庸懒散浮拖-成人高考英语试题

证明或判断等差（等比）数列的常用方法
湖北省
王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、判断
数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，
如何处理 这些题目呢且听笔者一一道来．
一、 利用等差（等比）数列的定义
在数列
{a< br>n
}
中，若
a
n
a
n1
d
a
n
q
（
d
为常数）或
a
n1
n
（
q
为常数），则数列
{a}
为等差（等比）
数列．这是证明数列
{a}
为等差（等比）数
更最主要的方法．如：
例1．（2005北京卷） 设数列
{a}
的首项
n
n
a
1
a
1< br>4
，且
2n1

1
a n
为偶数


2
n
a
n1



a1
n
为奇数
n

4
，
记
b a
n
1
，n1，2，3，…
4
23
．
n（Ⅰ）求
a，a
；（Ⅱ）判断数列
{b}
是否为
等比数列，并证 明你的结论．

解：（Ⅰ）
a
（Ⅱ）
Qa
11
2
a
1

11111
a，a
3
a
2
a
44228
；
13
a
416
4< br>a
3

113
a
428
，所以
a< br>1
a
2
5
3
4
，
111

1

11

1

a，ba

a

，ba

a

，所以
ba1

4442

4

44

4

235
猜想：
{b}
是公比为
1
的等比数列．
2
n
证
b
n1
a
2n1

明如下 ：

因为
1111

1

1
a
2n


a
2n1


b
n
，(nN

)
4242

4

2
1< br>所以
{b}
是首项为
a
1
，公比为的等比数
42< br>n
列．
评析：此题并不知道数列
{b}
的通项，先
写出几项 然后猜测出结论，再用定义证
明，这是常规做法。
例2．（2005山东卷）已知数列{a}
的首项
a5
，前
n
项和为
S
，且S2Sn5(nN)
（Ⅰ）
证明数列
{a1}
是等比数列；（ Ⅱ）略．
解：由已知
S2Sn5(nN)
可得
n2
时
,S2Sn4
两式相减得:
SS2(SS)1
，即
a 2a1
，从而
a12(a1)
，
当
n1
时，
S2S15
，所以
aa2a6
，
又
a5< br>，所以
a11
，从而
a12(a1)
．
n
n

1n
n1n
n
*
n1n
nn1n1n nn1
n1nn1n
21211
1
221

故总 有
a
a
n1
1
2
a
n
1

12(a1)，nN
n1n
，又
a5，a10
， 从而
11
．
n
所以数列
{a1}
是等比数列．
评析：这是常见题型，由依照含
S
的式
子再类似写出含
S
的式子， 得到
apaq
的
形式，再利用构造的方法得到所要证明的
结论．本题若是 先求出通项
a
的表达式，
则较繁．
注意事项：用定义法时常采用的两个式< br>子
aad
和
aad
有差别，前者必须加上
“
n≥2
”，否则
n1
时
a
无意义，等比中一样
n
n1
n1n
n
nn1n1n
0
有：
n≥2
时，有
a
a
有
a
a
n1
n
n
 Lq
（常数
0
）；②
nN
时，

n1Lq
（常数
0
）．
二．运用等差或等比中项性质

aa2a{a}
是等差数列，
aaa(a0)
{a}
是 等比数列，这是证明数列
{a}
为等差（等
比）数列的另一种主要方法．
例3．（2005江苏卷）设数列
{a}
的前项为
，a6，a11
，且< br>S
，已知
a1
(5n8)S(5n2)SAnB，n1，2，3 ，L，
其中
A，B
为常数．
nn2n1n
nn2
2
n1n
n
n
n
n
123
n1n

（1）求
A
与
B
的值；（2）证明数列
{a}
为等
差数列；（3）略．
解：（1）由
a1，a6，a11
，得
S1，S7，S18
．
把
n1，2
分别代入
(5n 8)S(5n2)S
AnB
，得

AB28，

2AB48

n
123123
n1n
解得，
A20
，
B8
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
5n(SS)8S2S20n8
，即
①
5na8S2S20n8
，
又
5(n1)a8S2S20(n1)8
． ②
②-①得，
5(n1)a5na8a2a20
，
即
(5n3)a(5n2)a20
． ③
又
(5n2)a(5n7)a20
． ④
④-③得，
(5n2)(a2aa)0
，∴
a2aa0
，
∴
aaaaLaa5
，又
aa5
，
因此，数列

a

是首项为1，公差为5的
等差数列． < br>评析：此题对考生要求较高，通过挖掘
S
的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造
得到中项性质，这种处理大大简化了计
算．
例4．（高考题改编）正数数列
{a }
和
{b}
满
n1nn1n
n1n1n
n2n 2n1
n2n1n2n1
n2n1
n3n2
n3n2 n1n3n2n1
n3n2n2n13221
n
n
n
n

足：对任意自然数
n，a，b，a
成等差数列，
b，a， b
成等比数列．证明：数列
{b}
为等差
数列．
a0，b0，2baa
， 证明：依题意，且
abb
，

abb(n≥2)
．

2bbbbb
．
由此可得
2bbb
．即
bbbb(n≥2)
．


数列
{b}
为等差数列．
评析：本题依据条件得到
a
与
b
的递推关
系，通过消元代换构造了关于
{b}
的等差数
列，使问题得以解决．
三．运算数学归纳法
这种方法关键在于猜想要正确，用
数学归纳法证明的步骤要熟练，从“
nk
时
命题成立”到“
nk 1
时命题成立”要会过
渡．
例5．(2004全国高考题)数列

a

的前
n
2
S(n1,2,L)
．项和记为
S
，已知
a1
，
a
n
证明：
n
nn n1
nn1n1
n
nnnnn1
n1nn1
nn1n
nn1nnn1
nn1n1
n1nnn1
n
nn
n
n
n
1
n1n
S

数列


是等比数列．

n

n
证明：由
a
2

S4a
21
S
1
3a
1
,2

1
2
122
a
1
1
，
a
n1

n2
S
n
(n1,2,L)
n< br>，知
，

S
1
1
1
S

，猜测


是首项为1，公比为2

n

n
的等比数列．
下面用数学归纳法证明：令
b
S
n
.
n
n
(1)当
n2
时，
b2b
，成立． (2)当
n3
时，
Saaa132(13)12,b42 b
，
成立．
假设
nk
时命题成立，即
b2b
．
那么当时，
nk1
21
312332
kk1
b
k1

S
k1
S
k
a
k1

k1k1S
k

k2
S
k
2
k
S
k
2b
k
k1k
，命题成立．
S

综上知< br>

是首项为1，公比为2的等

n

n
比数列．
0)P(x，2
例6．（2005浙江卷）设点
A(x，，
nnn n
n1
)
和抛物线
C:yx
n
2
a
n
xb
n
(nN

)，
其中
a
22< br>n
24n
1
2
n1
，
x
n
2)
在抛物线由以下方法得到：
x1
，点
P(x，
C:yx axb
上，点
A(x，0)
到
P
的距离是
A
到< br>C
上
2)
在抛物线点的最短距离，
L
，点
P(x，< br>C:yxaxb
上，
0)
到
P
的距离是
A到
C
上点
A(x，
点的最短距离．
（1）求
x
及
C
的方程．（2）证明
{x}
是等差
数列．
1
2
111
11
211
n
n1n1
2
nnn< br>nn
n1nn
21n

解：（I）由题意得：
A(1, 0),C:yx7xb
．
设点
P(x,y)
是
C
上 任意一点，则
|AP|(x1)y
(x1)(x7xb)

2
111
1
22
222
1
1
令
f(x) (x1)(x7xb),
则
f(x)2(x1)2(x7xb)(2x7 ).

由题意：
f(x)0,
即
2(x1)2(x7xb )(2x7)0.

又
P(x,2)
在
C
上，
2x7xb,

解得：
x3,b14.
，故
C
方程为
yx7x1 4.

(II)设点
P(x,y)
是
C
上任意一点，则|AP|(xx)(xaxb)

222'2
11
'2
222212
2
221
221
2
211
n
222
nnnn
令
g(x)(xx)(xaxb)
，
则
g(x)2(xx)2(xaxb)(2xa)
．
由题意得g
'(x
2(xx)2(xaxb)(2xa)0
< br>222
nnn
'2
nnnn
n1n
2
n1nn 1nn1n
n1
)0
，即
又
Q2
n
xn1
2
a
n
x
n1
b
n
,< br>
n1n
n1nn
(x
n1
x
n
)2
n
(2x
n1
a
n
)0(n1).
即
(12)xx2a0
（*）
下面用数学归纳法证明
x2n1

①当
n1
时，
x1,
等式成立．
②假设当
nk
时，等式成立，即
x2k1,

则当
nk1
时，由（*）知
(12)xx2a

n
1
k
k1k
k1kk0
又
a
k
24k2
1
k1
,

x
k
2
k
a
k
x
k1
2k1.
12
k1

即当
nk1
时，等式成立．由①②知，等式

对
nN
成立．
{x}
是等差数列．
评析：例5是常规的猜想证明 题，考查学
生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列
前
n
项和这个概念、用数 学归纳法证明等差
数列的方法；例6是个综合性比较强的题
目，通过求二次函数的最值得到递推 关系
式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法
显得简洁明了，如果直接利用递推关系式
找通项，反而不好作．
四．反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是
从 正面入手，即从已知条件出发，经过一
系列的推理和运算，最后得到所要求的结
论，但有时会遇 到从正面不易入手的情
况，这时可从反面去考虑．如：
，b}
是 例7．（2000 年全国高考（理））设
{a}{
公比不相等的两等比数列，
cab
．证明 数
列
{c}
不是等比数列．
，b}
的公比分别为
p，q
，
pq
， 证明：设
{a}{
cab
，为证
{c}
不是等比数列只需证
ccgc< br>．事实上，
c(apbq)apbq2abpq


cgc(ab)(ab)(ab)(apbq)apbqab(pq)

n
nn
nnn
n
nn
nnnn
2
213< br>2
2
2
11
2
1
22
1
2
11
22
1311331111
2
1
22
1
222
11

ccgc
，
Qpq，pq2pq
， 又
a，b
不为零，故
{c}
不是等比数列．
评析：本题主要考查等 比数列的概念和
基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维
能力有较高要求．要证
{c}
不是等比数列，
只要由特殊项（如
ccgc
）就可否定．一般
地讲 ，否定性的命题常用反证法证明，其
思路充分说明特殊化的思想方法与正难
则反的思维策略的重 要性．
五．看通项与前
n
项和法
若数列通项
a
能表示 成
aanb
（
a，b
为常
数）的形式，则数列

a

是等差数列；若通
项
a
能表示成
acq
(
c，q
均为不为0的常数，
nN
)的形式，则数列

a< br>
是等比数列． 若数
列

a

的前
n项和S
n
能表示成
Sanbn
(a，b
为常数)的形式， 则数列

a

等差数列；若
S
n
能表示成
SAqA
(
A，q
均为不等于0的常
数且q≠1)的形式，则数列

a

是公比不为1
的等比数列．这些结论用在选择填空题上
可大 大节约时间．
例8．(2001年全国题)若S是数列

a

的 前
n
项和，
Sn
,则

a

是( ).
22
11
2
213
n
n
2
213< br>n
n
n
n
n
n

n
2
n< br>n
n
n
n
n
n
n
2
n
n< /p>

Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.
等差数列，但不是等比数列
Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.
既非等比数列又非等差数列
解析：用到 上述方法，一下子就知道答案
为B，大大节约了时间，同时大大提高了
命中率．
六．熟记一些常规结论，有助于解题
若数列
{a}
是公比为
q
的等比数列，则
（1）数列
{a }
{

a}
（

为不等于零的常数）仍
是公比为< br>q
的等比数列；
（2）若
{b}
是公比为
q
的等比数列，则数列
{agb}
是公比为
qq

的等比数列；
1

1
（3）数列

是公比为的等比数列；

q
a
n
n
n
n
nn

n

（4）
{a}
是公比为
q
的等比数列；
（5）在数列< br>{a}
中，每隔
k(kN)
项取出一项，
按原来顺序排列，所得新数 列仍为等比数
列且公比为
q
；
，aa}{，a}{，a}
，（6 ）
{aa}{
{aaa，aaa，aaa，L}
，
L
等都是等比数列；
（7）若
m，n，p(m，n，pN)
成等差数列时，
a，a，a
n

n
k1
nn1nn12n12n
1 23456789

mnp

成等比数列；
（8）
S ，SS，SS
均不为零时，则
S，SS，SS
成等比数列；
（9） 若
{loga}
是一个等差数列，则正项数
列
{a}
是一个等比数列 ．
若数列
{a}
是公差为
d
等差数列，则
（1）
{kab}
成等差数列，公差为
kd
（其中
； < br>k0，k，b
是实常数）
（2）
{SS}
，（
kN，k
为常数），仍成等差数
列，其公差为
kd
；
，b}
都是等 差数列，公差分别为（3）若
{a}{
d，d
，则
{ab}
是等差 数列，公差为
dd
；
（4）当数列
{a}
是各项均为正数的等比 数
列时，数列
{lga}
是公差为
lgq
的等差数列；
（ 5）
m，n，p(m，n，pN)
成等差数列时，
a，a，a
成
等 差数列．
例9．（96年全国高考题）等差数列
{a}
的
前
n< br>项和为30，前
2n
项和为100则它的前
3n
项和为（ ）
Ａ．130 Ｂ．170 Ｃ．210
Ｄ．260
解：由上面的性质 得：
S，SS，SS
成等比
n2nn3n2n
n2nn3n2n
bn
n
n
n
(n1)kkn
2
nn
12nn12
n
n

mnp
n
n2nn3n2n

数列，
故
2(SS)S
2nn
3n
，
2(10030)30(S100)
，
S210
．故选Ｃ．
评析：此题若用其它方法，解决起来要花
比较多的时间，对于选择题来说得不断尝
试． 记住上面这些结论，在做选择填空题
时可大大节约时间，并且能提高命中率．
从上面可以 看出：证明或判断等差
（等比）数列的方法有许多种，作题时到
底用何种方法，一般说来大题用 前四种：
定义法、运用等差或等比中项性质、运用
数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果
是否正确，作小题应该用后面的方法．
n
(S
3n
S
2n
)
3n