等差数列练习题(含答案)
杜甫绝句-教师年度考核个人总结
2019
年
04
月
12
日数学试卷
姓名： ____________ 班级： ___________ 考号：
____________
一、选择题
1.
在等差数列
{a
n
}
中
,
已知
a
4
a
8
16
,
则该数列前
11
项和
S
11
( )
A.
58
B.
88
C.
143
D.
176
2.
设
S
n
是等差数列
a
n
的前
n
项和
,
已知
a
2
3,a
6
11
,
则
S
7
等于
()
,
则
=( ) D.
A. B. C.
4.
《九章算术》
“竹九节”问题
:
现有一根
9
节的竹子
,
自上而下各节的容积成等差
数列 节的容积共
3
升
,
下面
3
节的容积共
4
升
,
则第
5
节的容积为
()
A.
1
升
B.
6
66
7
升
C.
4
44
7
升
D.
3
3
7
3
升
( )
,
上面
4
5.
若等差数列
a
n
的前
5
项和
S
5
25
,
且
a
2
3
,
则
a
7
6.
已知
a
n
是等差数列
,
a
3
a40
,
则
aa
11
6?
7?
a
8
等于
( ).
3
，则
S
5
等于
( )
a
8
等于
( ).
D.
不存在
7.
设
是等差数列
a
n
的前
S
n
8.
已知
a
n
是等差数列
,
a
3
n
项和，若
a
1
a
3
a
5
a
11
40
,
则
a
6?
a
7?
二、填空题
9.
《九章算术》 “竹九节 ”问题
:
现有一根
9
节的竹子
,
自上而下各节的容积成等差数列
,
上
面
4
节的容积共
3
升
,
下面
3
节的容积共
4
升
,
则第
5
节的容积为 升
.
2 2
1
的等差数列
,
则
10.
已知方程
x
2
2x
m x
2
2x n 0
的四个根组成一个首项为
4
m n
= ___________ .
11.
已知△
ABC
的一个内角为
120
o
,
并且三边长构成公差为
4
的等差数列
,
则△
ABC
的面
积 为 _______
.
12.
在等差数列
a
n
中
,
若
a
4
a
6
a
8
a
10
a
12
240
,
则
a
9
1
a
11
的值为 _________
.
3
13.
在等差数列
a
n
中
,
a
3
, a
15
是方程
x
2
6x
1 0
的两根
,
则
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
____________________________
.
14.
已知数列
a
n
是等差数列
,
若
a
1
a
5
a
9
三、解答题
a
13
a
17
117
,
则
a
3
a
15
= __________
15.
已知等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,
等比数列
b
n
的前
n
项和为
T
n
,
a
1
1
,
b
1
1
,
a
2
b
2
2
.
1).
若
a
3
b
3
5
,
求
b
n
的通项公式
;
2).
若
T
3
21
,
求
S
3
.
16.
在公差为
d
的等差数列
a
n
中
,
已知
a
1
10
,
且
a
1
,
2a
2
2
,
5a
3
成等比数列
1).
求
d
,
a
n
;
2).
若
d 0
,
求
a
1
a
2
a
3
L a
n
17.
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和
,
且
a
1
=1
,
S
7
28
.
记
b
n
的最
大整数
,
如
0.9 =0
,
lg99 =1
.
1).
求
b
1
,
b
11
,
b
101
;
2).
求数列
b
n
的前
1000
项和
.
lga
n
,
其中
x
表示不超过
x
18.
已知
a
n
为等差数列
,
且
a
3
1).
求
a
n
的通项公式
;
2).
若等比数列
b
n
满足
b
1
6
,
a
6
0
8?
,
b
2
a
1
a
2
a
3
,
求
b
n
的前
n
项和公式
19.
已知数列
a
n
的首项为
1,
S
n
为数列
a
n
的前
n
项和
,
S
n 1
qS
n
1
其中
q 0
,
n
N
*
若
2a
2
,a
3
,a
2
成等差数列
,
求
a
n
的通项公式
.
20.
已知
b
是
a,c
的等差中项
,
lg b 5
是
lg a 1
与
lg c 6
的等差中项
,
又
a,b,c
三数 之和为
33,
求这三个数
.
个数成等差数列
,
这
4
个数的平方和为
94.
第
1
个数与第
4
个数的积比第
2
个数与第
3
个
数 的积少
18.
求这四个数
.
22.
已知
a
n
是等差数列
,
且
a
1
a
2
a
3
12
,
a
8
16
1).
求数列
a
n
的通项公式
2).
若从列
a
n
中
,
一次取出第
2
项
,
第
4
项
,
第
6
项
,
第
2n
项
,
按原来顺序组成一个新数列
b
n
,
试求出
b
n
的通项公式
.
23.
设
a
n
是公差不为零的等差数列
,
S
n
为其前
n
项和
,
满足
a
2
2
a
3
2
a
4
2
a
5
2
, S
7
7
. 1).
求数列
a
n
的通项公式及前
n
项和
S
n
;
aa
2).
试求所有的正整数
m
,
使得
m m 1
为数列
a
n
中的项
.
a
m 2
参考答案
一、选择题
1.
答案：
B
解析：由等差数列性质可知
,
a
4
a
8
a
1
a
11
16
,
所以
S
1
11
11
(aa
11
)
2.
答案：
C
解析：根据等差数列性质及求和公式
得
答案：
A
解析： 因为
,
数列
在中
,
所以 从而有
,
上述
n-1
个式子两边分别相加得
,
所以
,
故选
A
。
考点
:
对数函数的性质
,
数列的通项公式。
点评
:
中档题
,
利用“累加法
”求和
,
再应用对数函数的性质即得。
4.
答案：
B
解析：设该数列
a
为
n
,
公差为
d
,
13
则
｛
a
1
a
2
a
3
a
4
3,
即
｛
4a
1
6d 3,
a
1
解得
a
7
a
8
a
9
4, 3a
1
21d 4.
｛
22
,
d
7
,
66
∴第
5
节的容积
a
为
5
a
1
4d 13 7
升
).
22
4
67
(
5.
答案：
B
66
66
解析：
S5
5(a1
a
5
) 5(a
2
a
4
)
a
4
7
,
所以
a
7
a
2
5d a
2
5
a4 a2
13
,
选
2 2
7 2 2
B.
2
6.
答案：
B
解析：
7.
答案：
A
.
故选
C
88
解析：
8.
答案：
A
解析：
二、填空题
9.
答案：
67
66
解
析：设该数列为
a
n
,
其公差为
d ,
a
1
a
2
a
3
a
4
3,
则
{
1
4,
4a
1
6d 3,
即
{
1
3a
1
21d 4,
a
13
1
,
解之得
{
22
{
d
7
,
66
所以第
5
节的容积为
a
5
a
1
4d
13
767
5 1
4
（
升
）.
22
66 66
1
10.
答案：
2
解
11 1
析：
由题意设这
4
个根为
44
1
,
1
1 d,
2d , 3d
1
4
4
则
4 6d 4
4
所以
1 d
2
这
4
个根依次
1
,
3
,
5
,
7
为
444 4
所以
n
17 7
35 15 15 7
44 16
,m
44 16
或
n
16
16
,
m
所以
|m-n|=
1
2
11.
答案：
15 3
解析：设三角形的三边长分别为
a 4, a, a 4
,
最大角为
,
由余
弦定理得
(a
4)
2
a
2
(a 4)
2
2a(a
4)cos120
,
则
a 10
,
所以三边
长为
6,10,14.
△
ABC
的面积为
S
1
6 10
sin120 15 3
.
12.
答案：
32
2
解析：由等差数列的性质
,
得
a
4
a
6
a
8
a
10
a
12
240
,
解得
a
8
48
11
设等差数列
a
n
的公差为
d, a
9
a
11
a
8
d
a
8
3d
13.
解析：
答案：
15
33
2
2
3
a
8
32
14.
答案：
234
解析：
三、解答题
15.
答案：
1.
设
a
n
的公差为
d
,
b
n
的公比为
q
,
则
a
n
1 n 1
d
,
b
n
q
n1
.
由
,
通项公式
,
意在考查学生的方程思想的运
【命题意图】
本题考查等差数列和等比数列的
性质以及数列求和 用和求解运算能力
.
16.
答案：
1.
d 1
或
d
4
;
a
n
2.
a
1
a
2
a
3
a
n
21
n
2
n,n
11
2
211
1
2
n 110,n 12
n
2
1
2
n 11(n
N )
或
a
n
4n 6(n N )
2
2a
2
2
,
解析：
1.
由题意
,
得
a
1
5a
3
2
∴
d
∴
d
3d 4 0
,
1
或
d
4
.
n 11 n N
*
或
a
n
4n 6
项和为
S
n
.
2.
设数列
a
n
的前
n
∵
d
0
,
由
1
得
d
a
1
1
,
a
n
a
2
11
,
a
3
则当
n 11
时
,
当
n
12
时
,
a
1
a
n
22
1
2
21
n n
.
S
n
2S
11
1
n
2
211
a
2
a
3
a
n
n
11
1
2
21 n n,n
22
1
2
211
2
n 110
.
2
11
综上所述
a
1
a
2
a
3
n
2
n 110,n 12
22
7 21d
28
,
17.
答
1.
设
a
n
的公差为
d
,
据已知有
案：
1.
2
得
d q 3
①.
b
3
5
得
2d q
2
解得
d
的通项公式为
a
n
n.
a
2
b
2
由
3
a
1,
联立①
d
和②
解得
｛
d
(
舍去
),
d {
qq
2.
0
3,
6
②.
因此
b
n
的通项公式为
b
n
2
n 1
.
2.
由
b
1
1
,
T
3
21
得
q
2
q
20
0
.
解得
q
5
,
q
4
.
当
q 5
时
,
由① 得
d
8
,
则
S
3
21
当
q 4
时
,
由① 得
d
解析：
1
,
则
S
3
6
b
1
[lg1]
0
,
b
11
[lg11] 1
,
b
101
[lg101] 2
.
0,
1 n 10,
1, 10 n 100,
n 1000,
3, n
1000.
所以数列
b
n
的前
1000
项和为
:
1 90 2 900 3 1 1893
.
2.
因为
b
n
{
n
2,100
解析：先用等差数列的求和公式求公差
d
,
从而求得通项
a
n
,
再根据已知条件
x
表示不超
过
x
的最大整数 求
,
1
,
11
,
101
;
bbb
对
n
分类讨论
,
再用分段函数表示
b
n
,
再求数列
b
n
的前
1 000
项和
.
考点
:
等差数列的的性质
,
前
n
项和公式
,
对数的运算
.
18.
答案：
1.
设等差数列
a
n
的公差
d
因为
a
3
6,a
6
以
{a
1
1
2d
0
所
5d
a
?
解得
0
6
a
1
10,d 2
所以
a
n
10 n 1 2 2n 12
b
1
1
1
1
n
q
2.
设等比数列
b
n
的公比为
q
因为
b
2
aa
2
a
3
24,b
8
所以
8q 24
即
q 3
所以
b
n
的前
n
项和公式为
S
n
解析：
19.
答案：
由已知
,
S
n 1
qS
n
1,S
n 2
q
4
1 3
n
qS
n1
1
,
两式相减
,
得
a
n 2
qa
n 1
,n 1 qa
n
对
又由
S
2
qS
1
1
,
得
a
2
qa
1
故
a
n 1
所有
n 1
都成立
.
所以数列
a
n
是首项为
1,
公比为
q
的等比数列
.
从而
a
n
q
n 1
由
2a
2
,a
3
,a
2
2
成等比数列
,
可得
2a
3
3a
2
2
即
2q
2
3q
2,
则
2q 1 q
0 ,
故
q
2
1*
2
0
由已知
,
q
所以
a
n
2
n
1
n
N
*
解析：
2b a c
20.
答
案：
由已知
,
得
abc
33
lg a 1 lg c 6
alg b 5
b 11
所以
a
c
22
b 5
a
1c6
解得
a
4,b 11,c
18
或
a
13,b 11,c 9
解析：
21.
a 3d,a d,a d,a 3d
,
据题意得
,
答案：设
4
个数依次为
2
2
a
3d
ad
7
2 2 2
a d a 3d 94
7
a
3d a
3d 18 a d a d
a
d
解得
a
d
2
或
3
2
3
2 2
因此这
4
个数以此为
8,5,2-1
或
1,-2,-5,-8
或
-1,2,5,8
或
-8,-5,-2,1.
解析：
22.
答案：
1.
因为
a
1
a
2
a
3
12
,
a
2
4
a
2
8 2 d
所以
4 6d
16
d
2
.
所以
因为
a
8
所以
a
n
2.
a
2
a
2
n 2 d 4 n
4n 4
2 2 2n
4,a
4
8,
a
6
12,L a
2n
a
2
2 2n 4n
当
n 1
时
,
a
2n
n 1
n 1 4
.
aaa
2 2 2
5
4 3
.
所以
b
n
是以
4
为首项
,4
为公差的等差数列 所以
b
n
b
1
n
1 d 4 4 n 1 4n
解析：
2
23.
答案：
1.
设公差为
d
,
则
a
3
d
a
4
a
3
,
a
2
2
由等差数列的性质
,
得
3d
0
.
a
4
因为
d 0
所以
a
4
a
3
0
,
即
2a
1
5d
又由
S
7
7
,
得
7a
1
7 6
d
7.
7 1
所以
2
解得
a
1
5,d 2
.
2n 7
,
前
n
项和
S
n
n
2
6n
.
a
n
的通项公式为
a
n
a
m
a
m 1
2
2m 7
2m 5 8
2m 9
2m
3 2m 3
2.
由
1
知
,
m m 1
a
m 2
若使其为数列
a
n
中的项
,
则
8
必为整数
,
n
2m 3
且
m
为正整数
,
∴
m 2
或
m
1?
.
当
m
2
时
,
amam
1 a
m 2
3,
而
a
5
3
.
满足条件
,
当
m
?1
时
,
amam 1 a
m 2
15 ,
而数列
a
n
中的最小项是
5
,
不符合
所以满足条件的正整数
m
为
2.
解析：