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等差数列复习
一、等差数列的有关概念：
1、等差数列的判断方法：定义法
a
n1
a
n
d(d
为常数
）
或a
n1
a
n
a
n
a
n1
( n2)
。
如设
{a
n
}
是等差数列，求证：以b
n
=
等差数列。
2、等差数列的通项：
a
n
a
1
(n1)d
或
a
n
a
m
(nm)d
。
如(1)等差数列
{a
n
}
中，
a
1 0
30
，
a
20
50
，则通项
a
n< br>
（答：
2n10
）；
（2）首项为-24的等差数列， 从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
a
1
a
2
a
n

nN*
为通项公式的数列
{b
n
}
为
n
8
d3
）
3
n(a
1
a
n
)n(n1)
d
。 ，
S
n
na
1

22
315
1
*
如（1）数列
{a
n
}
中，
a
n
a
n1
(n2,nN)
，
a
n

，前n项和
S
n

，
22
2
3、等差数列的前
n< br>和：
S
n

则
a
1
＝ ＿，
n＝＿（答：
a
1
3
，
n10
）；
（2）已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
12nn
2
，求数列
{|a
n
|}
的前
n< br>项和
T
n
（答：
2*


12nn(n 6,nN)
T
n


2
）.
*

n12n72(n6,nN)
4、等差中项：若
a,A,b
成 等差数列，则A叫做
a
与
b
的等差中项，且
A
ab。
2
提醒：（1）等差数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到5个元 素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为基本元素 。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设 元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a2d,ad,a,ad,a2d
…（公差 为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a3d,ad,ad,a3d
,…（公差为2
d
）
5、等差数列的性质：
（1）当公差
d0
时，等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n1)ddn a
1
d
是关于
n
的一
次函数，且斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
na
1

函数且 常数项为0.
n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次
222

（2）若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
，则为递减等差数列，若公差
d0，则为常数列。
（3）当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p
.
如（1）等差数列
{a
n
}
中，
S
n
18,a
n
a
n1
a
n2
3,S
3
1
，则
n
＝____（答：27）；
(4) 若
{a
n< br>}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n}
、
{ka
n
pb
n
}
(
k、
p
是非零常数)、
a
…也成等差数列，而
{a
n}
成等比数列；若
{a
n
}S
n
,S
2nS
n
,S
3n
S
2n
，
{a
p nq
}(p,qN
*
)
、
是等比数列，且
a
n
0
，则
{lga
n
}
是等差数列.
如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：
225）
（5）在等差数列
{a
n
}
中，当项数 为偶数
2n
时，
S
偶
－S
奇
nd
；项数 为奇数
2n1
时，
；
S
奇
：S
偶
n:

n-1

。
S
奇
S
偶
a
中
，
S
2n1
(2n1)a
中
（这里a
中
即
a
n
）
如（1）在等差数列中，S
11
＝22，则
a
6
＝______（答：2）；
※（2）项数为奇数 的等差数列
{a
n
}
中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
※（6）若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
，且
A
n
f(n)
，则
Bn
a
n
(2n1)a
n
A
2n1
f (2n1)
.如设{
a
n
}与{
b
n
}是两个等 差数列，它们的前
n
项和分
b
n
(2n1)b
n
B
2n1
别为
S
n
和
T
n
，若
a
6n2
S
n
3n1
，那么
n

__ _________（答：）

8n7
b
n
T
n
4n3
(7)“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增
等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

a
n
0


a
n
0

确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前
n
项是关于
< br>或





a
n1
0

a
n1
0

n
的二次函数，故可转化 为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
nN
*
。上述两种
方法是运用 了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如（1）等差数列
{a
n
}
中，
a
1
25
，
S
9
S
17
，问此数列前多少项和最大？并求此最大

值。（答 ：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若
{a
n
}
是等差 数列，首项
a
1
0,a
2003
a
2004
 0
，
a
2003
a
2004
0
，则使前n项和
S
n
0
成立的最大正整数n是 （答：4006）
※（3）在等差数列

a
n

中，a
10
0,a
11
0
，且
a
1
 |
0
则（ ）
a|
，
S
n
是其前
n
项和，
1
A、
S
1
,S
2
B、
S
1
,S
2
C、
S
1
,S
2
D、
S
1
,S
2
S
10
都小于0，
S
11
,S
12
S
19
都小于0，
S
20
, S
21
S
5
都小于0，
S
6
,S
7
S
20
都小于0，
S
21
,S
22
都大于0
都大于0
都大于0
都大于0 （答：B）
※(8)如果两等差 数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数 列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项
数不一定相同，即研究
a
n
b
m
.