吆喝阅读答案-台湾三字经

《等差数列》教学设计

一、教学内容分析
本节课是《普通高中课 程标准实验教科书·数学》（人教版）第二章数列第二
节等差数列第一课时。
数列是高中数学 重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前
启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的 函数与函数思想密不可分；另一方面,
学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列 是在学生学习
了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对
数 列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联
想”、“类比”的思想方法 。
二、学生学习情况分析
我所教学的学生是我校高二（）班的学生，经过一年的学习，大部 分学生知
识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思
维能力 和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是
很浓，所以我在授课时注重从具 体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探
讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的 进一步发展。
三、设计思想
．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进 行主动建构；有利于突出重点，
突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生
的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
．学法
引导学生首 先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水
位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽 象出等差数列的概念；接着就等差数列
概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学 引导认识多元
的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引 导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，
围绕中心各抒己见，把思路方 法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的 概念，能用定义判断一个
数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会
求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的
思想方法并能运 用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在
领会函数与数列关系的前提下，把研究函 数的方法迁移来研究数列，培养学生的
知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决 问题的能力。
在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物
的 变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定
的实例激发同学们的民族自 豪感和爱国热情。
五、教学重点与难点

重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②理解等差数列是一种函数模型。
关键：
等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
六、教学过程
教学
环节
情境设计和学习任务 学生活动 设计意图
课堂引入 上节课我们学习了数列。在日常生活倾听
中，人口增长、教育贷款、存款利息
创设等等这些大家以后会接触得比较多的
情景 实际计算问题，都需要用到有关数列
的知识来解决。今天我们就先学习一
类特殊的数列。
由学生观察分析并得出答案： 观察分析，发表各自的意见
在现实生活中，我们经常这样数
数，从开始，每隔数一次，可以得到
数列：，，,…
年，在澳大利亚悉尼举行的奥运
会上，女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了 个级别。其中较轻的
个级别体重组成数列（单位：）：，，，。
水库的管理人员为了保证优质 鱼
类有良好的生活环境，用定期放水清
理水库的杂鱼。如果一个水库的水位
为18cm ，自然放水每天水位降低2.5m，
最低降至5m。那么从开始放水算起，
探索
到可以 进行清理工作的那天，水库每
研究
天的水位组成数列（单位：）：，，，，，
我国 现行储蓄制度规定银行支付
存款利息的方式为单利，即不把利息
加入本金计算下一期的利息。按 照单
利计算本利和的公式是：本利和本金
×（利率×寸期）.例如，按活期存入
元钱，年利率是。那么按照单利，年
内各年末的本利和分别是：
年初本年末本利和
时间
金（元） （元）
第年
第年
第年
引向课题

观察分析并得出答案:
引导学生观察相邻两项间
的关系，得到：
对于数列①，从第项起，
每一项与前一项的差都等于 ；
对于数列②，从第项起，
每一项与前一项的差都等于 ；
发现 对于数列③，从第项起，
规律 每一项与前一项的差都等于 ；
对于数列④，从第项起，
每一项与前一项的差都等于 ；
由学生归纳和概括出，以上< br>四个数列从第项起，每一项与
前一项的差都等于同一个常数
（即：每个都具有相邻两项差
为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念] 学生认真阅读课本相关概念，
对于以上几组数列我们称它们为等差找出关键字。
数列。请同学们根据我们刚才分析等
差数列的特征，尝试着给等差数列下
个定义： < br>等差数列：一般地，如果一个数列
从第项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数， 那么这个数列就叫
做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差
通常用字母表示。那么对于以上四组
，，。
总结
等差数列，它们的公差依次是，
提高 提问：如果在
a
与
b
中间插入一个数，由学生回答：因为，，组成
使
a
，，
b
成等差数列数列，那么应满了一个等差数列，那么由定义
足什么条件？ 可以知道：
ab
所以就有
A

2
由三个数，，组成的等差数列可 以看成深入探究，得到更一般化的
最简单的等差数列，这时，叫做与的结论
等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从
第项起，每一项（有穷数列的末项除
外）都是它的前一项 与后一项的等差
中项。
第年
第年
各年末的本利和（单位：元）组成了
数列： ， ， ， ， 。
思考：同学们观察一下上面的这四个
数列：
，，，，，……①
，，， ②
，，，，， ③
， ， ， ， ④
看这些数列有什么共同特点呢？
通过分析，激
发学生学习
的探究知识
的兴趣，引导
揭示数列的
共性特点。
通过学生自
己阅读课本，
找 出关键字，
提高学生的
阅读水平和
思维概括能
力，学会抓重
点。
让学生参与
到知识的形
成过程中，获
得数学学习
的成就感。
引领学习更
深入的探究，
提高学生的
学习水平。

如数列：，，，，，，…中是和的等差中
项，和的等差中项。
是和的等差中项，和的等差中项。
看来，
a
2
a
4< br>a
1
a
5
,a
4
a
6
a< br>3
a
7

从而可得在一等差数列中，若
则
a
m
a
n
a
p
a
q

由学生经过分析写出通项公学会发现规
式： 律，并加以总
①这个数列的第一项是，第项结。
是（），第项是（），第项是
（）， ……由此可以猜想得到这
与序号之间的关系去写出数列的通项
个数列的通项公式是
a< br>n
5n

公式的。下面由同学们根据通项公式② 这个数列的第一项是，第项
的定义，写出这四组等差数列的通项是（），第项是（×），第项是
公式。 （×），由此可以 猜想得到这个
数列的通项公式是
a
n
485(n1)

③ 这个数列的第一项是，第项
是（），第项是（×），第项是
（×），第项是（×） ，第项是
（×）由此可以猜想得到这个
数列的通项公式是
总结
a
n< br>182.5(n1)

提高
④这个数列的第一项是，第项
是（ ），第项是（×），第项是
（×），第项是（×），由此可
以猜想得到这个数列的通项公
式是
a
n
1007272(n1)

⑵、那么，如果任意给了一个等差数 引导学生根据等差数列的定引导学生进
列的首项
a
1
和公差，它的通项公式是义进行归纳： 行理性分析
与推导，从而
什么呢？

a
2
a
1
d,

aad,
得出公式。


32

(n1)个等式


a
4a
3
d,


所以
a
2
a
1
d,

a
3
a
2
d,

a
4
a
3
d,

……
思考：那么通 项公式到底如何表达
a
2
a
1
d,
进一步的分
总结
呢？
a
3
a
2
d(a1
d)da2d,
析。
提高
a
4
a3
d(a
1
2d)da3d,
[等差数列的通项公式] < br>对于以上的等差数列，我们能不能
用通项公式将它们表示出来呢？这是
我们接下来要学习 的内容。
⑴、我们是通过研究数列
{a
n
}
的第项

……
得出通项公式：由此我们可以猜想得思考，并发表各自的意见。
出：以
a
1
为首项，为公差的等差数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
a
1
(n1)d

也就是说，只要我们 知道了等差数列
的首项
a
1
和公差，那么这个等差数列
的通项
a
n
就可以表示出来了。

例、⑴求等差数列，，，…的第项.
⑵是不是等差数列，，，…的项？
如果是，是第几项？
分析：
⑴要求出第 项，可以利用通项公式求
出来。首项知道了，还需要知道的是
该等差数列的公差，由公差的定义 可
以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题
的一个逆问题。要判断这个数是 不是
数列中的项，就是要看它是否满足该
数列的通项公式，并且需要注意的是，
项数是 否有意义。
例题评述：从该例题中可以看出，等
差数列的通项公式其实就是一个关于
a
n
、
a
1
、、（独立的量有个）的方程；
让学生有自主思考的时
空。
让两个学生分别对这两小题加让学生参与
以分析。 课堂。
解：⑴由
a
1
，，，得
a
20
8(211)(3)49

⑵由
a< br>1
，（），得这个数列的
通项公式为
a
n
54(n1 )4n1,
由
题意知，本题是要回答是否存
在正整数,使得成立。
解这个关于的方程，得，
即是这个数列的第项。
聆听教师点评 通过教师点
评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
应用
另外，要懂得利用通项公式来判断所
巩固
给的数是不是数列中的项，当 判断是
第几项的项数时还应看求出的项数是
否为正整数，如果不是正整数，那么
它就不 是数列中的项。
随堂练习：课本页“练习”第题； 完成练习
例．某市出租车的计价标准为 元，起
步价为元，即最初的4km（不含千米）
计费元。如果某人乘坐该市的出租车
去 往14km处的目的地，且一路畅通，
等候时间为，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该 市出
租车的行程大于或等于4km时，
每增加1km，乘客需要支付元.
所以，我们可 以建立一个等差
数列
{a
n
}
来计算车费.
令
a
1
，表示4km处的车费，
公差。那么当出租车行至14km
处时，，此时 需要支付车费
a
11
11.2(111)1.223.2(元
讲 练结合，有
利提高学生
的知识应用
水平
学以致用，将
所学知识应< br>用到具体生
活中去，加深
对概念的理
解。

答：需要支付车费元。

例题评述：这是等差数列用于解决实聆听教师点评
际问题 的一个简单应用，要学会从实
际问题中抽象出等差数列模型，用等
差数列的知识解决实际问题。
随堂练习：课本页“练习”第题； 完成练习
通过教师点
评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
讲练结合，有
利提高学生
的知识应用
水平
例 已知数列
{ a
n
}
的通项公式为分析思考，然后分组讨论，让培养学生分
a
n< br>pnq,
其中、为常数，且≠，那
两组学生代表发表自己的见析问题的能
解 。 力，在小组讨
么这个数列一定是等差数列吗？
论中提高组
长的组织与
归纳组内成
员想法的能
力。
分析： 判定
{a
n
}
是不是等差数列，可解：取数列
{a
n
}
中的任意
以利用等差数列的定义，也就是看相邻两项
a
n
与a
n1
（＞），
a
n
a
n1
（＞）是不是一个与无关的常
求差得 a
n
a
n1
(pnq)[p{n1)q]
数。

pnq(pnpq]p

它是一个与无关的数.
所以
{a
n
}
是等差数列。
对所得结论
进行更深 入
一步的探究，
激发学生的
等差数列，一次项系数就是这
学习兴趣。
个等差数列的公差，首项是.
例题评述：通过这个例题我们
知道判断一个数列是否是 等差
数列的方法：如果一个数列的
通项公式是关于正整数的一次
型函数，那么这个数列 必定是
等差数列。
引导学生动手画图研究完成以下探学生动手画图，并进行学习小通过学生动
究： 组讨论，发表见解。 手作图，并加
探索
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为以对比，让学
研究
a
n
3n5
的数列的图象。这个图象有生体会数列
与函数的内
什么 特点？
课本左边“旁注”：这个等差数列的这个数列的首项
a
1
pq,
公差
dp
。由此我首项与公差分别是多少？

们可以知道对于通 项公式是形
如
a
n
pnq
的数列，一定是

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数
的图象，你发现了什么？据此说一说
等差数列
a
n
pnq
与一次函数的图
象之间有什么关系。
分析：⑴为正整 数，当取，，，……时，
对应的
a
n
可以利用通项公式求出。经
过描 点知道该图象是均匀分布的一群
孤立点；
⑵画出函数的图象一条直线后发现数
列的图 象（点）在直线上，数列的图
象是改一次函数当在正整数范围内取
值时相应的点的集合。于是可 以得出
结论：等差数列
a
n
pnq
的图象是
一次函数的 图象的一个子集，是定义
在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列a
n
pnq
中的的几何意义去探究。
在关系。
本节主要内容为： 以学习小组为单位，在学习小学生自己小
①等差数列定义：即
a< br>n
a
n1
d
(≥) 组中，各自归纳自己对这堂课结，使学生对
课堂
②等差数列通项公式：
的收获，后由小组代表总结归自己所学知
小结
纳。 识有更深刻
a
n

a
1
(n1)d
(≥)
的认识。
推导出公式：
a
n
a
m
(nm)d

、已知
{a
n
}
是等差数列.
⑴
2a
5
a
3
a
7
是否成立？
2a
5
a
1
a
9
呢？为什么？
（）
⑵
2a
n
a
n1
a
n
是否成立？ 据
1
n1
此你能得出什么结论？
2a
n
a
n k
a
n
（）
是否成立？据此
k
n1

评价
设计
你又能得出什么结论？
、已知等差数列
{a
n
}
的公差为.求证：
a
m
a
n
d

mn

作业是课堂
的延续，除了
检验学生对
本节课知识< br>的理解程度，
还在于引导
学生对本课
知识的进一
步探究，让学
生在更大的
深度与广度
之间进行思
考。
七、教学反思

本 节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并
在此基础上学会求等差数列的公 差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、
推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等 差数列有了从感性到理
性的认识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。
福州金桥高级中学 林岳水
点评：

本设计从生活中的数列模型， 如举重级别、水库水位、储蓄的本
息计算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学< br>习的主动性。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括
得出等差数列定义，强化了由 具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。
本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析 细
致、到位、适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理
解的好素材；又如：把通 项公式与一次函数发生联系，利用函数这一
“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想； 还有让
学生经历列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的
联系；此外，用方程 的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在
经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。
本 节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转
变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为 途径，以相互补充展开教
学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂
教 学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡
导的“培养学生积极主动，勇于探索的 学习方式”。
值得商讨的问题，在等差数列中，对于任意正整数
m,n,p,q
，若
mnpq
则
a
m
a
n
a
pa
q
这一性质的在第一课时提出是否不合时
宜，并且只是这样蜻蜒点水是否忽视 了其重要性。

学习是一件增长知识的工作，在茫茫的 学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自 己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴
儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感 到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受 又有谁能表达出
来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的 日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自
己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一 定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，
于是在不经意之间， 我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。