等差数列教学设计公开课
缺点英文-教案设计
无为二中公开课
教
学
设
计
课题《等差数列》
执教人:汪桂霞
班级:高一(10)班
时间:(星期二)下午第一节
高一数学必修5 等差数列
第一课时
一、教学目标
(一)知识与技能目标
1.理解等差数列的定义及等差中项的定义
2.
掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式
3.灵活运用等差数列,熟练掌握知三求一的解题技巧
(二)过程与方法目标
1.培养学生观察能力
2.进一步提高学生推理、归纳能力
3.培养学生合作探究的能力,灵活应用知识的能力
(三)情感态度与价值观目标
1.体验从特殊到一般,又到特殊的认知规律,培养学生勇于创新的科学精神;
2.渗透函数、方程、化归的数学思想;
3.培养学生数学的应用意识,参与意识和创新意识。
二、教学重难点
(一)重点
1、等差数列概念的理解与掌握;
2、等差数列通项公式的推导与应用。
(二)难点
1、等差数列的应用及其证明
三、教学过程
(一)
背景问题,创设情景
上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式
和递推公式。这两个公式
从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空
。
思考问题(一):在过去的三百多年里,人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星,请问你能预测出
下
次人类观测哈雷彗星的时间吗?
1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 )
特点:后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年
我们把这些数据写成数列的形式:16
82,1758,1834,1910,1986,2062......
思考问题(二):通常情况
下,从地面到10公里的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请
你根据下表填写处空格处的
信息吗?
高度h(km) 1 2 3 4 5 6 7 ...... 9
温度t(°) 28 15 2 (-11) ...... (-24)
特点:高度每增加一千米,温度就降低度。
我们把表格中的数据写成数列的形式:28,
, 15, , 2, …, -24.......
学生活动(1):学生观察下列三个数列具有怎样的共同特征:
(1)1682,1758,1834,1910,1986,2062......
(2)28, , 15, , 2, …, -24.......
(3)1,1,1,1,1,1,1,1,1,1......
共同特征:1.后一项与它的前一项的差等于一个定常数。
2.这个常数可以为正为负,还可以为零。
(二) 新知概念,例题讲解
1.等差数列的定义:
如果一个数列从第2项起,它的每一项与它的前一项的差都等于
同一个常数,那么我们就称这个数
列为等差数列.
要点:(1)从第二项起;
(2)
a
n
a
n1
c(n2,c为常数)或是a
n
1
a
n
c(n1)
(3)同一常数c。
2.公差:这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 “d ”来表示.
请同学们大声说出上例三个等差数列的公差为多少
(1)d=76 (2)d=
(3)d=0
例1.下列数列是等差数列吗?为什么?
(1) 1,
3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10......
(2)
5,5,5,5,5,5,…
(3) 4,7,10,13,16,19,20,23.......
例2.数列{3n-5}是等差数列吗?如果是,请给以证明;如果不是,请说明理由。
3.等差数列的通项公式
学生活动(2): 你能根据规律填空吗?
(1)1,4,7,10,13,16,( ),( )……
(2)你能求出(1)中的
a
20
吗?
a
2
4
a
1
3
a
3
7a
2
3a
1<
br>23
答案:
a
4
10a
3
3a
1
33
........
归纳得:a
20
a1
19358
等差数列通项公式的推导过程:探索、猜想、证明
如果一个
数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,
......,a
n
是等差数列,它的公差为d,那么
老师引导过程:
a
2
a
1
d
即:
a
2
a
1
d
a
3
a
2
d
即:
a
3
a
2
da
1
2d
a
4
a
3
d
即:
a
4
a
3
da
1
3d
……
由此可得:
a
n
a
1
(n1)d
(n≥2)
当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n1)d
(n∈N
*
)
学生活动(3): 请同学们思考:
你还能找到证明等差数列通项公式的方法吗?
同学(一):
a<
br>2
a
1
d
a
3
a
2
da
4
a
3
d
......
a
n
a
n1
d
上述式子左右两边分别相加得:a
n
a<
br>1
(n1)d,
当n=1时也成立。整理得:a<
br>n
a
1
(n1)d
学生(三):
因为a
n(a
n
a
n1
)(a
n1
a
n
2
)...(a
3
a
2
)(a
2
a1
)a
1
又a
n
a
n1
d(n2)
所以有:a
n
a
1
(n1)d
教师小结:大部分学生
用不完全归纳法,通过个别同学补充叠加法与拆项法,从而得到等差数列
a
n
的通项公式为:
a
n
a
1
(n1)d
(n≥2),其中a
1
是这个数列的首项, d 是公差。
4.例题讲解 (1)类型:在等差数列通项公式中,有四个量,
a
1
,d,a
n
,n,
知道其中的任意三个量,就可以求
出另一个量,即知三求一 .
(2)等差数列的函数意义:等差数列由一次函数中某些特殊的点组成。
趁热打铁练一练:
活动问题:等差数列中a
1
=1,d=2,数列的通项公式是什么?(a
n
=2n-1)
那么要求等差数列的通项公式只需求什么?(a
1
和d)
学生活动(4):
同学自己编出已知等差数列的首项和公差求通项公式的问题并解决。
通过学
生自己亲自尝试、体验,才能深刻理解等差数列的定义及通项公式,对学困生来讲,这样才
能打好基础,
这样安排即符合教学论中的巩固性原则,也符合素质教育理论中面向全体的基本要求。
例3:求等差数列8,5,2…的第20项。
导析:由a
1
=8,d=5-
8=-3,n=20得,a
20
=8+(20-1)×(-3)=-49
例是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?
导析:由
a
1
5,d9(5)4
得数列通项公式为:
a
n
54(n1)
=-4n-1 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立,解之得n=100,即-4
01是这个数
列的第100项。
变式训练:如果已知等差数列中任意两项,能不能求出a
n
呢?
学生:举例:在等差数列{a
n
}中,已知a
5
=10,a
12=31,求a
n 。
解: a
1
+4d=10
a
1
+11d=31
解得
a
1
=-2 ,d=3,则a
n
=3n-5
教师:此解法是利用数
学的函数与方程的思想,函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一,应熟
练掌握。
问:由a
5
=a
1
+4d
,a
12
=a
1
+11d能够有什么启示?
生:a
12
=a
1
+11d=a
5
+(12-5)d,于是有
a
n
=a
m
+(n-m)d,(等差数列通项公式的推广公式)
上题可先求出d=3,那么a
n
=
a
5
+(n-5)d=
a
12
+(n-12)d=3n-5
例5. 在等差数列{an}中
(1)
若a
59
70,a
80
112,求a
101
解:由等差数列推广的通项公式得:
aa(8059)d21d42
8059
d2a
101
a
80
21d154
(2)
若a
p
q,a
q
p,求a
pq
a
p
a
q
pq
dqp解:
d1
则有:a
pq
a
p
pqp
d0
a
pq
0
(3)
若a
12
23,a
42
143,an
263,求n
解:
a
42
a
12
30d120d4
又a
n
a
12
n1
d23
n1
d263
n61
(三)形成检测,反馈回授
1、
求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项。
2、100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由。
3、-20是不是等差数列0, , -7,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由。
4、
已知a
4
=10,a
7
=19,求a
1
与d。
5、已知a
3
=9,a
9
=3,求a
12
(四)课时小结,反思巩固
学生活动5:这节课你们学到了什么?
教师鼓励学生积
极回答,答不完整的没有关系,其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力,归纳概
括能力。并用多媒
体把学生的归纳用一张表展示出来。
生:(1)等差数列定义:即
a
n
a
n1
d
(n≥2) 或a
n+1
- a
n
=
d (n∈N)
*
(2)等差数列通项公式
:
a
n
a
1
(n1)d
(n∈N)
*
推导出公式:
a
n
a
m
(nm)d
(3)等差数列通项公式的应用:知三求一
(五)知识延伸,作业布置
作业:
习题1、2、3、4
六:板书设计
等差数列
一、定义
1.
a
n
a
n1
d
(n≥2)
公式推导过程
二、通项公式
1.
a
n
a
1
(n1)d
学生课后的评价
例题讲解
七、教后反思
是:有新鲜感,生
动有趣,思路开阔。最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的,只要我们积极地去开发
引导,他们的智慧必
定会放出耀眼的光芒,从而为数学教学增光添彩。