丰子恺的文章-赞美老师的短文

历届高考中的“等差数列”试题精选（自我检测）
一、选择题：（每小题5分，计50分）
题号
答案


1. (2007安徽文)等差数列

a
n

的前
n
项和 为
S
n
，若
a
2
1,a
3
3,则S< br>4
＝
（

）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6

2． (2008重庆文)已知｛a
n
｝为等差数列，a
2
+a
8
=12,则a
5
等于（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

3.（2006全国Ⅰ卷文）设
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和，若S
7
35
，则
a
4

（ ）
A．
8
B．
7
C．
6
D．
5


4．(2008广东文)记等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，若
S
2
4< br>，
S
4
20
，则该数列的公差
d=（ ）
A．7 B. 6 C. 3 D. 2

5．（2003全国、 天津文，辽宁、广东）等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1
则n为（ ）
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
1
，
a
2
a
5
4
，a
n
33
，
3

6.（2007四川文）等差数列 {a
n
}中，a
1
=1,a
3
+a
5
=1 4，其前n项和S
n
=100,则n=（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

7．（2004福建文）设S
n
是等差数列

a
n

的前n项和，若
A．1 B．－1 C．2 D．
a
5
5
S
,则
9

（ ）
a
3
9S
5
1

2

8.（20 00春招北京、安徽文、理）已知等差数列{a
n
}满足α
1
＋α
2
＋α
3
＋…＋α
101
＝0则有( )
A．α
1
＋α
101
＞0 B．α
2
＋α
100
＜0 C．α
3
＋α
99
＝0 D．α
51
＝51

9.（2005全国卷II理）如果
a
1
，
a
2
， …，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d0
，则( )
（A）
a
1
a
8

a
4
a
5
（B）
a
8
a
1

a
4
a
5
（C）
a
1
+
a
8

a4
+
a
5
（D）
a
1
a
8
=
a
4
a
5


10.（2002春招北京文、理 ）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有
项的和
为390，则这个数列有（ ）
（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项


二、填空题：（每小题5分，计20分）

11（2001上海文）设数列

a
n

的 首项
a
1
7,且满足a
n1
a
n
2 (nN)
，则
a
1
a
2
a
17

_____________.
12．(2008海南、宁夏文)已知{a
n
}为等差数列，a
3
+ a
8
= 22，a
6
= 7，则a
5
= __________

13.（2007全国Ⅱ文）已知数列的通项a
n
= -5n+2,则其前n项和为S
n
= .


14.（2006山东文）设
S
n
为等差数列

a
n

的前n项和，
S
4
＝14，
S
10
 S
7
30
，则
S
9
＝ .

三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）
15．（2004全国Ⅰ卷文） 等差数列{
a
n
}的前n项和记为S
n
.已知
a
1 0
30,a
20
50.

（Ⅰ）求通项
a
n
； （Ⅱ）若S
n
=242，求n.

16． (2008海南、宁夏理)已知 数列
{a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
1
，
a
5
5
。
（1）求
{a
n
}< br>的通项
a
n
；（2）求
{a
n
}
前n项和< br>S
n
的最大值。


17.（2000全国、江西、天津文 ）设

a
n

为等差数列，
S
n
为数列< br>
a
n

的前
n
项和，已知
S
7< br>7
，
S
15
75
，
T
n
为数 列


S
n


的前
n
项和，求
T
n
。
n


18.
（据
2 005
春招北京理改编）
已知

a
n

是等差数列 ，
a
1
2
，
a
3
18
；
< br>b
n

也是等差数列，
a
2
b
2
4
，
b
1
b
2
b
3
b
4
a
1
a
2
a
3
。
（1）求数列

b
n

的通项公式及前
n
项和
S
n
的公式；
（2）数列

a
n

与

b
n

是否有相同的项 若有，在100以内有几个相同项若没有，请说明理由。


19.（2006北京 文）设等差数列{a
n
}的首项a
1
及公差d都为整数，前n项和为S
n.
(Ⅰ)若a
11
=0,S
14
=98,求数列｛a
n
｝的通项公式；
(Ⅱ)若a
1
≥6，a
11
＞0，S< br>14
≤77，求所有可能的数列｛a
n
｝的通项公式.

2 0.(2006湖北理)已知二次函数
yf(x)
的图像经过坐标原点，其导函数为
f(x)6x2
，

数列
{a
n
}
的前n项和 为
S
n
，点
(n,S
n
)(nN)
均在函数yf(x)
的图像上。 (Ⅰ)求数列
{a
n
}
'
的通项公式；
(Ⅱ)设
b
n

3
m

,
T
n
是数列{b
n
}
的前n项和，求使得
T
n

对所有< br>nN
都成立的最小
a
n
a
n1
20

正整数m；
历届高考中的“等差数列”试题精选（自我测试）
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计50分）

题号
答案
1
C
2
C
3
D
4
C
5
C
6
B
7
A
8
C
9
B
10
A


二、填空题：（每小题5分，计20分）
5n
2
n
11. 153 12. __15__ 13. 14. 54
2

三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）
15.解：（Ⅰ）由
a
n
a
1
(n1)d,a
10
30,a
20
50,
得方程组

a
1
9d30,


……4分 解得
a
1
12,d2.
所以
a
n
2n10.

a19d50.

1
n(n1)
d,S
n
242
得方程
2
n(n1)

12n2242.
……10分 解得
n11或n22(舍去).

2

a
1
d1
16．解：（Ⅰ）设

a
n

的公差为
d
，由已知条件，得

，

a
1
4d5< br>解出
a
1
3
，
d2
．
所以
a
n
a
1
(n1)d2n5
．
n(n1)
（Ⅱ）
S
n
na
1
dn2
4n
4(n2)
2
．
2
所以
n 2
时，
S
n
取到最大值
4
．
（Ⅱ）由
S
n
na
1

17．
解：设等差数列

a
n

的公差为
d
，则
S
n
na
1

1
n

n1

d

2
∵
S
7
7
，
S
15
75
，

7a
1
21d7 ,

a3d1 ,
即

1

15a105d75 ,a7d5 ,

1

1
解得
a
1
2
，
d1
。
S
11
∴
n
a
1


n1

d2

n1

，
n22
SS
1
∵
n1

n

，
n1n2
∴


S

1
∴ 数列

n

是等差数列，其首项为
2
，公差为，
2

n

∴
T
n
n
2
n
。

18.解 ：（1）设{a
n
}的公差为d
1
，{b
n
}的公差为d< br>2
由a
3
=a
1
+2d
1
得 < br>d
1

所以
a
n
28(n1)8n6，
所以a
2
=10, a
1
+a
2
+a
3
=30
1
4
9
4
a
3
a
1
8

2


b
1
d
2
6

b
1
3

依题意，得

解得，

43
4b1
d
2
30

d
2
3

2

所以b
n
=3+3(n-1)=3n
3
2
3
nn.

222
3(m2)
（ 2）设a
n
=b
m
,则8n-6=3m, 既
n
①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需
8
m+2=8k,
kN

,所以m=8k-2 ，
kN

②
②代入①得，n=3k,
kN

,所以a
3k
=b
8k-2
=24k-6,对一切
kN< br>
都成立。
所以，数列

a
n

与

b
n

有无数个相同的项。
53
令24k-6<10 0,得
k,
又
kN

，所以k=1,2,3,4.即100以内 有4个相同项。
12
S
n


19.解：（Ⅰ）由S
14
=98得2a
1
+13d=14, 又a
11
=a
1
+10d=0,
故解得d=－2,a
1
=20.
因此，{a
n
}的通项公式是a
n
=22－2n,n=1,2,3…
n(b
1
b
n
)

S
14
7 7,

2a
1
13d11,

2a
1
13d11,

（Ⅱ）由

a
11
0,
得

a
1
10d0,
即

2a
1
20d0,


a6

a6

2a12
1

1

1< br>
11
。
7
1
由①+③得13d≤－1 即d≤－
13
111
于是－＜d≤－
713
由①+②得－7d＜11。即d＞－
又d∈Z, 故d=－1
将④代入①②得10＜a
1
≤12.
又a
1
∈Z,故a
1
=11或a
1
=12.
所以，所有可能的数列{a
n
}的通项公式是 a
n
=12-n和a
n
=13-n,n=1,2,3,…

20．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)
＝
ax
2
+bx (a
≠
0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x
－
2,得
a=3 , b=
－
2, 所以 f(x)
＝
3x
2
－
2x.

又因为点
(n,S
n
)(nN)
均在函数
y f(x)
的图像上，所以
S
n
＝3n
2
－
2n.
3n1)2(n1)
＝
6n
－
5. 当n
≥
2时
，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝（
3n
2
－
2n
）－
（
当n
＝
1时，a
1
＝
S
1
＝
3×1
2
－
2
＝
6×1
－
5
，
所以，a
n
＝
6n
－
5
（
nN
）
（Ⅱ）由 （Ⅰ）得知
b
n

故T
n
＝


2

3
3
111
)
， ＝＝
(
a
n
a
n1
(6n5)

6(n1)5

26n56n1
11111

11

(1)()... ()
＝（1－）.

77136n56n1
26n1

i1
11
m1m
因此，要使
（
1
－）
<
（
nN

）成立的m,必须且仅须满足
≤
，即m26n1
20220

b
i
＝
n
1
2
≥
10，
所以满足要求的最小正整数m为10.