党员誓词-财产保全申请书

等差数列
一、学习目标：
等差数列的概念、性质及前n项和求法。
n
n
*< br>1.设数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
．已知
a
1
5
，
a
n1
S
n
3
，
nN
．设
b
n
S
n
3
，
求数列

b
n

的通项公式；
nn
解：依题意，
S
n1
S
n
a
n 1
S
n
3
，即
S
n1
2S
n< br>3
，
由此得
S
n1
3
n1
2( S
n
3
n
)
．
nn
因此，所求通项公式为b
n
S
n
-32
。
2．设数列
{an
}
是递增等差数列，前三项的和为
12
，前三项的积为
48< br>，则它的首项为 2 ．
3．已知等差数列
{a
n
}
的公差
d0
，且
a
1
,a
3
,a
9
成 等比数列，则
a
1
a
3
a
9
13
< br>．
a
2
a
4
a
10
16
【考点梳理】
1.在解决等差数列问题时，如已知，a
1
，a
n
，d，
S
n
，n中任意三个，可求其余两个。
2.补充的一条性质
1）项数为奇数
2n1
的等差数列有：
s
奇
n
s
奇
s
偶
a
n
a
中
，
s
2n1
 (2n1)a
n


s
偶
n1
s
奇< br>a
2）项数为偶数
2n
的等差数列有：

n
，
s
偶
s
奇
nd

s
2n
n(a
n
a
n1
)

s
偶
a
n1

a
n1
a
n
d（定义）

2a
n1
a
n
a
n2< br>3.等差数列的判定：{
a
n
}为等差数列


< br>

a
n
AnB（关于n的“一次函数”）

S An
2
Bn（缺常数项的“二次函数”）

n
即：
｛a
n
｝a
n1
a
n
d(d为常数）2a
n
a
n1
a
n1
(n2,nN*)

a
n
knbs
n
An
2
Bn
； 4.三个数成等差可设：
a
，
a
＋
d
，
a＋2
d
或
a
－
d
，
a
，
a< br>＋
d
；
四个数成等差可设：
a
－3
d
，
a
－
d
，
a
＋
d
，
a
＋3
d
.
5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的 角度考查等差数列
的通项公式：a
n
= a
1
+(n-1)d=d·n+ a
1
-d, a
n
是关于 n的一次式；从图像上看，表示等差数
列的各点（n,
a
n
）均匀排列在一条 直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两
aa
m
a
n
a
1
，d=
n
，由此联想点列（n，a
n
）所在直线的< br>nm
n1
2
斜率.2）点
(n,S
n
)
在没有常数项的二次函数
S
n
pnqn
上。其中，公差不为0.
6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）
1）若等差数列

a
n

的首项
a
1
0
，公差
d0
，则前
n
项和
S
n
有最大值。
项可以确 定一个等差数列.k=d=

a
n
0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n
最大


；
a0

n1
q
2
（ⅱ）若已知
S
n
pn qn
，则当
n
取最靠近

的非零自然数时
S
n最大；
2p
2）若等差数列

a
n

的首项
a
1
0
，公差
d0
，则前
n
项和S
n
有最小值

a
n
0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n
最小


；
a0

n1
第1页 共4页

2
（ⅱ）若已知
S
n
pnqn
，则当
n
取最靠近

q
的非零自然数时
S
n
最小。
2p
7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等
等 差 数 列
定义 {a
n
}为等差数列

a
n+1
-a
n
=d（常数），n∈N
+

2a
n
=a
n-1
+a
n+1
（n≥2，n∈N
+
）

1）
a
n
=
a
1
+（n-1）d=
a
k
+（ n-k）d；
a
n
=
dn
+
a
1
-dknb


2）推广：a
n
=a
m
+（n－m）d.
通项公式 aa
m
aa
1
3）变式：a
1
=a
n－（n－1）d，d=
n
，d=
n
，由此联想点列（n，
n1
nm
a
n
）所在直线的斜率.



求和公式
1）
S
n

n(a
1
an
)
n(n1)dd
na
1
dn
2
 (a
1
)nAn
2
Bn

2222
a< br>1
a
n
S
n
a
1
a
2
a
n
d
===
a
1
+（
n
－1 ）·=
a
n
+（
n
－1）·（－
nn
22
2）变式：
d
）.
2

等差中项


重


要


性


质
1）等差中项：若
a
、
b
、
c
成等差 数列，则
b
称
a
与
c
的等差中项，且
b
=
a
、
b
、
c
成等差数列是2
b
=
a
+
c
的充要条件.2）推广：2
a
n
=
a
nm
1
2
3

4
ac
；
2
a
nm

mnlkam
a
n
a
l
a
k
(反之不一定成立)； 特别地,当
mn2p
时,有
a
m
a
n
2a
p
；特例：a
1
+a
n
=a
2
+a
n-1
=a
3
+a
n-2
=…。
下标成等差数列且公差 为
m
的项
a
k
，
a
k
+
m
，
a
k
+2
m
，…组成的数列仍为等差数
列，公差为md
.
s
n
,s
2n
s
n
,s< br>3n
s
2n
成等差数列。
5
增
减
d0

a
n

为常数列

性
d0

a
n

为递减数列
< br>a
n
a
1
a
m
a
n
(mn )

n1mn
d0

a
n

为递 增数列

d
其 1 a
n
=a
m
+（n－m）d.

2 若数列{
a
n
}是公差为
d
的等差数列，则数列{λ
a
n
+< br>b
}（λ、
b
为常数）是
它
公差为λ
d
的 等差数列；若{
b
n
}也是公差为
d
的等差数列，则{λ
1
a
n
+λ
2
b
n
}

（λ
1
、λ
2
为常数）也是等差数列且公差为λ
1
d
+λ2
d
.
性
3 a
n
=an+b，即a
n
是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；
2

S
n
=an+bn，即S
n
是n的不含常数项的二次函数；
质
三、合作探究：
题型1 等差数列的基本运算
例1 在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
15
＝10，a
4 5
＝90，求a
60
；
(2)已知S
12
＝84，S20
＝460，求S
28
；
(3)已知a
6
＝10， S
5
＝5，求a
8
和S
8
．
第2页 共4页

82

a
1

< br>
aa14d10

3
∴a＝a＋59d＝130． 解：(1)方法一：

151


601
aa44d 908

451

d

3

aaa a
8
8
方法2
d
nm

4515
< br>，a
n
＝a
m
＋(n－m)d

a
60＝a
45
＋(60－45)d＝90＋15×＝130．
nm45153< br>3
2


A2

12A12B84


(2)不妨设S
n
＝An＋Bn， ∴

2

B17

20A20B460


2
∴S
n
＝2n－17n ∴S
28
＝2×28－17×28＝1092
(3)∵S
6
＝S
5
＋a
6
＝5＋10＝15，
6(a
1
a
6
)
6(a
1
10)aa
6(a10)

∴15＝
1
即a
1
＝ －5 而d＝
61
3

22261
8(aa)
∴a
8
＝a
6
＋2 d＝16 S
8
＝
18
44

2
22
又S
6
＝
变式训练1 设{
a
n
}为等差数列，
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和，已知
S
7
=7，
S
15
=75，
T
n
为数列{
的前
n
项和，求
T
n
. < br>解：设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，则
S
n
=
na
1
+
S
n
}
n
1
n
（
n
－1）
d
. ∵
S
7
=7，
S
15
=75，
2
7a
1
21d7,

a
1
3d1,
∴

即

解得
a
1
=－2，
d
=1.
15a105d75,a 7d5.

1

1
S
n
11
n5< br>=
a
1
+（
n
－1）
d
=－2+（
n
－1）=.
n22
2
SSS
11
∴
n1－
n
=. ∴数列{
n
}是等差数列，其首项为－2，公差为.
n1n2n2
12
9
∴
T
n
=
n
－
n
. < br>44
小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解< br>方程组思想等。等差数列中，已知五个元素
a
1
，
a
n
，
n
，
d
，
S
n
中的任意三个，便可求出其余< br>两个.
题型2 等差数列的判定与证明
*
例2 已知数列{
a
n
}满足2
a
n
＋1
＝
a
n
＋
a
n
＋2
(
n
∈N)，它的前
n
项和为
S
n
，且
a
3
＝5，
S
6
＝36 .
求数列{
a
n
}的通项公式；
解：∵2
a
n
＋1
＝
a
n
＋
a
n
＋2
，∴{< br>a
n
}是等差数列，设{
a
n
}的首项为
a
1
，公差为
d
，


a
1
＋2
d
＝5
由
a
3
＝5，
S
6
＝36得

，解得
a
1
＝1，
d
＝2. ∴
a
n
＝2
n
－1.

6
a
1
＋15
d
＝36


a
n
n
变式训练2 在数列{
a
n
}中，
a
1
＝1，
a
n
＋1
＝2
a
n
＋2.设
b
n
＝
n
－1
，证明：数列{
b
n
}是等差数列；
2
n
a
n＋1
2a
n
＋2a
n
n
证明：由已知a
n＋1
＝2a
n
＋2得 b
n＋1
＝
n
＝＝
n－1
＋1＝b
n
＋1 .
n
222
又b
1
＝a
1
＝1， 因此{b
n
}是首项为1，公差为1的等差数列．
小结与拓展：证明数列{
a
n
}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明
a
n
－< br>a
n
－1
（
n
≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2< br>a
n
=
a
n
－1
+
a
n
+ 1
（
n
≥2）.
题型3 等差数列的性质
例3 设等差 数列

a
n

的首项及公差均是正整数，前
n
项和 为
S
n
，且
a
1
1
，
a
46
，
∴

S
3
12
，则
a
2010
=_ _ _．答案：4020
变式训练3 在等差数列{
a
n
}中，已知log< br>2
(
a
5
＋
a
9
)＝3，则等差数列{a
n
}的前13项的和
第3页 共4页

S
13
＝________.答案：52
3
解：∵lo g
2
(
a
5
＋
a
9
)＝3，∴
a
5
＋
a
9
＝2＝8.
13×(
a
1< br>＋
a
13
)13×(
a
5
＋
a
9< br>)13×8
∴
S
13
＝＝＝＝52.
222
小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件
转化成关于< br>a
1
和
d
（
q
）的方程；②巧妙运用等差（比）数列 的性质（如下标和的性质、子
数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.
题型4 等差数列的前
n
项和及最值问题
例4 设等差数列{a
n
}的前
n
项和为
S
n
，已知
a< br>3
=12，
S
12
＞0，
S
13
＜0.
（1）求公差
d
的取值范围；
（2）指出
S
1
，
S
2
，
S
3
，…，
S
12
中哪一 个最大，并说明理由.
解：（1）
a
3
=12，∴
a
1< br>=12－2
d
，解得
a
12
=12+9
d
，
a
13
=12+10
d
.由
S
12
＞0，
S
13
＜0，即
＞0，且
12(a
1
a
12
)
2
13(a
1
a
13
)
24＜0，解之得－＜
d
＜－3.
2
7
（2）易知
a7
＜0，
a
6
＞0，故
S
6
最大.
变式训练4设等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
,若
a
1
11
,
a
4
a
6
6
,则当
S
n
取最小值
时,n等于( A )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】设该数 列的公差为
d
，则
a
4
a
6
2a
1< br>8d2(11)8d6
，解得
d2
，
所以
S
n
11n
n(n1)
2n
2
12n(n 6)
2
36
，所以当
n6
时，
S
n
取最小值。
2
d
2
d
n(a
1
)n
利
22
小结与拓展：等差数列的前
n
项和为
S
n
， 在
d0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时
的< br>n
值，有两种方法：一是求使
a
n
0,a
n1

0
，成立的
n
值；二是由
S
n

用二次函 数的性质求
n
的值.
2.等差数列{
a
n
}中，当
a
1
＜0，
d
＞0时，数列{
a
n
}为递增数列 ，
S
n
有最小值；当
a
1
＞0，
d
＜0时 ，数列{
a
n
}为递减数列，
S
n
有最大值；当
d
=0时，{
a
n
}为常数列.
3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
五、检测巩固： 1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的
和是16
，第二个数与第三个书的和是
12
，求这四个数．

(a d)
2
(ad)
16

ad
解：设这四个数为：
ad,a,ad,
，则


a
a

2 ad12


a4

a9
解得：

或

，所以所求的四个数为：
4,4,12,36
；或
15,9 ,3,1
．

d8

d6
2．由正数组成的等比数 列
{a
n
}
，若前
2n
项之和等于它前
2n
项中的偶数项之和的11倍，
第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列
{ a
n
}
的通项公式．
2
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