
a
7
16,a
4
a
6
0,
求{
a
n
}前n项和
s
n
.












26.数列

a
n
< br>是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。
(1)求数列公差 ;(2)求前
n
项和
s
n
的最大值;(3)当
s
n
0
时,求
n
的最大值。








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