天生不完美-贪吃的变色龙教案

等差数列的认识与公式运用

等差数列的认识与公式运用


知识点拨
一、等差数列的定义

⑴ 先介绍一下一些定义与表示方法 < br>定义:从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差 数
列.
譬如:2、5、8、11、14、17、20、
L
从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列
100、95、90、85、80、
L
从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列
⑵ 首项:一个数列的第一项,通常用
a
1
表示
末项 :一个数列的最后一项,通常用
a
n
表示,它也可表示数列的第
n
项 。
项数:一个数列全部项的个数,通常用
n
来表示;
公差:等差数列每两项之间固定不变的差,通常用
d
来表示;
与 :一个数列的前
n
项的与,常用
S
n
来表示 .
二、等差数列的相关公式
(1)三个重要的公式
（n1）d
① 通 项公式:递增数列:末项

首项

(项数
1
)

公差,
a
n
a
1

（n1）d
< br>递减数列:末项

首项

(项数
1
)
< br>公差,
a
n
a
1

回忆讲解这个公式的时候可以结 合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其
实就就是首项加上(末项与首 项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个
（nm）d
（
有用的公式:
a
n
a
m

,
nm）

② 项数公式:项数

(末项

首项)

公差+1
（a
n
a
1
）d1
(若
a
na
1
);
n（a
1
a
n
）d1 (若
a
1
a
n
).
由通项公式可以得到:
n

等差数列的认识与公式运用
找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们就是常常用到的.
譬如:找找下面数列的项数:4、7、10、13、
L
、40、43、46 , 分析:配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、
L
、(46、47、48),注意等差就是3 ,
那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组 的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有
484145
项,每组3个数,所 以共
45315
组,原数列有15组. 当然还可以有其她的配组方法.
③ 求与公式:与=(首项

末项)

项数÷2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手:
(思路1)
123L9899100

（
1
（
99）

（
98L
4

（
51
）
101505050



14
10 0
4
）
4

4
2
4

4442< br>3
44
）
4

44
50
4

43
共50个101
(思路2)这道题目,还可以这样理解:
和=123 4L
+和100999897L
2倍和101101101101L< br>9899100
321
101101101
即,与
 (1001)1002101505050

(2) 中项定理:对于任意一 个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与
末项与的一半;或者换句话 说,各项与等于中间项乘以项数.
譬如:①
4812L3236（436）922091800
,
题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值就是20,而与恰等于
209
;
②
656361L531（165）33233331089
, < br>题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值就是33,而与恰等于
3333
.
例题精讲
等差数列的基本认识

模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
【例 1】 下面的数列中,哪些就是等差数列？若就是,请指明公差,若不就是,则说明理由。
①6,10,14,18,22,…,98;
②1,2,1,2,3,4,5,6;
③ 1,2,4,8,16,32,64;
④ 9,8,7,6,5,4,3,2;
⑤3,3,3,3,3,3,3,3;

等差数列的认识与公式运用
⑥1,0,1,0,l,0,1,0;
【例 2】 小朋友们,您知道每一行数列各有多少个数字不？
(1)3、4、5、6、……、76、77、78
(2)2、4、6、8、……、96、98、100
(3)1、3、5、7、……、87、89、91
(4)4、7、10、13、……、40、43、46
【例 3】 把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个就是多少？
【巩固】 2,5,8,11,14……就是按照规律排列的一串数,第21项就是多少？
【例 4】 已知一 个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项就是多少？第19项就是
多少？
【巩固】 一个数列共有13项,每一项都比它的前一项多7,并且末项为125,求首项就是多少？
【巩固】 在下面
12
个方框中各填入一个数,使这
12
个数从左到 右构成等差数列,其中
10
、
16
已经填好,这
12
个数的 与为 。
　‍‍‍ ‍

　‍‍‍ ‍

　‍‍‍ ‍

　‍‍‍ ‍

　‍‍‍ ‍

16

　‍‍‍ ‍

　‍‍‍ ‍

10

　‍‍‍ ‍

　‍‍‍ ‍

　‍‍‍ ‍

【例 5】 从1开始的奇数:1,3,5,7,……其中第100个奇数就是_____。
【例 6】 观察右面的五个数:19、37、55、a 、91排列的规律,推知a =________ 。
等差数列公式的简单运用

【例 7】 2、4、6、8、10、12、
L< br>就是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的与就是320,求它们中最小
的一个.
【巩固】 1、3、5、7、9、11、
L
就是个奇数列,如果其中8个连续奇数的与 就是256,那么这8个奇数中最
大的数就是多少？
【巩固】 1、4、7、10、13、…这个数列中,有6个连续数字的与就是159,那么这6个数中最小的就是几？
【例 8】 在等差数列6,13,20,27,…中,从左向右数,第 _______个数就是1994.
【巩固】 5、8、11、14、17、20、
L,这个数列有多少项？它的第201项就是多少？65就是其中的第几项？
【巩固】 对于数列4 、7、10、13、16、19……,第10项就是多少？49就是这个数列的第几项？第100项
与第 50项的差就是多少？
【巩固】 已知数列0、4、8、12、16、20、…… ,它的第43项就是多少？
【巩固】 聪明的小朋友们,
PK
一下吧.
⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ,这个数列有多少项？它的第102项就是多少？
⑵0、4、8、12、16、20、…… ,它的第43项就是多少？
⑶已知等差数列2、5、8、11、14 …… ,问47就是其中第几项？
⑷已知等差数列9、13、17、21、25、 …… ,问93就是其中第几项？
【例 9】 ⑴如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项、
⑵如果一个等差数列的第3项为16,第11项为72,求它的第6项、
【巩固】 已知一个等差数列第8项等于50,第15项等于71、请问这个数列的第1项就是多少？
【巩固】 如果一等差数列的第4项为21,第10项为57,求它的第16项.
等差数列的求与
【例 10】 一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的与就是多少？
【巩固】 有20个数,第1个数就是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加,与就是多少？
【巩固】 求首项就是13,公差就是5的等差数列的前30项的与.
【例 11】 15个连续奇数的与就是1995,其中最大的奇数就是多少？
【巩固】 把210拆成7个自然数 的与,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都就是5,那么,第1
个数与第6个数分别就是 多少？
【例 12】 小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数 的与时,她少算了其中的
一个数,但她仍按2006个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小1。 小马虎求与时漏掉的
数就是 。
等差数列找规律

等差数列的认识与公式运用
找规律计算
【例 13】 1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿;
2只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿;
……
只青蛙 张嘴,32只眼睛 条腿。
【例 14】 如图2,用 火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当N=5时,按这种方式摆下去,当N=5
时,共需 要火柴棍 根。

【例 15】 观察下面的序号与等式,填括号.
序号 等式
1
1236

3
35715

5
581124

7
7111533


L

LLL


（ ）

（ ）（ ）7983（ ）
【巩固】 有许多等式:

2461353
;

81012147911134
;

161820222415171921235
;


那么第10个等式的与就是_______
【巩固】 观察下列算式:
2＋4＝6＝2×3,
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
然后计算:2＋4＋6＋……＋100＝ 。
【例 16】 将一 些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放:第1个图形中有6个小圈,第2个图形中有10个
小圈,第3 个图形中有16个小圈,第4个图形中有24个小圈,…,依此规律,第6个图形有
_________ __个小圈。

5

2020105
2
5
【例 17】 观察下列四个算式: =20, =10, = , = 。从中找出规律,写出第五个算
1242816
式: 。
规律计数

等差数列的认识与公式运用
【例 18】 从1到50这50个连续自然数中,去两数相加,使其与大于50.有多少种不同的取法？
【巩固】 从1到100的100个数中,每次取出两个不同的自然数相加,使它们的与超过100.有几种不同的取
法？
【例 19】 有多少组正整数
a
、
b
、
c满足
abc2009
.
数阵中的等差数列
【例 20】 如下图所示的表中有55个数,那么它们的与等于多少？
74349
28142
3 9551
41652
514753
【巩固】 下列数阵中有100个数,它们的与就是多少？
111213L
121314L
1 31415L
MMMM
202122L
【巩固】 下面方阵中所有数的与就是多少？
1901
1902
1903
M
1948
1949
1 902
1903
1904
M
1949
1950
19031904
1905
M
1950
1951
1904
190 5
1906
M
1951
1952
L
L
L
L
L
L
1950
1951
1952

M
19 97
1998
19
20
21
M
28
20
2 1
22

M
29
55
56
57
58
59
61
62
63

64
65
【例 21】 把 自然数从1开始,排列成如下的三角阵:第1列为1;第2列为2,3,4;第3列为5,6,7,8,9,…, 每一列
比前一列多排两个数,依次排下去,“以1开头的行”就是这个三角阵的对称轴,如图.则在以< br>1
开头
的行中,第2008个数就是多少.
L
5L
26L
137L

48L
9L
L
【巩固】 将自然数按下图的方式排列,求第10行的第一个数字就是几？
136101521L
2591420L
481319L

71218L
1117L
16L
【巩固】 自然数按一定规律排成下表,问第60行第5个数就是几？

等差数列的认识与公式运用
1
357
911131517

931
333537394 143454749
............
【例 22】 把所有奇数排列成下面的数表,根据规律,请指出: 197排在第几行的第几个数？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
… …
【巩固】 将自然数按下面的形式排列
1
234
56789

16
1 718192
LL
问:第10行最左边的数就是几？第10行所有数的与就是多少？
【例 1】 将正整数从
1
开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”,其中
2
在第
1
个拐角处,
3
在第
2
个拐
角处 ,
5
在第
3
个拐角处,
7
在第
4
个拐角处 ,…….那么在第
100
个拐角处的数就
是 .
22
10
11
12
13
9
2
3
1 4
8
1
4
15
7
6
5
16
21< br>20
19
18
17

【巩固】 一列自然数:
0,
1
,
2
,
3
,……,
2024
,第 一个数就是
0
,从第二个数开始,每一个都比它前一个大
1
,最后
一 个就是
2024
.现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行,竖排为列,则
200 5
在数表中位于第
________行第________列。

【例 2】 下表一共有六行七列,第一行与第一列上的数都已填好,其她位置上的每个数都就是它所在行的
第 一列上的数与所在列的第一行上的数的积,如
A
格应填的数就是
1013130< br>,求表中除第一行
与第一列外其它各个格上的数之与？

【例 3】 如图 的数阵就是由
77
个偶数排成的,其中
20
,
22
,
24
,
36
,
38
,
40
这六个数由一个平行四 边形围住,

等差数列的认识与公式运用
它们的与就是
180
.把这个平行四边形沿上下、左右平移后,又围住了右边数阵中的另外六个数,
如果这六个数的与就是< br>660
.那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数就是 ？
216
30
…
142
4
18
32
…
14 4
6
20
34
…
146
8
22
36
…
148
10
24
38
…
150
12
2 6
40
…
152
14
28
42
…
154< br>
【例 4】 若干个硬币排成左下图,每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个 差(大数减小
数),如对于a,差为7-5=2,所有差的总与为 。