康顿庄园-千人糕

等差数列
导引：
若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项 ,其中第一项称为首项,最后一项称为末
项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的 前项之差都相等的数列称为等差数列,后
项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、 9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:
通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2
在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式< br>求和。
例题1
有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项



练习：
1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。



2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?



3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

例题2
有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？




练习：
1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。



2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。


3、
一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?

例题3
计算2+4+6+8+…+1990的和。





练习：
1、 计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。




2、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和


例题4

计算（1+3+5+…+l99l)-（2+4+6+…+1990）





练习：
1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)



2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)



3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998 +1996+1994)。


例题5
已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。





练习：
1、 有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。



3、
在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?


例题6
小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看 了78页正好看完。这本
书共有多少页？



练习：
1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？



2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这
批零件共有多少个？



例题7
建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

练习：
1 、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70
根。一共有多少根圆 木？





2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三 角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,
如果这个大的等边三角形的底边能放 10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?







3、
用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10 层,那么最下面有多少个小立方体?







例题8
有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?

练习：
1、
有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?





2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使 每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞
乱了?



3 、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?


例题9

四（1）班4 5位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，
同学们共握了多少次 手？



练习：
1、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他 所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少
场比赛？




2、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握 一次手。那么

一共握了多少次手？




3、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一 次，问参加聚
会的共有多少人？



作业（一）
1. 把一堆苹果分给8个朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的
话,这堆苹果至 少应该有几个?




2. 图中是一个堆放铅笔的
V
形架,如果最上面一层放60支铅笔.问一共有多少支铅笔?







3. 全部两位数的和是多少?




4.下面的算式是按一定规律排列的,那么第100个算式的得数是多少?

4+3,5+6,6+9,7+12,…



5. 若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果共有304人,最外圈有
几人?




6. 在1~100这一百个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?




7. 在2949,2950,2951,…2997,2998这五十个自然数中,所有偶 数之和比所有奇数之和多多
少?



8. 求一切除以4后余1的两位数的和?




9. 一个剧场设置 了20排座位,第一排有38个座位,往后每一排都比前一排多2个座位.这
个剧场一共设置了多少个座 位?

10. 小明和小刚赛跑 ,限定时间为10秒,谁跑的距离长谁胜.小刚第一秒跑了1米,以后每秒
都比前面一秒多跑0.1米; 小明从始至终每秒都跑1.5米.问两人谁能取胜?




11. 若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子
没有装棋子.然后他外出了,小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内,再把
盒子重新排 列了一下.小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子.问共
有多少个盒子?




12. 小刚计算从1开始若干个连续自然数的和,结果误 把1当成10来算,得错误结果恰为100.
你能帮助小刚纠正错误吗?小刚算的是哪些自然数的和?




13. 有10只盒子,44只乒乓球,能不能把44只乒乓球放到盒子中去,使各盒子里的乒乓球数
不相等?




14. 一个正三角形
ABC
,每边长1 米,在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点,然后从这些点
出发作两条直线,分别和其他两边平行(如图 ).这些平行线相截在三角形
ABC
中得到许多边
长为2厘米的正三角形.求边长为2 厘米的正三角形的个数.

作业（二）
1. 求193+187+181+…+103的值.




2. 某 市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2
人;第三名并列 3人;……;第十五名并列15人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?




3. 全部三位数的和是多少?




4. 在1949,1950,1951,…1997,1998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多
少?



5. 某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座 位,最后一排有70个座位.这个剧院一共
有多少个座位?

6. 小明从一月一日开始写大字,第一天写了4个, 以后每天比前一天多写相同数量的大字,
结果全月共写589个大字,小明每天比前一天多写几个大字?




7. 九个连续偶数的和比其中最小的数多232,这九个数中最大的数是多少?




8. 39个连续奇数的和是1989,其中最大的一个奇数是多少?





9. 在1~200这二百个数中能被9整除的数的和是多少?





10. 在1~100这一百个自然数中所有不能被9整除的奇数的和是多少?

11.若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4 人.如果最内圈有32人,共有
多少?




12. 有一列数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,…,从第三个数起,每一个数都是它前面两 个
数中大数减小数的差,求从第一个起到1993个数这1993个数之和.




13. 学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场,一共 进行了78场比
赛,有多少人参加了选拔赛?





14. 跳棋棋盘上一共有多少个棋孔?








拓展：
1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61

2
3
4
5
8
9
14 20 26 32 38 44 50 56 62
15 21 27 33 39 45 51 57 63
10 16 22 28 34 40 46 52 58 64
11 17 23 29 35 41 47 53 59 65
图1-1




2、计算：1000+999-998-997 +996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-10 1。





3、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。




4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6
计算：15×15+16×16+……+21×21。




5、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。

6、计算：3333×5555+6×4444×2222。




7、计算：19931993×1993-19931992×1992-19931992。




8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?





9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。 已知自然数1111155555是两个连续奇数的
乘积，那么这两个奇数的和是多少？





10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。





11、计算：1×1+2×1×2+3×1×2 ×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4

×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。




12、在两个数之间写上一个▽，用所连成的字串表示用前 面的数除以后面的数所得的余数，
例如： 13▽5=3，6▽2=0．试计算：（2000▽49）▽9．





13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊< br>△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，
狼 与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所
以我们规定另一种 运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。
这个运算的意思是：羊与羊 在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当
狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊 了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合
运算。混合运算的法则是从左到右，括号内先算，运算结果 或是羊，或是狼。求下式的结
果： 羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。





14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数 字相乘，得到100个乘积（例
如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就 算作积，例如与100相
应的积为1）。问：这100个乘积之和为多少?

15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？