jinchi-粗壮的反义词

等

差

数

列

教

学

设

计

等差数列

一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列
第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且 起着承前
启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,
学 习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习
了数列的有关概念和给出数 列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对
数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今 后学习等比数列提供了“联
想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析
教 学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验
已较为丰富，具备了较强的抽象 思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学
生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发， 使学生产生学习的兴趣，
注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高 。
三、设计思想
1．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建 构；有利于突出重点，
突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生
的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法
引导学生 首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水
位问题、储蓄问题）概括出数组特点并 抽象出等差数列的概念；接着就等差数列
概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同 学引导认识多元
的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
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在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质
疑，围绕中心各抒己 见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌 握等差数列的概念，能用定义判断一个
数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过 程及思想，掌
握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题；并在此过
程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，
把研究函数的方法迁移 来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。
五、教学重点与难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②理解等差数列是一种函数模型。
关键：
等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
六、教学过程
教学
环节
情境设计和学习任务
在南北朝时期《张邱建算经》中，有倾听
一道题今有十等人，每等一人，宫赐
金以等次差降之，上三人先入，得金
创设四斤，持 出，下四人后入得金三斤，
学生活动 设计意图
课堂引入
情景 持出，中间三人未到者，亦依等次更
给，问各得金几何，及未到三人复应
得金几何。
这个问题该怎样解决呢？
探索由学生观察分析并得出答案： 观察分析，发表各自的意见 引向课题
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研究 在现实生活中，我们经常这样数
数，从0开始，每隔5数一次，可以
得到数列： 0，5，___,___,___,___,„
水库的管理人员为了保证优质鱼
类有良好的生 活环境，用定期放水清
理水库的杂鱼。如果一个水库的水位
为18cm，自然放水每天水位降低 2.5m，
最低降至5m。那么从开始放水算起，
到可以进行清理工作的那天，水库每
天的水位组成数列（单位：m）：18，
15.5，13，10.5，8，5.5
思考：同学们观察一下上面的这两个
数列：
0，5，10，15，20，„„ ①
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ②
看这些数列有什么共同特点呢？
发现
规律
[等差数列的概念]
总结对于以上几组数列我们称它们为等差
提高 数列。请同学们根据我们刚才分析等
差数列的特征，尝试着给等差数列下
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观察分析并得出答案:
引导学生观察相邻两项间
的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
5 ；
对于数列②，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
-2.5 ；
由学生归 纳和概括出，以上
两个数列从第2项起，每一项
与前一项的差都等于同一个常
数（即： 每个都具有相邻两项
差为同一个常数的特点）。
学生认真阅读课本相关概念，
找出关键字。
通过分析，激
发学生学习
的探究知识
的兴趣，引导
揭示数列的
共性特点。
通过学生自
己阅读课本，
找出关键字，
提高学生的

个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差
通常用字母d表示。那么对于以上两
组等差数列，它们的公差依次是5，5，
-2.5 。
提问：如果在
a
与
b
中间插入一个数A，
使
a
，A，
b
成等差数列数列，那么A
应满足什么条件？
由三个数a， A，b组成的等差数列可
以看成最简单的等差数列，这时，A
叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从
第2项起，每一项（有穷数列的末项
除外）都是它的前一项 与后一项的等
差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13„
中5是3和7的 等差中项，1和9的等
差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等
差中项。
看来，
a
2
a
4
a
1
a
5
,a
4
a
6
a
3
a
7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
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由学生回 答：因为a，A，b
组成了一个等差数列，那么由
定义可以知道：A-a=b-A
所以就有
A
ab
2

深入探究，得到更一般化的
结论
阅读水平和
思维概括能
力，学会抓重
点。
让学生参与
到知识的形
成过程中，获
得数学学习
的成就感。
引领学习更
深入的探究，
提高学生的
学习水平。

则
a
m
a
n
a
p
a
q

[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能
用通项公式将它们表示出 来呢？这是
我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列
{a
n}
的第n
项与序号n之间的关系去写出数列的
通项公式的。下面由同学们根据通项
公式的定义，写出这三组等差数列的
通项公式。
总结
提高
⑵、那 么，如果任意给了一个等差数
列的首项
a
1
和公差d，它的通项公式是
什么呢？

总结思考：那么通项公式到底如何表达
提高 呢？
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由学生经过分析写出通项公学会发现规
式： 律，并加以总
①这个数列的第一项是5，第2结。
项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20
（=5+5+5+5），„„由此可以猜
想得到这个数列 的通项公式是
a
n
5n

② 这个数列的第一项是18，第
2项是15.5（=18-2.5），第3
项是13（=18-2.5×2），第4
项是10 .5（=18-2.5×3），第5
项是8（=18-2.5×4），第6项
是5.5（=18 -2.5×5）由此可以
猜想得到这个数列的通项公式
是
a
n
18 2.5(n1)

引导学生根据等差数列的定引导学生进
义进行归纳： 行理 性分析

与推导，从而

a
2
a
1
d ,

(n1)个等式


a
3
a
2
d,

得出公式。

a
4
a
3< br>d,



所以
a
2
a
1
d,


a
3
a
2
d,


a
4
a
3
d,

„„
a
2
a
1
d,

进一步的分
a
3
a
2
d(a
1
d)da2d,
析。

a
4
a
3
d(a
1
 2d)da3d,
得出通项公式：由此我们可以猜想得
出：以
a
1为首项，d为公差的等差数
列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
a
1
(n1)d

也就是说，只 要我们知道了等差数
列的首项
a
1
和公差d，那么这个等差数
列的通 项
a
n
就可以表示出来了。

例1、⑴求等差数列8，5，2，„的第
20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，
-13，„的项？如果是，是第几项？
分析：
⑴要求出第20项，可以利用通项公式
求出来。首项知道了，还需要知道的< br>是该等差数列的公差，由公差的定义
应用
可以求出公差
巩固
⑵这个 问题可以看成是上面那个问题
的一个逆问题。要判断这个数是不是
数列中的项，就是要看它是否 满足该
数列的通项公式，并且需要注意的是，
项数是否有意义。
例题评述：从该例题中可以看出，等
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„„

思考，并发表各自的意见。
让两个学生分别对这两小题加
以分析。
解：⑴由
a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，
得
a< br>20
8(211)(3)49

⑵由
a
1=-5，d=-9-（-5）=-4，
得这个数列的通项公式为
a
n
 54(n1)4n1,
由
题意知，本题是要回答是否存
在正整数n,使得- 401=-4n-1成
立。
解这个关于n的方程，得
n=100，即-401是这个数列的第
100项。

聆听教师点评
让学生有自
主思考的时
空。
让学生参与
课堂。

通过教师点

差数列的通项公式其实就是一个关于评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
a
n
、
a
1
、d、n（独立的量有3个）的
方程；另外，要 懂得利用通项公式来
判断所给的数是不是数列中的项，当
判断是第几项的项数时还应看求出的< br>项数是否为正整数，如果不是正整数，
那么它就不是数列中的项。
随堂练习：课本45页“练习”第
1题；
s
m

例2．在南 北朝时，在466～484
年，张邱建写了一部算径，即《张邱
建算经》，在这本算经中，张邱 建对等
差数列的研究有一定的贡献，例如算
经中有一道题今有十等人，每等一
人，宫赐 金以等次差降之，上三人先
入，得金四斤，持出，下四人后入得
金三斤，持出，中间三人未到者 ，亦
依等次更给，问各得金几何，及未到
三人复应得金几何。


算经中的解法：
以先入人数分所持金数为上率，
以后入人数分别持金数为下率，二率
相减，余为差实，并先后人数而半之，
以减凡人数，余为差法，实如法而一，
得差数。
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完成练习
解：按照题意，解法应分
三步
第一步求公差d
用现代符号，记后入人数
为
n
1
，后得金 数为
s
1
先入人数
为
n
3
先得金数为
s< br>m
，则算经中
的解法为d=[（
s
m

n
3
）－（
s
1

n
1
）][n－（
n
3
+
n
1
）2]=（
n
1

s
m
－< br>n
3
s
1
）｛［n－(
n
3
+
n< br>1
)2］
n
1

n
3
｝,若记未列人数为
n
2
，
则d=(
n
1

s
m
－
n
3

s
1
)
［
n
2
+(
n
1
+
n
3
)2］
n
1

n
3
本题 ：
解得d=778，现用现代计算公
差d由：
a
8
+
a9
+
a
10
=4
即：3
a
1
+24d =4
解得d=778
a< br>1
+
a
2
a
3
a
4
=3
讲练结合，有
利提高学生
的知识应用
水平
学以致用，将
所 学知识应
用到具体生
活中去，加深
对概念的理
解。

4
a
1
+6d =3
所以算经中的解法是正确的。
第 二步，把后入四人每人
所得金数视为一等差数列，求
每人的金数，这相当于已知d，
例 题评述：这是等差数列用于解决实
际问题的一个简单应用，要学会从实
际问题中抽象出等差数列 模型，用等
差数列的知识解决实际问题。
引导学生动手画图研究完成以下探
究： < br>⑴在直角坐标系中，画出通项公式为
a
n
3n5
的数列的图象。这 个图象有
什么特点？
探索
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数
研究
y=3x-5的图象，你发现了什么？据此
说一说等差数列
a
n
pnq
与一次函
数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1， 2，
3，„„时，对应的
a
n
可以利用通项公
式求出。经过描点知道 该图象是均匀
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s
n
，n，求
a
1
，即
a
1
=｛
s
n
－[n(n
－1)2]d｝n。
第三步，把十人各得金数
视为一等差数列，求每人的 金
数，相当于已知
a
1
，d，n，求
a
n
，
即
a
n
=
a
1
+（n－1）d，以上都
是我国 古代数学家张邱建提出
的问题及解法。
聆听教师点评
学生动手画图，并进行学习小
组讨论，发表见解。
通过教师点
评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
通过学生动
手作图，并加
以对比，让学生体会数列
与函数的内
在关系。

分布的一群孤立点；
本节主要内容为： 以学习小组为单位，在学习小学生自己小
① 等差数列定义：即
a
n
a
n1
d
(n≥组中，各自归 纳自己对这堂课结，使学生对
课堂
2)
的收获，后由小组代表总结归自己所学知
识有更深刻
的认识。
小结
②等差数列通项公式：
纳。
a
n

a
1
(n1)d
(n≥1)
推导出公式：
a
n
a
m
(nm)d

1、已知
{a
n
}
是等差数列.
⑴
2a
5
a
3
a
7
是否成立？
作业 是课堂
的延续，除了
检验学生对
本节课知识
的理解程度，
还在于引导
学生对本课
知识的进一
步探究思考。
2a
5
a
1
a
9
呢？为什么？
⑵
2a
n
a
n1
a
n
是否成立？据
（）
1
n1
评价
设计
此你能得出什么结论？
< br>2a
n
a
nk
a
n
（
是否成立？据
）
k
n1
此你又能得出什么结论？
2、已知等差数列
{ a
n
}
的公差为d.求
证：
a
m
a
n< br>d

mn
七、教学反思

本节课通过生活中一系列的实例 让学生观察，从而得出等差数列的概念，并
在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观 察、分析、归纳、
推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理
性的认识过程。
八、板书设计


板书设计

§2.2等差数列
1、定义
2、数学表达式
3、等差数列的通项公式
例1（略）
例2（略）
练习：


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