女生表白节-哈里波特与死亡圣器

等差数列练习
一、选择题
1.（ ）在100至500之间的正整数能被11整除的个数为 .35
解析：观察出100至500 之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列，
公差为11，an
=110+(n－1)·11=11n+99,由a
n
≤500,得n≤,n∈ N
*
,∴n≤36.答案：C
2.（ ）在数列{a
n
}中，a
1
=1,a
n+1
=a
n
2
－1(n≥1),则a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5< br>等于A.－1 B.1
解析：由已知：a
n+1
=a
n2
－1=(a
n
+1)(a
n
－1),∴a
2
=0,a
3
=－1,a
4
=0,a
5
=－1.答案：A
3.（ ）若数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
－2n+3，则此数列的前3项依次为A.－1,1,3 ,1,3 C.6,1,3 ,3,6
解 析：当n=1时，a
1
=S
1
=1
2
－2×1+3=2;当 n=2时，由S
2
=a
1
+a
2
=2
2
－ 2×2+3,得a
2
=1;
当n=3时，由S
3
=a
1< br>+a
2
+a
3
=3
2
－2×3+3,得a
3
=3.答案：B
4.（ ）等差数列｛a
n
｝中，a
4
+a
7
+a
10
=57,a
4
+a
5
+… +a
14
=275,a
k
=61,则k等于 .19 C
解析 ：∵3a
7
=a
4
+a
7
+a
10
=57 ,∴a
7
=19.由a
4
+a
5
+…+a
14=275,可得a
9
=25.∴公差d=3.
∵a
k< br>=a
9
+(k－9)·d,∴61=25+(k－9)×3,解得k=21.答案：D
5．（ ）设
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和，若
S
7
35
，则
a
4

A．
8
B．
7
C．
6
D．
5

解析：
S
n
是等差数列

an

的前
n
项和，若
S
7
7a
4< br>35,
∴
a
4

5
，选D.
6.（ ）已知｛a
n
｝是递增数列，且对任意n∈N
*
都有a
n
= n
2
+λn恒成立，则实数λ的取值范围是
A.(－
7
,+∞) B.(0,+∞) C.(－2,+∞)
2
D.(－3,+∞)
解析： 由｛a
n
｝为递增数列得a
n+1
－a
n
=2n+1+λ＞ 0恒成立,即λ＞－2n－1在n≥1时恒成立，
只需λ＞(－2n－1)
max
=－3,故选D.
7.（ ）设数列{a
n
}、{b
n
}都是等差数列，且a
1
=25,b
1
=75,a
2
+b
2
=100,那么由a
n
+b
n
所组成的数列的第37项为
.37 C D.－37
解析：∵{a
n
}、{b
n
}为等差数列，∴{an
+b
n
}也为等差数列.设c
n
=a
n
+b
n
,则c
1
=a
1
+b
1
=100,而c
2
=a
2
+b
2
=100,故d=c
2
－ c
1
=0.∴c
37
=100.答案：C
112
2

,且n≥2时，有=,则
a
n1
a
n1
a
n
3
22
－
22
=()
n
=()
n1
C.a
n
= =
33n2n 1
11211
2

解析：∵,n≥2,∴数列{}是等差数列.∵a1
=1,a
2
=,∴首项=1,公差
a
n1
a
n1
a
n
a
n
a
1
3
113111n 1
2
1
.∴
1(n1)
d=.∴a
n< br>=.答案：D
a
2
a
1
22a
n
22n1
8.（ ）数列{a
n
}中，a
1
=1,a
2
=
9.（ ）已知数列｛a
n
｝的通项公式为a
n
=(－1)
n1
·(4n－3),则它的前100项之和为
B.－200 D.－400
解析：S
100
=a
1
+a
2
+… +a
100
=1－5+9－13+17－…+(4×99－1)－(4×100－1)
=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－1)－(4×100－1)］=－4×50=－200.答 案：B
二、填空题
10.等差数列{a
n
}中，a
1
= －5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，
则抽取的是第__ _____项.
解析：由－5×11+
－
1110
d=55,得d=2. 由a
n
=5,a
n
=a
1
+(n－1)d得n=6.答案： 6
2
1
，且a
1
+a
3
+a
5
+…+a
99
=60，则a
2
+a
4
+a
6
+…+a
100
=_________.
2
解析：由等差数列的定义知a
2
+a
4
+a
6
+…+a
100
=a1
+a
3
+a
5
+…+a
99
+50d=60 +25=85.答案：85
12.在等差数列{a
n
}中，若a
1
+3a
8
+a
15
=120,则2a
9
－a
10< br>=________.
解析：∵{a
n
}是等差数列，∴a
1
+3a
8
+a
15
=5a
8
=120,即a
8< br>=24.又∵{a
n
}是等差数列，
∴a
8
+a
1 0
=2a
9
.∴2a
9
－a
10
=a
8< br>=24.答案：24
13.若△ABC三边a,b,c成等差数列，并且a
2
,b
2
,c
2
也成等差数列，则a,b,c的大小关系为 . < br>11.在等差数列{a
n
}中，公差为


2bac ,
解析：由题意得

2
由①得c=2b－a,代入②整理得a
2－2ab+b
2
=0.
22

2bac
∴a=b.答案：a=b=c
14．设
S
n
为等差数列

a
n

的前n项和，
S
4
＝14，S
10
－
S
7
＝30，则S
9
＝ .
解析：设等差数列

a
n

的首 项为a
1
，公差为d，由题意得
4a
1

①
②
4(41)
d14,

2
10(101)7(71)9(9 1)
[10a
1
d][7a
1
d]30
，联立解 得a
1
=2,d=1，所以S
9
＝
92154
< br>222
解析：－21=
15.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－2 1的等差数列，则n= .
(n2)(93)
,∴n=5.答案：5 2
16.等差数列{a
n
}中，a
1
+a
2
+ a
3
=－24,a
18
+a
19
+a
20
=78,则此数列前20项的和等于 .
解析：由a
1
+a
2
+a
3
=－24,可得3a
2
=－24;由a
18
+a
19
+a
20
=78,可得3a
19
=78,即a< br>2
=－8,a
19
=26.
20(a
1
a
20
)
=10(a
2+
a
19
)=10(－8+26)= 180.答案：180
2
17. 设等差数列
{a
n
}
的 前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7
a
8
a
9

45
∴S
20
=
解析：S
3
、
S
6
S
3
、
S
9< br>S
6
成等差数列，从而
a
7
a
8
a
9
S
9
S
6
2

S
6S
3

S
3
2S
6
3S
3< br>2363945

18.在数列{a
n
}中，a
1
=3，且对任意大于1的正整数n，点（
a
n
，
a
n1< br>）在直线x－y－
3
=0上，则a
n
=
解析：将点 代入直线方程得
a
n
－
a
n1
=
3
，由 定义知{
a
n
}是以
3
为首项，
以
3
为 公差的等差数列，故
a
n
=
3
n，即a
n
=3n< br>2
.答案：3n
2

三、解答题
19.已知等差数列｛a< br>n
｝中，a
1
+a
4
+a
7
=15,a2
a
4
a
6
=45,求其通项a
n
.
解：∵a
1
+a
7
=2a
4
,且a
1
+ a
4
+a
7
=15,∴a
4
=5.又∵a
2
a
4
a
6
=45,∴a
2
a
6
=9.
设其公差为d,又a
4
=5,∴a
2
=a
4
－2d ,a
6
=a
4
+2d.代入a
2
a
6
=9 可得
(5－2d)(5+2d)=925－4d
2
=9d=±2.
当d= 2时，a
n
=a
4
+(n－4)d=5+(n－4)×2=2n－3(n∈N
*
);
当d=－2时，a
n
=a
4
+(n－4) d=5+(n－4)×(－2)=13－2n(n∈N
*
).
20. 设等差数列< br>
a
n

的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
12
，
S
12
0
，S
13
0
。（1）求公差
d
的取值范围；
（2）指 出
S
1
、
S
2
、…、
S
12
中哪 一个值最大，并说明理由。
1211

12ad0

S12
0


2a
1
11d0

1
2




解：（1）


S 0
1312a6d0

13

13ad0
< br>1
1

2

而
a
3
a
1
2d12
，得
a
1
122d


2a11d0

247d0
24

24



1


d3
故公差
d
的取 值范围为

,3

。
7

7

3d0

a
1
6d0
n(n1)n(n 1)d

124

（2）
S
n
na
1< br>dn(122d)d

n(5)


222< br>
2d

2
d

124

24

24


1


(5)

，
Qd0
，

当

n(5)

最小时
S
n
最大。而
d

,3

，
2

2d

2d


7


1

24

13
6

5


，
n6
时，
S
n
最大。S
6
最大。
2

d

2

22

21.在等差数列{a
n
}中，a
1
=－60,a
17
=－12. (1)求通项a
n
; (2)求此数列前30项的绝对值的和.
解：(1)a
17
=a
1
+16d,即－12=－60+16d,∴d=3.∴a
n
=－60+3(n－1)=3n－6 3.
(2)由a
n
≤0,则3n－63≤0n≤21.∴|a
1
| +|a
2
|+…+|a
30
|=－(a
1
+a
2< br>+…+a
21
)+(a
22
+a
23
+…+a
30
)=(3+6+9+…
(360)(327)
×20+×9=765. < br>22
22．已知数列

a
n

的首项为
a< br>1
=3，通项
a
n
与前n项和
s
n
之间满足 2
a
n
=
s
n
·
s
n
+60)+ (3+6+…+27)=
(1)求证：

。
1
（n
≥< br>2）

1


是等差数列，并求公差； (2)求数列

a
n

的通项公式。
S

n

111

1

1

∴

是等差数列，且公差为－
S
n
S
n1
2

S
n

2
解： (1)2（
S
n
Sn1
）=
S
n
S
n1

(2)


1116
18
(n1)()S
n

当 n=1时，a
1
=3当n≥2时，a
n
=S
n
－
S
n-1
=
S
n
3253n
(3n5)(3n8)