什么显卡好-悌的意思

课时作业7 等差数列的性质
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．若一个数列的通项公式是a
n
＝k·n＋b(其中b，k为常数)，则下
列说法中正确的是( )
A．数列{a
n
}一定不是等差数列
B．数列{a
n
}是以k为公差的等差数列
C．数列{a
n
}是以b为公差的等差数列
D．数列{a
n
}不一定是等差数列
【答案】 B
【解析】 a
n
＋
1
－a
n
＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k. < br>2．等差数列中，若a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
＋a
9
＝420，则a
2
＋a
10
等于( )
A．100
C．140
【答案】 B
【解析】 ∵a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
＋a
9
＝7a
6
＝420，则a
6
＝60，
∴a
2
＋a
10
＝2a
6
＝2×60＝120.
3．在等差 数列{a
n
}中，a
15
＝33，a
25
＝66，则a35
＝________.
【答案】 99
【解析】 a
15
，a
25
，a
35
成等差数列，
∴a
35
＝2a
25
－a
15
＝99.
B．120
D．160

4．已知单调递增的等差数列{a
n
}的前三项之和为21，前三项之
积为231，求数列{a
n
}的通项公式 ．
【分析】 关键是求出数列{a
n
}的首项和公差．
【解析】 由于数 列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为

a－d＋a＋a＋d＝21，
a－d， a，a＋d，于是可得


a－daa＋d＝231，

3 a＝21，
即


aa
2
－d
2
＝2 31，




a＝7，
即


d
2
＝16，


由于数列为单调递增数列，因此d＝4，a
1
＝3，从而{a
n< br>}的通项公
式为a
n
＝4n－1.
【规律方法】 此解法恰到好处地 设定等差数列的项，为我们的
解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量．一般来说，已知
三个数成等差数列时，可设成：a－d，a，a＋d，四个数成等差数列时，
可设成：a－3d，a－ d，a＋d，a＋3d，其余依此类推，如五个可设成：
a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．在等差数列{a
n< br>}中，a
5
＝3，a
9
＝5，则a
7
＝( )
A．4
C．7
【答案】 A
B．－4
D．1

1
【解析】 由题意知a
7
为a
5
，a
9
的等差中项，故a
7
＝
2
(a
5< br>＋a
9
)＝
1
2
×(3＋5)＝4.
2．在等差数 列{a
n
}中，若a
3
＋a
5
＋a
7
＋a
9
＋a
11
＝100，则3a
9
－a
13
的值为( )
A．20
C．40
【答案】 C
【解析】 ∵a
3
＋a
11
＝a
5
＋a
9
＝2a7
，
∴a
3
＋a
5
＋a
7
＋a9
＋a
11
＝5a
7
＝100，
∴a
7
＝20.
∴3a
9
－a
13
＝3 (a
7
＋2d)－(a
7
＋6d)＝2a
7
＝40. 3．在等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
4
＋a
7
＝39，a
2
＋a
5
＋a
8
＝33，则a
3
＋a
6
＋a
9
的值为( )
A．30
C．24
【答案】 B
【解析】 方法一：由等差数列的性质知，a
1
＋a
4
＋a
7
，a
2
＋a
5
＋
a
8
，a
3
＋a
6
＋a
9
成等差 数列，所以(a
1
＋a
4
＋a
7
)＋(a
3
＋a
6
＋a
9
)＝2(a
2
＋a
5
＋a
8
)，
则a
3
＋a
6
＋a
9
＝2×33－39＝27.
方法二：(a
2
＋a
5
＋a
8
)－(a
1
＋a
4
＋a
7
)
B．27
D．21
B．30
D．50

＝3d(d为数列{a
n
}的公差)，则d＝－2，
a3
＋a
6
＋a
9
＝(a
2
＋a
5＋a
8
)＋3d＝33－6＝27.
4．把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较
1
大的三份之和的
7
是较小的两份之和，问最小的1份是( )
5
A.
6

5
C.
3

【答案】 C
【解析】 设这5份为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
1
由已知得a＝20，且
7
(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
555
∴d＝
6
，∴a－2d＝
3
.
5．等差数 列{a
n
}的公差d<0，且a
2
a
4
＝12，a
1
＋a
5
＝8，则其通项
公式为( )
A．a
n
＝2n－2
C．a
n
＝－2n＋12
【答案】 D
【解析】 由等差数列的性质得a
2
＋a
4
＝a
1
＋a
5
＝8.
又a
2
a
4
＝12，所以a
2
，a
4
为方程x
2
－8x＋12＝0的 两根，
B．a
n
＝2n＋4
D．a
n
＝－2n＋10
10
B.
3

11
D.
6

< br>a
2
＝2，
解得


a
4
＝6

a
2
＝6，
或


a
4
＝2.

a
4
－a
2
当 a
2
＝2，a
4
＝6时，d＝＝2>0(舍去)，
4－2
a
4
－a
2
当a
2
＝6，a
4
＝2时，d ＝＝－2.
4－2
所以数列的通项公式为a
n
＝a
2
＋( n－2)d＝6＋(n－2)×(－2)＝－
2n＋10.
即a
n
＝－2n＋10.
6．设{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，且a
1
＝25，b
1
＝75，a
2＋b
2
＝100，
则a
37
＋b
37
等于( )
A．0
C．100
【答案】 C
【解析】 设{a
n
}，{b
n
}的公差分别是d
1
，d
2
，∴( a
n
＋
1
＋b
n
＋
1
)－(a
n
＋b
n
)＝(a
n
＋
1
－a
n
) ＋(b
n
＋
1
－b
n
)＝d
1
＋d
2
，
∴{a
n
＋b
n
}为等差数列．
又∵a
1
＋b
1
＝a
2
＋b
2
＝100，
∴a
37
＋b
37
＝100.
故正确答案为C.
7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正
数，第七项起为负数，则它的公差是 ( )
A．－2
C．－4
B．－3
D．－5
B．37
D．－37

【答案】 C
【解析】 设该数列的公差为d，则由题设条件知：
a
6
＝a
1
＋5d>0， a
7
＝a
1
＋6d<0.
23

d>－

5
，
又∵a
1
＝23，∴

23

d<－
6
，
2323
即－
5
6
.
又∵d是整数，∴d＝－4，故选C.
8．已知数列{a
n
}、{b
n
}都是公差为1的等差数列，其首项分别为
a
1
、b< br>1
，且a
1
＋b
1
＝5，a
1
，b
1
∈N
＋
.设c
n
＝ab
n
(n∈N
＋< br>)，则数列{c
n
}的
前10项和等于( )
A．55
C．85
【答案】 C
【解析】 由题c
n
＝ab
n
(n∈N
＋
)，
则数列{c< br>n
}的前10项和等于ab
1
＋ab
2
＋…＋ab
1 0
＝ab
1
＋ab
1
＋1
＋…＋ab
1
＋ 9.
∵ab
1
＝a
1
＋(b
1
－1)＝4， < br>∴ab
1
＋ab
1
＋1＋…＋ab
1
＋9＝4＋5＋ …＋13＝85.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．已知{a
n
}为等差数列，a
1
＋a
3
＋a
5
＝105，a
2
＋a
4
＋a
6
＝99，则
a
20
＝__ ______.
B．70
D．100

【答案】 1
【解析】 ∵a
1
＋a
3
＋ a
5
＝105，即3a
3
＝105，∴a
3
＝35，
同理a
4
＝33，∴d＝a
4
－a
3
＝－2，
∴a
20
＝a
4
＋(20－4)d＝1.
10．等差数列 {a
n
}中，a
1
＋a
4
＋a
10
＋a< br>16
＋a
19
＝150，则a
18
－2a
14
＝________.
【答案】 －30
【解析】 由a
1
＋a
4
＋a
10
＋a
16
＋a
19
＝5a
1 0
＝150，得a
10
＝30，a
18
－2a
14
＝(a
10
＋8d)－2(a
10
＋4d)＝－a
10
＝－ 30.
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
11．(1)已知数列{a
n
}为等差数列，若a
1
－a
5
＋a
9
－a
13
＋a
17
＝117，
求a
3
＋a
15
.
(2)在等差数列{a
n
}中，已 知a
2
＋a
5
＋a
8
＝9，a
3
a
5
a
7
＝－21，求数
列{a
n
}的通项公式．
【解析】 (1)方法一：∵数列{a
n
}是等差数列，∴设数列{a
n}的首
项为a
1
，公差为d，则由题意得a
1
－(a
1
＋4d)＋(a
1
＋8d)－(a
1
＋12d)＋
(a1
＋16d)＝117，
∴a
1
＋8d＝117.
从而a< br>3
＋a
15
＝(a
1
＋2d)＋(a
1
＋1 4d)＝2(a
1
＋8d)＝234.
方法二：由等差数列的性质知，a
1
＋a
17
＝a
5
＋a
13
＝a
3
＋a
15
＝2a
9
.
∵a
1
－a
5＋a
9
－a
13
＋a
17
＝117，

∴a
9
＝117，∴a
3
＋a
15
＝2a
9
＝234.
(2)∵a
2
＋a
5
＋a
8
＝9，a
3
a
5
a
7
＝－21，a
2
＋ a
8
＝a
3
＋a
7
＝2a
5
，∴a
5
＝3，
∴a
3
＋a
7
＝2a
5
＝6， a
3
a
7
＝－7，
解得a
3
＝－1，a
7
＝7或a
3
＝7，a
7
＝－1.
又a
7
＝a
3
＋4d，∴当a
3
＝－1，a
7
＝7时，可得d＝ 2；
当a
3
＝7，a
7
＝－1时，可得d＝－2.
根据 a
n
＝a
3
＋(n－3)d，可得当a
3
＝－1，d＝2时 ，a
n
＝2n－7；当
a
3
＝7，d＝－2时，a
n
＝－2n＋13.
12．已知无穷等差数列{a
n
}中，首项a
1
＝3，公差d＝－5，依次
取出序号能被4除余3的项组成数列{b
n
}．
(1)求b
1
和b
2
；
(2)求{b
n
}的通项公式；
(3){b
n
}中的第503项是{a
n
}的第几项？
【解析】 数列{b
n
}是数列{a
n
}的一个子数列，其序号构成 以3
为首项，4为公差的等差数列，由于{a
n
}是等差数列，则{b
n}也是等差
数列．
(1)∵a
1
＝3，d＝－5，∴a
n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.
数列{a
n
}中序号能被4除余3的项 是{a
n
}中的第3项，第7项，
第11项，…，∴b
1
＝a
3
＝－7，b
2
＝a
7
＝－27.
(2)设{a
n
}中的第m项是{b
n
}的第n项，即b
n
＝a
m，

则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴b
n
＝a
m
＝a
4n
－
1
＝8－5(4n－1)＝13－20n.
即{b
n
}的通项公式为b
n
＝13－20n.
(3)b
503
＝13－20×503＝－10 047，设它是{a
n
}中的第m项，则－
10 047＝8－5m，则m＝2 011，即{b
n
}中的第503项是{a
n
}中的第2 011
项．