q安全中心-山水风光的诗

1.3 简单的等差数列
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在加减法的混合计算中,存在一种情况: 多个加数(或减数)按照固定的规律
依次排列,并且这些数中任意两个相邻的数的差相同,这就是数学王 国中最著名
的故事“高斯求和”——等差数列求和。
一、等差数列的认识
【基础过关】
热身题:智慧老人觉得龟兔都是可造之才,所以邀请它们来到家里继续学习新的知识。智慧老人给它们讲了数学王子高斯小时候的故事,随后在黑板上写下
了这样的一个题:1 +2+3+4+5+6+7+8+9+10的结果是多少?
分析:观察发现:本题中的数按从小到大的 顺序依次排列,可以使用首尾对应
求和的方式变加法为乘法计算。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)
=11+11+11+11+11
=11×5
=55
老师点睛
当一组数字按照从小到大(或者从大到小)顺次排列且任意两个相邻的数的
差相同,这组数被称之为“ 等差数列”。若求这组等差数列的和,可以按照首尾对
应相加的方式使用乘法计算。
二、等差数列的求和计算
【综合提升】
例题1:10+11+12+13+…+19
分析:通过观察可得这是一组等差数列的求和计算,可以采用前面的首尾对
应求和的方法。
10+11+12+13+…+19
=(10+19)+(11+18)+…+(14+15)

=29+29+29+…+29
=29×(10÷2)
=29×10÷2
=290÷2
=145
老师点睛
在连续自 然数组成的等差数列求和计算中,可以将加法改为乘法计算:和
=(第一个数+最后一个数)×数的个数 ÷2。但首先要找到这组等差数列中数的个
数,才能完成计算。
【巩固训练】
(1)1+2+3+…+20 (2)3+4+5+…+12





(3)1+2+3+…+40 (4)5+6+7+…+24





例题2:3+6+9+…+60
分析:通过观察可得:这组等差数列的数都是第一个数的倍数 ,因此在找数的
个数时,可以借用倍数的特殊性。
3+6+9+12+…+60
=3×1+3×2+3×3+3×4+…+3×20
=(3+60)×(20÷2)
=63×10

=630
老师点睛
由某个数的连续倍数构成的等差数列求和计算中,应通过借用这个数的倍数
找这组数的个数。
【巩固训练】
(1)2+4+6+…+20 (2)5+10+15+…+100






(3)4+8+12+…+40 (4)100+90+80+…+10






例题3:2000-5-10-15-20-…-100
分析:通过观察可得:所有的减数一 起构成等差数列,因此可以先利用等差数
列求和的方法求出所有减数的和,再求差。
2000-5-10-15-20-…-100
=2000-(5+10+15+20+…+100)
=2000-(5×1+5×2+5×3+5×4+…+5×20)
=2000-(5+100)×(20÷2)
=2000-1050
=950
老师点睛

在一组减法算式中,若所有的减数组成一个等差数列,可以先求等差 数列的
和,再求差。
【巩固训练】
(1)200-1-2-3-4-…-18 (2)730-10-20-30-40-…-100






(3)3343-200-180-160-…-20 (4)(2+4+6+…+80)-(1+3+5+…+79)







例题4:小明想在20天内存够500元钱,他计划第一天存入4元, 第二天存入
8元,第三天存入12元,依次类推,直到第二十天存人80元。那么小明达到目标
了吗?
分析:根据题意可得:小明每天存入的钱构成一个等差数列,可以求等差数列
的和来判 定他是否达到目标。
4+8+12+…+80
=(4+80)×(20÷2)
=84×10
=840
840>500
答:小明达到了目标

老师点睛
应用题中出现一些数按照等差数列的特征排列,若求总数,则可以使 用等差
数列求和,但一定按照前面的方法找出等差数列中有多少个数。
【巩固训练】
1.光头强计划在60天内砍树500棵,他第一天砍了1棵,第二天砍了2棵,
第天砍了3棵,以此类推,最后一天砍了60棵。光头强的目标达到了吗?







2.奶奶家外的公路边有一堆砖,兄弟两人一起 计算这堆砖的总数,哥哥是一
块块的数,弟弟发现这堆砖第一层有8块,第二层有16块,第三层有24 块,以此类
推,最后一层有72块。小朋友们,你们能够快速计算出这堆砖的总数吗?







*3.小老鼠带上2000颗花生去 旅游30个城市,它的计划是到达第一个城市就
吃2颗,到达第二个城市就多吃4颗,到达第三个城市就 再多吃4颗,以此类推,
到达最后一个城市应该吃118颗。那么小老鼠旅游结束后还剩下多少颗花生?

通过今天 的学习,乌龟和兔子都学会了利用等差数列求和的方法,它们一起
分享了自己今天的收获：
(1)通过数的排列规律认识等差数列的特征；
(2)利用首尾对应求和的方法变加法为乘法；
(3)先找等差数列中数的个数才能找到乘法中的另一个因数。