名人名言读书-中国餐桌礼仪

ruize
课时跟踪检测（七） 等差数列的概念及通项公式
A级——学考水平达标
1．已知等差数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝3－2n，则它的公差为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
解析：选C ∵a
n
＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.
1
2．若等差数列{a
n
}中，已知a
1
＝，a
2
＋a
5
＝4，a
n
＝35，则n＝( )
3
A．50
C．52
B．51
D．53
12
解析：选D 依题意，a< br>2
＋a
5
＝a
1
＋d＋a
1
＋4d＝4，代 入a
1
＝，得d＝.所以a
n
＝a
1
＋(n
33< br>1221
－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令a
n
＝35，解得n＝53.
3333
3．设x是a与b的等差中项，x
2
是a
2
与－b
2
的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b
C．a＝－b或a＝3b
B．a＝3b
D．a＝b＝0
a＋b
，
2
解析：选C 由等差中项的定义知：x＝
x
2
＝
a
2
－b
2
，
2
a
2
－b
2

a＋b

2
∴＝，即a
2
－2 ab－3b
2
＝0.
2

2

故a＝－b或a＝3b.
4．数列{a
n
}中，a
1
＝2,2a
n
＋
1
＝2a
n
＋1，则a
2 015
的值是( )
A．1 006
C．1 008
B．1 007
D．1 009
1
解析：选D 由2a
n
＋
1
＝2a
n
＋1，得a
n
＋
1－a
n
＝，所以{a
n
}是等差数列，首项a
1
＝2， 公
2
1
差d＝，
2
n＋3
1
所以a
n
＝2＋(n－1)＝，
22
2 015＋3
所以a
2 015
＝＝1 009.
2
5．等差数列{a
n
}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项 为( )
A．a
8
B．a
9

ruize
C．a
10
D．a
11

7
8－n

，∴n＝9时，|a
n
|最小． 解析：选B |a
n
|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|＝9

9

6．在等差数列{a
n
}中，a
3
＝7，a
5
＝a
2
＋6，则a
6
＝________.
解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，


a
1
＋2d＝7，

a
1
＝3，

由题意，得解得



a
1
＋4d＝a
1
＋d＋6.

d＝2.

∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
∴a
6
＝2×6＋1＝13.
★答案★：13
7．已知{an
}为等差数列，且a
7
－2a
4
＝－1，a
3
＝0，则公差d＝________.
解析：根据题意得：
a
7
－2a
4
＝a
1
＋6d－2(a
1
＋3d)＝－a
1＝－1，∴a
1
＝1.
1
又a
3
＝a
1
＋2d＝1＋2d＝0，∴d＝－.
2
1
★答案★：－
2
2
8．已知数列{a
n}满足：a
2
n
＋
1
＝a
n
＋4，且a
1
＝1，a
n
>0，则a
n
＝________.
22 2
解析：根据已知条件a
2
n
＋
1
＝a
n
＋4，即a
n
＋
1
－a
n
＝4.
∴数列{a
2
n
}是公差为4的等差数列，
2
＝a
2
＋(n－1)×4＝4n－3. 则a
n1
∵a
n
>0，∴a
n
＝4n－3.
★答案★：4n－3

1

2a
n
9．已知数列 {a
n
}满足a
1
＝2，a
n
＋
1
＝，则 数列

a

是否为等差数列？说明理由．

n

a
n
＋2

1

解：数列

a< br>
是等差数列，理由如下：

n

因为a
1
＝2，a
n
＋
1
＝
所以
所以
1
1
＝
2a
n
，
a
n
＋2
a
n
＋
1
a
n
＋2
11
＝＋，
2a
n
2
a
n
11
－＝(常数)．
a< br>n
＋
1
a
n
2

1

11 1
所以

a

是以＝为首项，公差为的等差数列．
a1
22

n

10．若
111
，，是等差数列 ，求证：a
2
，b
2
，c
2
成等差数列．
b＋ca＋ca＋b

ruize
证明：由已知得
2b＋a＋c
1122
＋＝，通分有＝.
b＋ca ＋ba＋cb＋ca＋ba＋c
进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a ＋c)，整理，得a
2
＋c
2
＝2b
2
，
所以a
2
，b
2
，c
2
成等差数列．
B级——高考能力达标

1．若数列{a
n
}为等差数列，ap
＝q，a
q
＝p(p≠q)，则a
p
＋
q
为 ( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q)
p＋q
D.
2
解析：选B ∵a
p
＝a
1
＋(p－1)d，a
q
＝a
1
＋(q－1)d，


a
1
＋p－1d＝q， ①
∴



a
1
＋q－1d＝p. ②


①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a
1
＋(p－1)×(－1)＝q，∴a
1
＝p＋q－1.
∴a
p
＋
q
＝a
1
＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×( －1)＝0.
2．已知x≠y，且两个数列x，a
1
，a
2
，…， a
m
，y与x，b
1
，b
2
，…，b
n
， y各自都成等差
a
2
－a
1
数列，则等于( )
b
2
－b
1
m＋1
m
A.
n
B.
n＋1
n
C.
m

n＋1
D.
m＋1
解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d
1
，d
2
，则a
2
－a
1
＝d
1
，b
2
－b1
＝d
2
.第一个数
列共(m＋2)项，∴d
1
＝n＋1
.
m＋1
3．已知数列{a
n
}，对任意的n∈N*
，点P
n
(n，a
n
)都在直线y＝2x＋1上，则{an
}为( )
A．公差为2的等差数列
C．公差为－2的等差数列
B．公差为1的等差数列
D．非等差数列
y－xy－xa
2
－a
1
d
1
；第二个数列共(n＋2)项，∴d
2
＝.这样可求 出＝＝
m＋1n＋1b
2
－b
1
d
2
解析：选A 由题意知a
n
＝2n＋1，∴a
n
＋
1
－a
n＝2，应选A.
4．如果a
1
，a
2
，…，a
8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a
3
a
6
>a
4
a
5

C．a
3
＋a
6
>a
4
＋a
5

B．a
3
a
6
4
a
5

D．a
3
a
6
＝a
4
a
5

ruize
解析：选B 由通项公式，得a
3
＝a
1
＋2d，a
6
＝a
1
＋5d，那么a
3
＋a6
＝2a
1
＋7d，a
3
a
6
＝(a
1
22
＋2d)(a
1
＋5d)＝a
2
同理a
4< br>＋a
5
＝2a
1
＋7d，a
4
a
5
＝a
2
显然a
3
a
6
－a
4
a
5 1
＋7a
1
d＋10d，
1
＋7a
1
d＋12d，
＝－2d
2
<0，故选B.
5．数列{a
n
}是首项为2 ，公差为3的等差数列，数列{b
n
}是首项为－2，公差为4的等差
数列，则b4
＝________；若a
n
＝b
n
，则n的值为_____ ___．
解析：a
n
＝2＋(n－1)×3＝3n－1，b
n
＝－ 2＋(n－1)×4＝4n－6，∴b
4
＝10.令a
n
＝b
n，得
3n－1＝4n－6，∴n＝5.
★答案★：10 5
6．在数列{a< br>n
}中，a
1
＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(a
n
，
－3＝0上，则a
n
＝________.
解析：由题意得a
n
－a
n
－
1
＝3，所以数列{a
n
}是首项为3 ，公差为3的等差数列，
所以a
n
＝3n，a
n
＝3n
2< br>.
★答案★：3n
2

7．已知数列{a
n
}满足 a
1
＝1，且a
n
＝2a
n
－
1
＋2n
(n≥2，且∈N
*
)．
(1)求a
2
，a
3
；

a
n

(2)证明：数列

2
n

是等差数列；

a
n
－
1
)都在直线x－y
(3)求数列{a
n< br>}的通项公式a
n
.
解：(1)a
2
＝2a
1＋2
2
＝6，a
3
＝2a
2
＋2
3
＝ 20.
(2)证明：∵a
n
＝2a
n
－
1
＋2< br>n
(n≥2，且n∈N
*
)，
a
n
a
n< br>－
1
∴
n
＝
n
－
1
＋1(n≥2， 且n∈N
*
)，
2
2
a
n
a
n
－
1
即
n
－
n
－
1
＝1(n≥2，且n∈ N
*
)，
2
2

a
n

a1
1
∴数列

2
n

是首项为
1＝，公差d＝1的等差数列．
22

a
n
11
(3 )由(2)，得
n
＝＋(n－1)×1＝n－，
222
1
n
n－

·∴a
n
＝


2

2 .

8．数列{a
n
}满足a
1
＝2，a
n＋
1
＝(λ－3)a
n
＋2
n
(n∈N
*)．
(1)当a
2
＝－1时，求λ及a
3
的值；
( 2)是否存在λ的值，使数列{a
n
}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．
解：(1)∵a
1
＝2，a
2
＝－1，a
2
＝(λ －3)a
1
＋2，

ruize
3
∴λ＝. 2
311
∴a
3
＝－a
2
＋2
2
，∴ a
3
＝.
22
(2)∵a
1
＝2，a
n
＋
1
＝(λ－3)a
n
＋2
n
，
∴a
2
＝(λ－3)a
1
＋2＝2λ－4.
a
3
＝(λ－3)a
2
＋4＝2λ
2
－10λ＋16.
若数列 {a
n
}为等差数列，则a
1
＋a
3
＝2a
2.
即λ
2
－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．
∴λ值不存在．
∴不存在λ的值使{a
n
}成等差数列．