重装系统后没有声音-聚焦中国物流顽症

数列
A、等差数列知识点及例题
一、数列
由
a
n
与
S
n
的关系求
a
n

由
S< br>n
求
a
n
时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可 否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的
形式表示为
a
n


(n1)

S
1
。

S
n
S
n1
(n2)
〖例〗根据下列条件，确定数列

a
n

的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解；
（2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用
a
n
与
S
n
的关系求解。
解答：（1）


（2）
……累乘可得，故
（3）


二、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，
a
n
 a
n1
d(常数)(n2)
，第二种是利用等差中项，即
2a
n
a
n1
a
n1
(n2)
。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{
a
n
}的通项公式为n的一次函数，即
a
n
=An+B,则{a
n
}是等差数列；
2
（2）前n项和法：若数列{
a
n
}的前n项和
S
n
是
S
n
AnBn
的形式（A，B是常数），则{
a
n
}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{
a
n
}的前n项和为
S
n
，且满足< br>S
n
S
n1
2S
n
gS
n1
0(n2),a
1

（1）求证：{
1

2
1
}是等差数列；
S
n
（2）求
a
n
的表达式。
分析：（1）S
n
S
n1
2S
n
gS
n1
0

11
与的关系

结论；
S
n1
S
n
（2）由
1
的关系式

S
n
的关系式

a
n

S
n
解答：（1）等式两边同除以
S
n
g
S
n1
得
以2为公差的等差数列。
（ 2）由（1）知
1111111
-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，
S
n1
S
n
S
1
a
1
S
n
S
n1
S
n
1
11
1
=+（n-1 ）d=2+(n-1)×2=2n,∴
S
n
=,当n≥2时，
a
n< br>=2
S
n
·
S
n1
=。又∵
S
n
S
1
2n(n1)
2n

1

1

2
a
1

，不适合上式，故
a
n
< br>
1
2



2n(n1)
n
1
(n1)
。
(n2)
2
【例】
已知数列{
a
}的各项均为正数，
a
＝1.其前
n
项和
S
满足2
S
＝2
pa
＋
a
－
p
(
p
∈R)，则{
a
}的通项公式为________．
nnnnn
∵
a
1
＝1，∴2
a
1
＝2
pa
1
＋a
1
－
p
，
即2＝2
p
＋1－
p
，得
p
＝1.
于是 2
S
n
＝2
a
n
＋
a
n
－1.
当
n
≥2时，有2
S
n
－1
＝2
a
n
－1
＋
a
n
－1
－1，两式相减，得2
an
＝2
a
n
－2
a
n
－1
＋
a
n
－
a
n
－1
，整理，得2(
a
n＋
a
n
－1
)·(
a
n
－
a
n
－1
－
1
)＝0.
2
11
n
＋1又∵
a
n
>0，∴
a
n
－
a
n
－1
＝，于是{
a
n
}是等差数列，故
a
n
＝1 ＋(
n
－1)·＝.
222

（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式
a
n
=
a
1
+（n-1）d及前 n项和公式
S
n

222
2
2
n(a
1< br>a
n
)
n(n1)
共涉及五个量
a
1
，
na
1
d
，
22
a
n
，d,n,
S
n
,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式 和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而
a
1
和d是等差数列的两个基本量，用 它们
表示已知和未知是常用方法。
注：因为
S
n
d
Sdd
na
1
a
1
(n1)
，故数列{n
}是等差数列。
n222n

n
〖例〗已知数列{< br>x
n
}的首项
x
1
=3，通项
x
n
2pnq(nN,p,q为常数)
，且
x
1
，
x
4< br>，
x
5
成等差数列。求：
（1）
p,q
的值；
（2）数列{
x
n
}的前n项和
S
n
的公式。 < br>分析：（1）由
x
1
=3与
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列列出方程组即可求出
p,q
；（2） 通过
x
n
利用条件分成两个可求
和的数列分别求和。
解答：（1） 由
x
1
=3得
2pq3
……………………………………① 55
45
又
x
4
2p4q,x
5
2p 5q,且x
1
x
5
2x
4
，得
32p5q 2p8q
…………………②
由①②联立得
p1,q1
。
nn
（2）由（1）得
x
n
2
，

（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：
已知数列{
a
n
}是等差数列，S
n
是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则
a
m
a
n
a
p
a
q
,特别：若m+n=2p，则
a
m
a
n
2a
p
。
（2）
am
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,< br>L
仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列
S
m
,S
2m
-S
m
,S
3m
-S
2m
,L
也是 等差数列；
（4）
S
n1
(2n1)a
n
；
（5）若n为偶数，则
S
偶
S
奇

n
（中间项）
；
d
；若n为奇数，则
S
偶
S
奇
a
中
2
（6）数列
{
cga
n
}
,
{
c+a
n
}
,
{
pa
n
+qb
n
}
也是等差数列，其中
c、p、q
均为常数，是
{
b
n}
等差数列。
典型例题
1．等差数列中, 若，则＝_____225___；
2.（厦门）在等差数列中， ,则 其前9项的和S
9
等于 （ A ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 24
4、等差数列{a
n
} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )

(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和 分别为
A
和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6、在数列{
a
n
}中，若
a
1
＝1，
a
n
＋1
＝2
a
n
＋3(
n
≥1)，则该数列的通项
a
n
＝________.
由
a
n
＋1
＝2
an
＋3，则有
a
n
＋1
＋3＝2(
a
n
＋3)，
a
n
＋1
＋3
即＝2.
a
n
＋3
所以数列{
a
n
＋3}是以
a
1
＋3为首项 、公比为2的等比数列，即
a
n
＋3＝4·2
n
－1
＝2< br>n
＋1
，所以
a
n
＝2
n
＋1
－3 .
1
22
7、已知方程(
x
－2
x
＋
m
)(
x
－2
x
＋
n
)＝0的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|
m
－
n
|的值等于________．
4

如图所示，易知抛物线
y
＝
x
－2
x
＋
m
与
y
＝
x
－2
x
＋
n
有相同的对称轴
x
＝1，它们与
x
轴的四个交点依次为
A
、
22
B
、
C
、
D
.
17
因为
x
A
＝，则
x
D
＝.
44
35
又|
AB
|＝|
BC
|＝|
CD
|，所以
x
B
＝，
x
C
＝.
44
17351
故|
m
－
n
|＝|×－×|＝.
44442
8、
在等差数列{
a
n
}中，
a
1
＝－3,11
a
5
＝5
a
8
－13，则数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
的最小值为___ _____．
设公差为
d
，则11(－3＋4
d
)＝5(－3＋7
d
)－13，
5
∴
d
＝.
9
∴数列{
a
n
}为递增数列．
532
令
a
n
≤0，∴－3＋(
n
－1)·≤0，∴
n
≤，
95
∵
n
∈N.
29
∴前6项均为负值，∴
S< br>n
的最小值为
S
6
＝－.
3

6.若两个 等差数列

a
n

和

b
n
< br>的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，且 满足
7．（北京卷）（16）（本小题共13分）
已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式
解：（Ⅰ）设等差数列的公差。
因为
所以 解得
所以
（Ⅱ）设等比数列的公比为
*
S
n
7n3
，则
a
8

6 .

T
n
n3
b
8

因为
所以 即=3
所以的前项和公式为
★等差数列的最值：
若
{
a
n
}
是等差数列，求前n项和的最值时，

a
n
0
（1）若a
1
>0,d>0,且满足

，前n项和
S
n
最大；
a0

n1
（2）若a
1
<0,d>0，且满足


a
n
0
，前n项和
S
n
最小；

a
n1
0
（3）除上面方法外，还可将
{
a
n
}
的前n项和的最值问 题看作
S
n
关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的
图象或配方法求解， 注意
nN

。
〖例〗在等差数列
{
a
n
}
中，
a
16
a
17
a
18
a< br>9
36
，其前n项和为
S
n
。
（1）求
S
n
的最小值，并求出
S
n
取最小值时n的值；
（2） 求
T
n
a
1
a
2
La
n
。
分析：（1）可由已知条件，求出a
1
,d,利用


a< br>n
0
求解，亦可用
S
n
利用二次函数求最值；

a
n1
0
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。 < br>解答：（1）设等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
，公差为
d
，∵
a
16
a
17
 a
18
3a
17
36,a
17
12,d< br>a
17
a
9
3,
a
n
a
9
(n9)gd3n63,a
n1
3n60
，
179

a
n
3n630
,得:20n21,
令
a3n600

n1
S
20
S
21


（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。
∴
当n21时，T
n
S
n

20[6 0(3)]
630
，∴当n=20或21时，
S
n
最小且最 小值为-630.
2
n(603n63)3123
n
2
n.
< br>222

当n21时，T
n
S
n
2S21

n(603n63)3123
2S
21
n2
n1260.
222
(n21)
.
(n21)


3
2
123
nn


22综上，T
n



3
n
2

123
n1260

22
〖例〗已知数列
{
a
n
}
是等差数列。
（1）若
a
m
n,a
nm(mn),求a
mn
;

（2）若
S
m
n,S
n
m(mn),求S
mn
.

解答：设首项为
a
1
，公差为
d
，
（1）由a
m
n,a
n
m
，
d
nm
 1

mn
∴
a
mn
a
m
(m nm)dnn(1)0.

n(n1)
n
2
m< br>2
mnmn

mna
1
d
a
1< br>



2
mn
,
解得

.
（2）由已知可得

m(m1)

nma
< br>d
2(mn)
d
1


2
mn
S
mn
(mn)a
1

(mn)(mn 1)
d(mn)

2
【例】
已知数列{
a
n
}的各项均为正数，
S
n
为其前
n
项和，对于任意的n
∈N
*
，满足关系式2
S
n
＝3
a
n
－3.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)设 数列{
b
n
}的通项公式是
b
n
＝
1
，前
n
项和为
T
n
，求证：对于任意的正整数
n
，总有
T
n
<1.
log
3
a
n
·log3
a
n
＋1
(1)解 ①当
n
＝1时，由2
S
n
＝3
a
n
－3得，2
a
1
＝3
a
1
－3，
∴
a
1
＝3.
②当
n≥2时，由2
S
n
＝3
a
n
－3得，
2
S
n
－1
＝3
a
n
－1
－3.
两式相减得：2(
S
n
－
S
n
－1
)＝3
a
n
－3
a
n
－1
，即2
a
n< br>＝3
a
n
－3
a
n
－1
，
∴a
n
＝3
a
n
－1
，又∵
a
1
＝3≠0，∴{
a
n
}是等比数列，∴
a
n
＝3. 验证：当
n
＝1时，
a
1
＝3也适合
a
n＝3.
∴{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝3.
11
(2)证明 ∵
b
n
＝＝
nn
＋1

log
3
a
n
·log
3
a
n
＋ 1
log
3
3·log
3
3
＝
111
＝－ ，
(
n
＋1)
nnn
＋1
n
n
n
∴
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…＋< br>b
n

11111
＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
223
nn
＋1
＝1－

1
<1.
n
＋1
B、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n项和
（一）等比数列的判定
判定方法有：
（1）定义法：若
a
n1
a
q(q为非零常数)或
n
q(q为非零常数且n2)
，则< br>
a
n

是等比数列；
a
n
a
n 1
2
（2）中项公式法：若数列

a
n

中，
a
n
0且a
n1
a
n
ga
n2< br>(nN)
，则数列

a
n

是等比数列；
n
（3）通项公式法：若数列通项公式可写成
a
n
cq(c,q均为不 为0的常数，nN)
，则数列

a
n

是等比数
列；
n
（4）前n项和公式法：若数列

a
n

的前n项和
S
n
kgqk(k为常数且k0,q0,1)
，则数列< br>
a
n

是等比
数列；
注：（1）前两种方法是判 定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定
一个数列不是等比数 列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗在数列

a
n

中，
a
1
2,a
n1
4a
n3n1,nN
。
（1） 证明数列

a
n
n

是等比数列；
（2） 求数列

a
n

的前n项和
S
n
；
（3） 证明不等式
S
n1
4S
n
对任意
n N

皆成立。

解答：（1）由题设
a
n1
 4a
n
3n1,
得
a
n1
(n1)4(an
n),nN
。又
a
1
11,
所以数列

a
n
n

是
首项为1，且公比为4的等比数列。 < br>n1
n1
（2）由（1）可知
a
n
n4
，于 是数列

a
n

的通项公式为
a
n
4 n
。所以数列

a
n

的前n项和
4
n 1
1n(n1)
S
n

。
32
（3）对任意的
nN

，

4
n1
1(n1)(n2)4
n
1n(n1)1
S
n 1
4S
n
4[](3n
2
n4)0
， 所以不等式
S
n1
4S
n
对任
32322
意< br>nN

皆成立。
（二）等比数列的的运算
等比数列基本量的运算 是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量
a
1
，
n
，
q
，
a
n
，
S
n
，显然，“知三求
二”，通 常列方程（组）求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善
于运用整体代换思想简化运算的过程。
注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进 行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求
和公式。
〖例〗设数列

b< br>n

的前n项和为
S
n
，且
b
n
= 2-2
S
n
；数列

a
n

为等差数列， 且
a
6
14,a
7
20
。
（1） 求数列

b
n

的通项公式；
b
n
(n N

)
，
T
n
为数列

c
n< br>
的前n项和，求证：
T
n

（2） 若
c
n
a
n
g
解答：（1）由
b
n
=2-2
S
n
，得
b
1
22S
1
，又
S
1
=
b
1
，所以
b
1
=
7
。【 放缩法】
2
2
，由
b
n
=2-2
S
n< br>……………………①
3
得
b
n1
22S
n 1
……………………………………………………②
②-①得
b
n1
b
n
2b
n1
，∴，∴

b
n

是以
（2）∵

a
n

为等差数列，∴
d
2121
为首项，以为公比的等比数列，所以
b
n
=·
()
n
。
3333
a
7
a
5
3
，∴从而
7 5
1111
∴
T
n
2[2g5g()
2
8g ()
3
L(3n1)g()
n
]
………………………………③
3333
111111
∴
T
n
2[2g()
2< br>5g()
3
8g()
4
L(3n4)()
n
(3n1)()
n1
]
…………………④
333333
③-④得


=
∴
∴
（三）等比数列性质的应用
★在等比数列中常用的性质主要有：
（1）对于任意的正整数若，则特别地，若；
（2）对于任意正整数有；

< br>（3）若数列

a
n

是等比数列，则

c a
n
(c0)

,a
n
1


a

,

a

也是等比数列，若

b< br>n

是等比数列，则
2
n




n

a
n
gb
n

也是等比数列；
（4）数列仍成等比数列；
（5）数列是等比数列（q≠-1）；
★（6）等比数列的单调性




注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。
1.（全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】


2.（ 辽宁理数）（6）设{a
n
}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a
2a
4
=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。
【解析】由a
2
a
4
=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，
3. （辽宁卷）（14）设为等差数列的前项和，若，则 15 。
解： ,解得，
4. （天津卷）（15）设{a
n
}是等比数列，公比，S
n
为{ a
n
}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n
0
=4时T
n
有最 大值。
5. （上海卷）已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
解析：(1) 当
n1时，
a
1
又
a
1
1
14；当
n≥2时，
a
n
S
n
1}是等比数列；
S
n< br>1
5
a
n
5
a
n
1
1，所以，
15≠0，所以数列{
a
n
(2) 由(1)知：，得，从而(
n
N*)；

由
S
n1
>
S
n
，得，，最小正整数
n
15．

【其他考点题】
1、设｛
a
n
｝（
n
∈N）是等 差数列，
S
n
是其前
n
项的和，且
S
5
 S
6
，
S
6
S
7
S
8
，则下 列结论错误的是（C）
*
＜0













＝0
＞
S
5

与
S
7
均为
S
n
的最大值
解析：由S
5
<
S
6
得
a
1
+
a2
+
a
3
+…+
a
5
<
a
1
+
a
2
+…+
a
5
+
a
6
，∴
a
6
>0，又
S
6
=
S
7
，∴
a
1
+
a
2
+…+
a
6
=< br>a
1
+
a
2
+…+
a
6
+
a
7
，∴
a
7
=0，由
S
7
>
S
8
，
得
a
8
<0，而C选项
S
9
>
S
5
，即
a
6
+
a
7
+
a
8
+
a
9
>02（
a
7
+
a
8
）>0，由题设
a
7
=0，
a
8
<0， 显然C选项是错误的。
2、
lim
123Ln
＝（C）
2
n
n
(A) 2 (B) 4 (C)
1
(D)0
2
3、已知a、b、c成等比数列，a、x、b 和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么
ac

的值为（B ）。
xy
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4、已知等差数列的前项和为
（Ⅰ）求
q
的值；
（Ⅱ）若a1
与a
5
的等差中项为18，b
n
满足，求数列的{b
n
}前n项和。
(Ⅰ)解法一：当时，,
当时,.
是等差数列, , ············4分
解法二：当时,,
当时,.
当时,.
.
又,
所以,得.············4分
(Ⅱ)解：,.
又, , ············8分
又得.

,,即是等比数列。
所以数列的前项和.