(完整版)高中数学等差数列教案
风神加点-什么叫爱情
等差数列
教学目的:
1.明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式;
2.会解决知道
a
n
,a
1
,d,n
中的三个,求另外一个的问题
教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式
教学难点:等差数列的性质
教学过程:
引入:① 5,15,25,35,… 和 ②
3000,2995,2990,2985,…
请同学们仔细观察一下,看看以上两个数列有什么共同特征??
共同特征:从第二项起,每一
项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);(误:每相邻两项的差相等
-----应指明作差的顺
序是后项减前项),我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
二、讲解新课:
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的
差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)
⑴.公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
⑵.对于数列{
a
n
},若
a
n
-
a
n1
=d
(与n无关的数或字母),n≥2,n∈N,则此数列是等差数列,d 为公
差
2
.等差数列的通项公式:
a
n
a
1
(n1)d
【或<
br>a
n
a
m
(nm)d
】
等差数列定
义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列
a
n
的首项是
a
1
,公差是d,则据其定义可
得:
a
2
a1
d
即:
a
2
a
1
d
a
3
a
2
d
即:
a
3
a
2
da
1
2d
a
4
a
3
d
即:
a
4
a
3
da
1
3d
……
由此归纳等差数列的通项公式可得:
a
n
a1
(n1)d
∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项
a
1
和公差d,便可求得其通项
a
n
如数列①1,2,3,4,5,6;
a
n
1(n1)1n
(1≤n≤6)
数列②10,8,6,4,2,…;
a
n
10(n1)(2)122n
(n≥1)
数列③
1234
;,;,1,;
a
n<
br>
1
(n1)
1
n
(n≥1)
5
555
555
由上述关系还可得:
a
m
a
1
(
m1)d
即:
a
1
a
m
(m1)d
则:<
br>a
n
a
1
(n1)d
=
a
m
(m1)d(n1)da
m
(nm)d
即的第二通项公式
a
n
a
m
(nm)d
∴
d=
a
m
a
n
mn
如:
a
5
a
4
da
3
2da
2
3da1
4d
三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?
解:⑴由
a
1
8,d58253
n=20,得
a
20
8(201)(3)49
⑵由
a
1
5,d9(5)4
得数列通项公式为:
a
n
54(n1)
由题意可知,本题
是要回答是否存在正整数n,使得
40154(n1)
成立解之得n=100,即-
401是这个
数列的第100项
例2 在等差数列
a
n
中,已知
a
5
10
,
a
12
31<
br>,求
a
1
,
d
,
a
20
,a
n
解法一:∵
a
5
10
,
a
12<
br>31
,则
a
1
4d10
a
1
2
∴
a
n
a
1
(n1)d3n5
a
1
11d31
d3
a
20
a
1
19d55
解法二:∵
a
12<
br>a
5
7d31107dd3
∴
a
20
a
12
8d55
a
n
a
12
(n12)d3n5
小结:第二通项公式
a
n
a
m
(nm)d
例3将一个等差数列
的通项公式输入计算器数列
u
n
中,设数列的第s项和第t项分别为
u
s
和
u
t
,计算
u
s
u
t
s
t
的值,你能发现什么结论?并证明你的结论
解:通过计算发现
u
s
u
t
的值恒等于公差
s
t
证明:设等差数列{
u
n
}的首项为
u
1
,末
项为
u
n
,公差为d,
u
s
u
1(s1)d
u
t
u
1
(t1)
d
⑴-⑵得
u
s
u
t
(st)d
u
s
u
t
d
st
(1)
(2)
小结:①这就是第二通项公式的变形,②几何特征,直线的斜率
例4 梯子最
高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各
级
的宽度
解:设
a
n
表示梯子自上而上各级宽度所成的
等差数列,
由已知条件,可知:
a
1
=33,
a
12
=110,n=12
∴
a
12
a
1
(121)d
,即10=33+11
d
解得:
d7
因此,
a
2
33740,a3
40747,a
4
54,a
5
61,
<
br>a
6
68,a
7
75,a
8
82,a
9
89,a
10
96,a
11
103,
答
:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82c
m,89cm,96cm,
103cm.
例5 已知数列{
a
n
}
的通项公式
a
n
pnq
,其中
p
、
q
是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,
首项与公差分别是什么?
分析:由等差
数列的定义,要判定
a
n
是不是等差数列,只要看
a<
br>n
a
n1
(n≥2)是不是一个与n无关的常
数
解:当n≥2时, (取数列
a
n
中的任意相邻两项<
br>a
n1
与
a
n
(n≥2))
a
n
a
n1
(pnq)[p(n1)q]
pnq(pnpq)
p
为常数
∴{
a
n
}是等差数列,首项
a
1<
br>pq
,公差为p
注:①若p=0,则{
a
n}是公差为0的等差数列,即为常数列q,q,q,…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项
的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列的
充要条件是其通项
a
n
=p n+q (p、q是常数)称其为第3通项公式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个
四、练习:
1.(1)求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项.
解:根据题意可知:
a
1
=3,d=7-3=4.
∴该数列的通项
公式为:
a
n
=3+(n-1)×4,即
a
n
=4n-1(
n≥1,n∈N*)
∴
a
4
=4×4-1=15,
a
10
=4×10-1=39.
(2)求等差数列10,8,6,……的第20项.
解:根据题意可知:
a
1
=10,d=8-10=-2.
∴该数列
的通项公式为:
a
n
=10+(n-1)×(-2),即:
a
n=-2n+12, ∴
a
20
=-2×20+12=-28.
评述:要注意解题步骤的规范性与准确性.
(3)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
解:根据题意可得:
a
1
=2,d=9-2=7.
∴此数列通项公式为:
a
n
=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100,解得:n=15, ∴100是这个数列的第15项.
(4)-2
0是不是等差数列0,-3
1
,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
解:
2
由题意可知:
a
1
=0, d=-3
1
∴此数列的通项公式为:
a
n
=-
7
n+
7
,
令-
7
n+
7
=-20,解得n=
47
2
2
2
2
2
7
因为-
7
n+
7
=
-20没有正整数解,所以-20不是这个数列的项.
2
2
2.在等差数列{
a
n
}中,(1)已知
a
4
=10,
a
7
=19,求
a
1
与d;
(2)已知
a
3
=9,
a
9
=3,求
a
12
.
a
1
1
.
解:(1)由题意得:
a
1
3d10
, 解之得:
d3
a
1
6d19<
br>(2)解法一:由题意可得:
a
1
2d9
,
解之得
a
1
11
d
1
a
1
8d3
∴该数列的通项公式为:
a
n
=11+(n-1)×(-1)=12-n,∴
a
12
=0
解
法二:由已知得:
a
9
=
a
3
+6d,即:3=9+6d,
∴d=-1
又∵
a
12
=
a
9
+3d,∴
a
12
=3+3×(-1)=0.
Ⅳ.课时小结
五、小结 通过本节
学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:
a
n
-
a
n
1
=d ,(n≥2,n∈
N).其次,要会推导等差数列的通项公式:
a
n
a
1
(n1)d
,并掌握其基本应用.最后,还要注意一重
要关系式:
a
n
a
m
(nm)d
和
a
n
=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.