等差数列性质
dota2攻略-小学见习总结
等差数列性质
§ 等差数列
一.课程目标
1.理解等差数列的概念;
2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式;
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解
决相应的问题;
4.了解等差数列与一次函数的关系.
二.知识梳理
1.定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个
数列就叫做
等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.
数学语言表达式:a n
+1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n
≥2,d 为常数).
2.通项公式
若等差数列{a n }的首项是a
1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .
3.前n 项和公式
等差数列的前n 项和公式:2
2
111)
()
(n n a a n d n n na S +=
-+=其中n ∈N *,a
1为首项,
d 为公差,a n 为第n 项).
3.等差数列的常用性质
已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.
(1)通项公式的推
广:*),()(N m n d m n a a m n ∈-+=
(2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有q p n m a a a a
+=+。特别的,
当p n m 2=+时,p n m a a a 2=+
(3)等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n
}是
递减数列;当d =0时,{a n }是常数列.
(4)若{a
n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N
*)是
公差为md 的等差数列.
(5)若}{},{n n b a
是等差数列,则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各
项和相关的性质
(1)若}{n a 是等差数列,则}{n
S n 也是等差数列,
其首项与}{n a 的首项相同,公差为}{n a 的公差的
2
1。
(2)数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列.
(3)关于非零等差数列
奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2,则1
+=
=-n n a a S S nd S S 偶
奇奇偶,
。
b .若项数为12-n ,则n a n n S )(1-=偶,n na S =奇,1
+=
=-n n S S a S S n 偶
奇奇偶,
。
(4)若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S
,,则1
212--=
n n n
n T S b a
5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系: (1)n d a n d S )(2
2
12
-
+=
,数列{a n }是等差数列?
S n =An 2
+Bn (A ,B 为常数).
(2)在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若
a 1<0,d
>0,则S n 存在最小值.
三.考点梳理
1.等差数列的概念及运算
例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项
的和为27,a 10=8,则a
100=( )
例2.设等差数列{a n
}的前n 项和为S n ,S 3=6,S 4=12,则S 6=________.
练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n
项和.若S 8=4S 4,则a 10等于( )
2.等差数列的性质
例1.(2015·全国Ⅱ卷)设S n 是等差数列{a
n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,
则S 5=( )
例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S
3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a
9等于( )
例3.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的
和为390,则这个数列的项数为( )
例4.(2015·广东卷)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a
7=25,则
a 2+a 8=________.
例5.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 7=-8,a
2=2,则数列{a
n }的公差d 等于( )
例6.设等差数列{a n },{b n }的前n
项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数
n 都有S n T n =2n -34n
-3,则
a 9
b 5+b 7+a 3
b 8+b
4的值为________.
3.等差数列与函数
例1.等差数列{a n
}的前n 项和为S n ,已知a 1=13,S 3=S 11,当S n 最大
时,n 的值是(
)
例2.设等差数列{a n }的前n
项和为S n ,a 1>0且a 6a 5=9
11,则当S n 取最大值时,n 的值为(
)
例3.已知等差数列{a
n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( )
1+a 101>0
2+a 100<0
3+a 99=0
51=51
例4.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 12=24,则a 6·a
7的最
大值为( )
例5.设{n S
}是公差为d (0≠d )的无穷等差数列}{n a 的前n 项和,则下列
命题错误的是(
) A.若d<0,则数列{n S }有最大项 B.若数列{n S }有最大项,则d<0
C.若数列{n S }为递增数列,则对任意*N n ∈,均有n S >0
D.若对任意*N n ∈,均有n S >0,则数列{n S }为递增数列
例6.设等差数列{a n }满足a 2=7,a 4=3,S n 是数列{a n }的前n
项和,则
使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )
A .9
B .10
C .11
D .12
方法总结:求等差数列前n
项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性,
求出其正负转折项;
(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;
(3)将等差数列的前n 项和S n
=An 2+Bn (A ,B 为常数)看作二次函数,根据二
次函数的性质求最值.
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