新疆大盘鸡的正宗做法-幼儿讲故事

第1讲
等差数列
知识梳理


按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一 个数叫第一项，又叫首项。
第二个数叫第二项，…，最后一个数叫做末项。
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，…，33；
（3）5，10，15，…，105。
这三个数列都有共同的规律：从第二项起，每一项与 它前面一项的差都相等，这样的
数列叫等差数列。后项与前项的差叫该数列的公差。如第一个数列中，公 差=2-l=1；第二个
数列中，公差=3-l=2；第三个数列中，公差=10-5=5。
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2
以及另外两个重要公式：
（1）项数=（末项-首项）÷公差+l
（2）末项=首项+公差×（项数-1）
典型例题


【例1】★把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？
【解析】该数列 为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）
×2=14 1

【小试牛刀】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？
【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+（21-1）×3=62

【例2】★从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。
【解析】
199



1

【小试牛刀】观察右面的五个数：19、37、55、
a
、91排列的规律，推知
a
=________ 。
【解析】19+18=37，37+18=55，所以
a
=55+18=73

【例3】★2、4、6、8、10、12、
L
是个连续偶数列，如果其中五 个连续偶数的和是320，
求它们中最小的一个．
【解析】方法一：利用等差数列的“中项 定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所
有这些自然数的平均值，五个连续偶数的中间一个数应 为
320564
，因相邻偶数相差2，
故这五个偶数依次是60、62、64、6 6、68，其中最小的是60．

【小试牛刀】1、3、5、7、9、11、
L< br>是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那
么这8个奇数中最大的数是多少？ 【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为
y
，那么这8个数为：
y6
，
y4
，
y2
，
y
，
y2
，y4
，
y6
，
y8
，根据题意可得：
8y8 256
，所以
y31
，最大的奇数
是
y839
．

【例4】★在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．
【解析】每个数比前一个数大7，根据求通项
a
n
a
1
(n1)d
的公式得
n(a
n
a
1
)d1
，
列式得：

(19946)7284

2841285

即第285个数是1994．

【小试牛刀】5、8、11、14、17、20、< br>L
，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65
是其中的第几项？
【解 析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第
n
项

首项
公差
（
，所以，
n1）
L
，第201项
53
对于数列5，8，11，65，一共有：
（2011）605
，
n（6 55）3121
，
即65是第21项．

【例5】★★⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.
【解析】⑴要求第 8项，必须知道首项和公差．第6项

第4项
（64）
公差 ，所以 ，
公差
6
；第4项

首项
3
公差 ，
21
首项
36
，所以，首项
3
；第8项

首项
7
公差
45
．


2

⑵公差
7
，首项
2
，第 6项
37
．
【小试牛刀】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71. 请问这个数列的第1项是
多少？
【解析】71-50=21。21÷（15-8）=3（公 差）。50=首项+（8-1）×3。所以首项=29

【例6】★一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？
【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：
8756
．

【小试牛刀】有20个数，第1个数是9，以后每个数都比 前一个数大3．这20个数相加，
和是多少？
【解析】末项是：
9（201） 366
，和是：
（966）202750


【例7】 ★★已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，
L
，问2009是这个数列的第多少项？
【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7，
L

奇数项的排列规律是：2、4、6、8，
L

方法一：可以看出两个数列都是等差数列．由于2009是奇
数，所以在偶数项数列中，它的 项数是：所以在整个数列中，
（20091）21005
，
2009的项数是< br>100522010
，所以2009是这个数列的第2010项．
方法二：仔细观 察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数
1
，偶数的项数是
该数
2< br>，所以2009是这个数列的第
200912010
项．

【小 试牛刀】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、
L
，问:这个数列中第2000个数是 多
少？第2003个数是多少？
【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8，
L

偶数项的排列规律是：3、6、9、12，
L

可以看出奇数项与偶数项都成等差数列 ，先求出要求的两个数各自在等差数列中的
项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第
20 0021000
个数，第2003个数在
奇数项等差数列中是第
（20031） 21002
个数 ，所以第2000个数是
3（10001）33000
，第2003个数是
2（10021）22004
．

【例8】★ ★如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当
N
=5时，按
这种 方式摆下去，当
N
=5时，共需要火柴棍 根。


3

【解析】找规律3，3+6，3+6+9…,
N
=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

【小试牛刀】观察下面的序号和等式，填括号．
序号 等式
1
1236

3
35715

5
581124

7
7111533


L

LLL


（ ）

【解析】可以这样想：
⑴ 表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)
⑵ 表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？
应先填左起第一个，因为它是序号 ，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列
中所在的位置，即各自的项数．
第一个括号：
（79833）411996
，
1（19961）23991
；
第二个括号：
1（19961）23991
；
第三个括号：根据等差数列通项公式：
2（19961）35987
或
399119965987
；

（ ）（ ）7983（ ）
第四个括号：根据等差数列通项公式：
6（19961）917961
或
5987317961

答案为
3991
；
3991< br>；
5987
；
17961

【例9】★★★四（1）班45位 同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两
个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
【解析】根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和
即 44+43+42+…+3+2+1


4

=（44+1）×44÷2
=990（次）
【小试牛刀】学校进行书法大赛，每个选手都 要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参
加比赛，一共要进行多少场比赛？
【解析】15+14+13+…+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（场）
< br>【例10】★★盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成
3只球 后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子
里……第十次从盒子里 拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里
共有多少只乒乓球？
【解析 】一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只
球……第十次多了2 ×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
【例11】★★★求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。
【解析】 每一横行数列之和：
第一行：（1+50）

50

2=1275
第二行：（2+51）

50

2=1325
第三行：（3+51）

50

2=1375


5

……
第四十九行：（49+98）

50

2=3675
第五十行：（50+99）

50

2=3725
方阵所有数之和：
1275+1325+1375+……+3675+3725
=（1275+3725）

50

2
=125000
【小试牛刀】求下列方阵中100个数的和。
0、1、2、3、……8、9；
1、2、3、4、……9、10；
2、3、4、5、……10、11；
……
9、10、11、12、……17、18。
【解析】 900
【例12】★★若干人围成1 6圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912
人，问最外圈有多少人？最内圈有多少 人？
【解析】a
n
+a
1
=S

2
< br>n=912

2

16=114（人）
外圈人数=（90+114）

2=102（人）
内圈人数=（114-90）

2=12（人）
【小试牛刀】若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304
人 ，最外圈有几人？
【解析】 52人

【例13】★★★自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？
3
911
192123
33353739
......


1
5
13
25
41
7
1517

272931
43454749
......
6

【解析】从两个方面考虑：
（1）先看组成这张表的数：1，3，5，7 ，9，….这是一个公差为2的等差数列.第60
行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道 第60行第5个数是数列中的第几项
即可求解.而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数 .
（2）从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，….第60行第5< br>个数也就是排完59行后又排5个数.59行所排数的个数就是1，3，5，7，…，中的第59
项.
所以，第59行所用数的个数为：1＋2×（59-1）＝117（个），从第一行排到第59行 所用
数的总个数为：（1＋117）×59÷2=3481（个），到第60行第5数共用去数的个数为 ： 3481
＋5＝3486（个），第60行第5个数是数列1，3，5，7，…中第3486项，为 ：1＋2×（3486-1）
＝6971

【小试牛刀】有一个六边形点阵，如下图 ，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边
有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共1 00层，问，这个点阵共有多少个
点？

【解析】第100层有点：6+（99-1）

6
=6+98

6
=6

99
=594（个）

点阵只有点： 1+（6+594）

99

2
=1+600

99

2
=29701（个）
答：这个点阵共有点29701个。
【例14】★★★100个 连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1
个，第3个…第99个，再把剩下 的50个数相加，得多少？
【解析】要求和，我们可以先把这50个数算出来.
100个 连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：首项+末项=8450×2÷100=169，又因为
末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，
42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.


7

【例15】★★★把210拆成7个自然 数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个
数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多 少？

【解析】由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为21 0÷7=30，所
以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15 ，第6个数是40.

课后作业


1.1、4、7、10、1 3、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的
是几？
【解析】 设这个数为：
x6
，
x3
，
x
，
x3
，
x6
，
x9
，它们的和是
6x9159
，所以
x25
，那么最小数为19．

2.对于数列4、7、10、1 3、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100
项与第50项的差是多少？
【解析】可以观察出这个数列是公差为3的等差数列．根据刚刚学过的公式：
第
n< br>项

首项

公差
（
，项数

(末项

首项)

公差
1
，第
n
项

第
m
项

公差
n1）

（nm）
第10项为：
43（101）42731
，49在数列中的项数为：（494）3116

第100项与第50项的差：
3（10050）150
．

3.如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项．
【解析】要求第 16项，必须知道首项和公差．第10项－第4项
（104）
公差，所以，公
差

6 ；第4项

首项
3
公差 ，21

首项
36
，所以，首项

3 ；第16项

首项
15
公差

93 ．
4.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和．
【解析】末项是：
135
（13158)3022565

（301）158
，和是：
5. 有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？
【解析】 末项是：
9（201）366
，和是：
（966）202750


8

6.有许多等式:

2461353
；

81012147911134
；

161820222415171921235
；


那么第10个等式的和是_______
【解析】前九个等式左边的数共有
34 L11（311）9263
（个）数，那么第十个
等式左边第一个数是
（ 631）2128
，所以第十个等式的和是
128130L150（1281 50）1221668
．

7.在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？
【解析】 第48项是286，508是第85项

8.全部三位数的和是多少？
【解析】（100+999）

900

2
=1099

900

2
=494550
答：全部三位数的和是494550。
9.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
【解析】 1000
10.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大
的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形
中一共要放 多少根火柴棒?





【解析】如果把图中最上端的 一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上
的三角形,一个向下的三角形)看做第 二层,那么这个图中一共有10层三角形。


9

不难看 出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10。
它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。
求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。
即: 3+6+9+…+30
=(3+30) × 10÷ 2
=33× 5
=165(根)
11. 一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一
次，问参加聚会 的共有多少人？
【解析】设共有n人参加了聚会，因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次， 所以
一共握手（n-1）+（n-2）+…+2+1=n×（n-1）÷2，因为共握手28次，所以n ×（n-1）÷2=28，
即n×（n-1）=56.又因为n是正整数，通过计算，可知8×7=56 ，n=8，所以参加聚会的共有8
人。
12.（第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷）下面的数的总和是 ____ ．
0 1 2 …49
1 2 3 … 50
48 49 50 …98
49 50 51 …98
【解析】总和是49×2500=122500．
13.将自然数按下面的形式排列
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？

【解析】第10行最 左边的数是82，最右边的数是100，第10行所有数的和（82＋100）×
19÷2=1729.



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