你是我的好朋友-小马哥是谁

等差数列及其前
n
项和考点与题型归纳
一、基础知识
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
，
d为常数 )．
a＋b
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝
，其中A 叫做a，b的等
2
差中项．
在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列 的末项除外都是它的前一项
与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
(2)前 n项和公式：S
n
＝na
1
＋
nn－1na
1
＋a
n

d＝.
22
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)a
n＝a
1
＋(n－1)d可化为a
n
＝dn＋a
1
－d的 形式．当d≠0时，a
n
是关于n的一次函数；
当d>0时，数列为递增数列；当d< 0时，数列为递减数列．
(2)数列{a
n
}是等差数列，且公差不为0⇔S
n
＝An
2
＋Bn(A，B为常数)．
二、常用结论
已知{a
n
}为等差数列，d为公差，S
n
为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(n，m∈N< br>*
)．
(2)在等差数列{a
n
}中，当m＋n＝p＋q时，am
＋a
n
＝a
p
＋a
q
(m，n，p，q∈N
*
)．特别地，
若m＋n＝2p，则2a
p
＝a
m
＋a
n
(m，n，p∈N
*
)．
(3)a
k
，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，…仍是等差数列， 公差为md(k，m∈N
*
)．
(4)S
n
，S
2n－S
n
，S
3n
－S
2n
，…也成等差数列，公差为n
2
d.
(5)若{a
n
}，{b
n
}是等差数列 ，则{pa
n
＋qb
n
}也是等差数列．

S
n

(6)若{a
n
}是等差数列，则

n

也成等差数列，其首项与{a
n
}首项相同，公差是{a
n
}公差的


1
.
2
S
奇
a
n
(7)若项数为偶数2n，则S
2n
＝n(a
1
＋a
2n
) ＝n(a
n
＋a
n
＋
1
)；S
偶
－S奇
＝nd；
＝
.
S
偶
a
n
＋
1
S
奇
n
(8)若项数为奇数2n－1，则S
2n
－1
＝(2n－1)a
n
；S
奇
－S
偶
＝an
；
＝
.
S
偶
n－1


a
m
≥0，
(9)在等差数列{a
n
}中，若a
1
>0，d<0，则满足

的项数m使得S
n
取得最大值S
m
；

a
m
＋
1
≤0



a
m
≤0，
若a
1
<0，d>0，则满足

的项 数m使得S
n
取得最小值S
m
.

a
m
＋
1
≥0





考点一 等差数列的基本运算

[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ) 记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若3S
3
＝S2
＋S
4
，a
1
＝2，
则a
5
＝( )
A．－12
C．10
B．－10
D．12
(2)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a< br>2
＝4，S
4
＝22，a
n
＝28，则n＝( )
A．3
C．9
B．7
D．10
[解析] (1)设 等差数列{a
n
}的公差为d，由3S
3
＝S
2
＋S
4
，得3(3a
1
＋3d)＝2a
1
＋d＋4a
1
＋
6d，即3a
1
＋2d＝0.将a
1
＝2代入上式，解得d＝－ 3，故a
5
＝a
1
＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝
－10.
22－4a
2

(2)因为S
4
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝4a
2
＋2d＝22，d＝
＝3，a
1
＝a
2
－d＝4－3＝1， a
n
2
＝a
1
＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3 n－2＝28，解得n＝10.
[答案] (1)B (2)D
[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a
1
，a
n
，d，n，S
n
，知其中三个就
能求另外两个，体现 了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a
1< br>和d是等差数
列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
[提醒] 在 求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运
算的准确性．在遇到一些较复 杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．

[题组训练]
1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n，且a
1
＋a
5
＝10，S
4
＝
16，则数列 {a
n
}的公差为( )
A．1
C．3
B．2
D．4


a
1
＋a
1
＋4d＝1 0，
解析：选B 设等差数列{a
n
}的公差为d，则由题意，得

4×3
4a
1
＋
×d＝16，

2

< br>
a
1
＝1，
故选B.


d＝2，


解得

2．已知等差数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
3
·a
5＝12，a
2
＝0.若a
1
>0，则S
20
＝( )
A．420
C．－420
B．340
D．－340
解析：选D 设数列{a
n
}的公差为d，则a
3
＝a
2< br>＋d＝d，a
5
＝a
2
＋3d＝3d，由a
3
·a< br>5
＝12
20×19
得d＝±2，由a
1
>0，a
2
＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a
1
＝2，故S
20
＝20 ×2＋
×
2
(－2)＝－340，选D.
3．在等差数列{a
n
}中，已知a
5
＋a
10
＝12，则3a
7
＋a
9
＝( )
A．12
C．24
B．18
D．30
解析：选C 设等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，
因为a
5
＋a
10
＝12，
所以2a
1
＋13d＝12，
所以3a
7
＋a
9
＝3(a
1
＋6d)＋a
1
＋8d＝4a
1
＋26 d＝2(2a
1
＋13d)＝2×12＝24.

考点二 等差数列的判定与证明

1
[典例] 已知数列{a
n
}的前n项和 为S
n
且满足a
n
＋2S
n
·S
n
－1
＝0(n≥2)，a
1
＝.
2

1
(1)求证：

S

是等差数列．

n

(2)求a
n
的表达式．
[解] (1)证明：因为a
n
＝S
n
－S
n－1
(n≥2)， < /p>

又a
n
＝－2S
n
·S
n－1
，所以 S
n－1
－S
n
＝2S
n
·S
n－1
，S
n
≠0.
11
因此－＝2(n≥2)．
S
n
S
n－1

1

11
故由等差数列的定义知

S

是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．
S
1
a
1

n

11
(2)由(1)知
＝＋(n－1)d＝2＋( n－1)×2＝2n，
S
n
S
1
1
即S
n
＝.
2n< br>1
由于当n≥2时，有a
n
＝－2S
n
·S
n－1< br>＝－
，
2nn－1
1
又因为a
1
＝
，不适合上式．
2


所以a
＝

1
－，n≥2.

2nn－1
n
1
，n＝1，
2



[题组训练]
1．(2019·陕西质检)已知数列{a
n
}的 前n项和S
n
＝an
2
＋bn(a，b∈R)且a
2
＝3， a
6
＝11，
则S
7
等于( )
A．13
C．35
解析：选B 由S
n
7a
2
＋a
6

＝49.
2< br>2．已知数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＝2－< br>数列{b
n
}是等差数列．
证明：∵a
n
＝2－
1
(n≥2)，∴a
n＋1
＝2－.
a
n
a
n－1
1
1
(n≥2，n∈N
*
)，设b
n
＝(n∈N< br>*
)．求证：
a
n
－
1
a
n
－1< br>1
B．49
D．63
＝an
2
＋bn(a，b∈R )可知数列{a
7a
1
＋a
7

＝
n
} 是等差数列，所以S
7
＝
2
a
n
－1
1111∴b
n＋1
－b
n
＝
－＝－＝＝1，
a
n＋ 1
－1a
n
－1
2－
1
－1
a
n
－1a
n
－1
a
n

∴{b
n
}是首 项为b
1
＝

1
＝1，公差为1的等差数列．
2－1

考点三 等差数列的性质及应用


考法(一) 等差数列项的性质
[典例] (1)已知在等差数列{a
n
}中，a
5＋a
6
＝4，则log
2
(2a
1
·2a
2< br>·…·2a
10
)＝( )
A．10
C．40
B．20
D．2＋log
2
5
S9
(2)(2019·福建模拟)设S
n
，T
n
分别是等差数列 {a
n
}，{b
n
}的前n项和，若a
5
＝2b
5
，则
T
9
＝( )
A．2
C．4
B．3
D．6
×
[解析] (1)因为2a
1
· 2a
2
·…·2a
10
＝2a
1
＋a
2
＋ …＋a
10
＝25(a
5
＋a
6
)＝2
54
，
所以log
2
(2a
1
·2a
2
·…·2a
10
)＝log
2
2
54
＝20.选B.
×9a
1
＋a
9

2
a
5
S
9
a
5
(2)由a
5
＝2b
5
，得
＝2， 所以＝＝＝2，故选A.
b
5
T
9
9b
1
＋b
9

b
5
2
[答案] (1)B (2)A

考法(二) 等差数列前n项和的性质
[典例] 设等差数列{a
n
}的前 n项和为S
n
，若S
3
＝9，S
6
＝36，则a
7
＋a
8
＋a
9
等于( )
A．63
C．36
[解析] 由{a
n
}是等差数列，
得S
3< br>，S
6
－S
3
，S
9
－S
6
为等差 数列，
即2(S
6
－S
3
)＝S
3
＋(S
9
－S
6
)，
得到S
9
－S
6
＝2S
6
－3S
3
＝45，故选B.
[答案] B

B．45
D．27

考法(三) 等差数列前n项和的最值
[典例] 在等差数列{a
n
}中，a
1
＝29，S
10< br>＝S
20
，则数列{a
n
}的前n项和S
n
的最大值 为
( )
A．S
15

C．S
15
或S
16

[解析] ∵a
1
＝29，S
10
＝S
20
，
10×920 ×19
∴10a
1
＋d＝20a
1
＋d，解得d＝－2，
22
nn－1
∴S
n
＝29n＋
×(－2)＝－n
2< br>＋30n＝－(n－15)
2
＋225.
2
∴当n＝15时，S
n
取得最大值．
[答案] A


[解题技法]
1．应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{ a
n
}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a< br>p
＋a
q
(m，n，p，q∈N
*
)．因此，若
出现 a
m
－
n
，a
m
，a
m
＋
n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a
m
(或其他项)有关的条
1
件；若求a
m
项，可由a
m
＝(a
m
－
n
＋a
m
＋
n
)转化为求a
m
－
n
，a< br>m
＋
n
或a
m
＋
n
＋a
m
－
n
的值．
2
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用， 如a
n
＝a
m
＋(n－m)d，d＝
a
n
－am
na
1
＋a
n
na
2
＋a
n
－
1

，S
2n
－
1
＝(2n－1)a< br>n
，S
n
＝
＝
(n，m∈N
*
)等．
22
n－m
2．求等差数列前n项和S
n
最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S
n
＝an
2
＋bn，通 过配方或借助图象求
二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：


a
m
≥0，
①当a
1
>0，d<0时，满足
的项数m使得S
n
取得最大值为S
m
；

a
m
＋
1
≤0



a
m
≤0，< br>②当a
1
<0，d>0时，满足

的项数m使得S
n
取得最小值为S
m
.

a
m
＋
1
≥0

B．S
16

D．S
17




[题组训练]
1．在等差数列{a
n
}中，若a
3
＝－5 ，a
5
＝－9，则a
7
＝( )

A．－12
C．12
B．－13
D．13
解析：选B 法一：设公差为d ，则2d＝a
5
－a
3
＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a
7＝a
3
＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.
法二：由等差数列的性质 得a
7
＝2a
5
－a
3
＝2×(－9)－(－5)＝－13 ，选B.
2．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
1
>0，a
3
＋a
10
>0，a
6
a
7
<0，则满足S
n
>0的最大
自然数n的值为( )
A．6
C．12
B．7
D．13
解析：选C 因为a
1>0，a
6
a
7
<0，所以a
6
>0，a
7< br><0，等差数列的公差小于零，又a
3
＋a
10
＝a
1
＋a
12
>0，a
1
＋a
13
＝2a
7
<0，所以S
12
>0，S
13
<0，所以满足S
n
>0的 最大自然数n的值为12.
3．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S
n
＝
324(n＞6)，则数 列{a
n
}的项数为________．
解析：由题意知a
1
＋a
2
＋…＋a
6
＝36，①
a
n
＋a
n－1
＋a
n－2
＋…＋a
n－ 5
＝180，②
①＋②得(a
1
＋a
n
)＋(a
2
＋a
n－1
)＋…＋(a
6
＋a
n－5
)＝6( a
1
＋a
n
)＝216，
na
1
＋a
n

∴a
1
＋a
n
＝36，又S
n
＝＝324，
2
∴18n＝324，∴n＝18.
答案：18
[课时跟踪检测]


A级

1．在数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n
＋2，S
n
为{a
n
}的前n项和，则S
10
等于( )
A．90
C．110
B．100
D．130
10×9
解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S
10
＝10×2＋
×2＝
2
110.故选C.

2． (2018·北京东城区二模)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
3
＝3，a
5
＝5，则S
7
的
值是( )
A．30
C．28
B．29
D．27
a
5
－a
3
解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d，则d＝< br>＝1，故a
4
＝a
3
＋d＝4，所
5－3
7a1
＋a
7

7×2a
4
以S
7
＝＝＝7×4＝28.故选C.
22
3．(2019·山西五校联考)在数列{a
n
}中，a
n
＝28－5n，S
n
为数列{a
n
} 的前n项和，当S
n
最
大时，n＝( )
A．2
C．5
B．3
D．6
解析：选C ∵a
n
＝28－5n，∴数列{a
n
}为递减数列．
28
令a
n
＝28－5n≥0，则n≤
，又n∈N
*
，∴n≤5. 5
∵S
n
为数列{a
n
}的前n项和，∴当n＝5时，S
n
最大．故选C.

S
n

4．(2019·广东中山 一中统测)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
n
＝－ 2n＋1，则数列

n


的前11项和为( )
A．－45
C．－55
B．－50
D．－66
解析：选D ∵a
n
＝－2n＋1，∴数列{a
n
}是以－1为首项 ，－2为公差的等差数列， ∴
2
n[－1＋－2n＋1]
S
n
－n

S
n

2
S
n
＝
＝－n，∴＝＝－n，∴数列

n

是以－1为首项，－1为公差的
2nn

11×10

S
n

等差数列，∴数 列

n

的前11项和为11×(－1)＋
×(－1)＝－66，故 选D.
2

5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，且S
5
＝50，S
10
＝200，则a
10
＋
a
11
的值为( )
A．20
C．60
B．40
D．80
解析：选D 设等差数列{a
n
}的公差为d，

4
d＝50，

S＝5a＋
5×
2
由已知得

10×9
S＝10a ＋d＝200，

2
51
101





a
1
＋2d＝10，

a
1
＝2，即

解得


9

d＝4.



a
1
＋
2
d＝20，


∴a
10
＋a
11
＝2a
1
＋19d＝80.故选D. < br>2
＝6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a
n
}的各项均不为零， 其前n项和为S
n
.若a
n
＋
1
a
n
＋< br>2
＋a
n
，则S
2n
＋
1
＝( )
A．4n＋2
C．2n＋1
B．4n
D．2n
2
解析：选A 因为{a
n
}为等差数列，所以a
n＋2
＋ a
n
＝2a
n＋1
，又a
n
所以a
2
＋1
＝a
n＋2
＋a
n
，
n＋1
＝2a
n＋1
.因为数列{a
n
}的各项均不为零，所以a
n＋1
＝2，所以S< br>2n＋1
＝
2×a
n＋1
×2n＋1
＝4n＋2.故选A .
2
24
7．已知等差数列5,4
，3，…，则前n项和S
n＝________.
77
a
1
＋a
2n＋1
 2n＋1
＝
2
nn－1
55
解析：由题知公差d＝－
，所以S
n
＝na
1
＋d＝(15n－n
2
)．
7214
5
答案：
(15n－n
2
)
14
8．已知{a
n
}为等差数列，S
n
为其前n项和．若a
1
＝6，a
3
＋a
5
＝0，则S
6
＝________.
解析：∵a
3
＋a
5
＝2a
4
，∴a
4< br>＝0.
∵a
1
＝6，a
4
＝a
1
＋3d，∴d＝－2.
6×6－1
∴S
6
＝6a
1
＋d＝6×6－30＝6.
2
答案：6
9．等差数列{a
n
}中，已知a
5
>0，a
4
＋a
7
<0，则{a
n
}的前n项和S
n
的最大值为________．


a
4
＋a
7
＝a
5
＋a
6
<0，


a
5
>0，
解析：∵

∴




a
5
>0，

a
6
<0，
∴S
n
的最大值为S
5
.

答案：S
5
1
10．在等差数列{a
n
}中，公差d＝
，前100项的和S
100
＝45，则a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a99
＝
2
________.
1009
解析：因为S
100
＝(a
1
＋a
100
)＝45，所以a
1
＋ a
100
＝
，
210
2
a
1
＋a
99
＝a
1
＋a
100
－d＝
，
5
5 0502
则a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
9 9
＝(a
1
＋a
99
)＝
×
＝10.
225
答案：10
11．(2018·全国卷Ⅱ)记S
n
为等差数 列{a
n
}的前n项和，已知a
1
＝－7，S
3
＝－15.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)求S
n
，并求S
n
的最小值．
解：(1)设{a
n
}的公差为d，
由题意得3a
1
＋3d＝－15.
又a
1
＝－7，所以d＝2.
所以{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n－9.
na1
＋a
n

(2)由(1)得S
n
＝
＝n2
－8n＝(n－4)
2
－16，
2
所以当n＝4时，S
n
取得最小值，最小值为－16.
12．( 2019·山东五校联考)已知等差数列{a
n
}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项< br>的积为8.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
解：(1)设等差数列{a
n
}的公差为d，d>0，
∵等差数列{a
n
}的前3项的和为－3，前3项的积为8，


3a
1
＋3d＝－3，
∴



a
1
a
1
＋da
1
＋2d＝8，


a
1
＝2，

a
1
＝－4，
∴

或



d＝－3


d＝3.
∵d>0，∴a
1
＝－4，d＝3，∴a
n
＝3n－7.

(2)∵a
n
＝3n－7，∴a
1
＝3－7＝－4，
n－4＋3n－7n3n－11
∴S
n
＝
＝
.
22

B级

1．设a
n
＝(n＋1)
2
，b
n
＝n
2
－n(n∈N
*
)，则下列命题中 不正确的是( )
A．{a
n
＋
1
－a
n
}是等差数列
C．{a
n
－b
n
}是等差数列
B．{b
n
＋
1
－b
n
}是等差数列
D．{a
n
＋b
n
}是等差数列
解析：选D 对于A，因为a
n
＝(n＋1)
2
，
所以a
n＋1
－a
n
＝(n＋2)
2
－(n＋1)
2
＝2n＋3，
设c
n
＝2n＋3，
所以c
n＋1
－c
n
＝2.
所以{a
n＋1
－a
n
}是等差数列，故A正确；
对于B ，因为b
n
＝n
2
－n(n∈N
*
)，所以b
n＋ 1
－b
n
＝2n，
设c
n
＝2n，所以c
n＋1
－c
n
＝2，
所以{b
n＋1
－b
n
}是等差数列，故B正确；
对于C ，因为a
n
＝(n＋1)
2
，b
n
＝n
2
－n(n∈N
*
)，
所以a
n
－b
n
＝(n＋1 )
2
－(n
2
－n)＝3n＋1，
设c
n
＝3n＋1，所以c
n＋1
－c
n
＝3，
所以{a
n
－b
n
}是等差数列，故C正确；
对于D，a
n
＋b
n
＝2n
2
＋n＋1，设c
n
＝a
n
＋b
n
，c
n＋1
－c
n
不是常数，故 D错误．
2．(2019·武汉调研)设等差数列{a
n
}满足a
3
＋a
7
＝36，a
4
a
6
＝275，且a
na
n
＋
1
有最小值，
则这个最小值为________． 解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，∵a
3
＋a
7
＝36，
∴a
4
＋a
6
＝36，又a
4
a
6
＝275，


a
4
＝11，

a
4
＝25，
联立，解得

或


a
6
＝25


a
6
＝11，



a
4
＝11，

a
1
＝－10，
当

时，可得

此时a
n
＝ 7n－17，a
2
＝－3，a
3
＝4，易知当n≤2
a＝25d＝7 ，

6


时，a
n
<0，当n≥3时，an
>0，
∴a
2
a
3
＝－12为a
n
a
n＋1
的最小值；



a
4
＝25，

a
1
＝46，
当

时，可得

此时a
n
＝－7n＋53，a
7
＝4，a
8
＝－3 ，易知当n≤7


a
6
＝11

d＝－7，< br>时，a
n
>0，当n≥8时，a
n
<0，
∴a
7< br>a
8
＝－12为a
n
a
n＋1
的最小值．
综上，a
n
a
n＋1
的最小值为－12.
答案：－12
3．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{a
n
}是等差数列，且a
1
，a
2
(a
1
2
)分别为方程x
2
－6x＋5＝0的两个实根．
(1)求数列{a
n
}的前n项和S
n
；
S
n< br>1
(2)在(1)中，设b
n
＝
，求证：当c＝－时，数列{b
n
}是等差数列．
2
n＋c
解：(1)∵a
1
，a2
(a
1
2
)分别为方程x
2
－6x＋5 ＝0的两个实根，
∴a
1
＝1，a
2
＝5，
∴等差数列{a
n
}的公差为4，
nn－1
∴S
n< br>＝n×1＋
×4＝2n
2
－n.
2
2n
－n
1S
n
(2)证明：当c＝－
时，b
n
＝
＝＝2n，
2
n＋c
n－
1
2
2

∴b
n ＋1
－b
n
＝2(n＋1)－2n＝2，b
1
＝2.
∴数列{b
n
}是以2为首项，2为公差的等差数列．