听课随感-关于普通话的笑话

教学设计思路：
根据高中数学课堂教学设计的基本原理 ，在前期分析的基础上结合《普通
高中数学课程标准》（实验），制定了“等差数列”第1课时的教学设 计方案．数列在整个中
学数学内容中处于一个知识汇合点的地位，且有着广泛的实际应用．《等差数列》 这节内容是
培养学生观察问题，启发学生思考问题的好素材．教材重视从通过鞋号、座位数、运动员训< br>练量等具体实例引入等差数列，注意将其应用到实际中去，引导学生在解决实际问题过程中
提高分 析问题和解决问题的能力．同时教材也强调了等差数列与一次函数的联系．因此确定
本节课的教学重点是 等差数列的概念和等差数列的通项公式，关键是讲清等差数列“等差”
的特点及通项公式的含义．基于上 述理解，故设计了以“问题”为主线的“创设情景－提出
问题－解决问题－再提出问题”的教学模式．
1. 学习任务分析
“等差数列”是人民教育出版社2006年出版的《数学（必修）》（全 日制普通高级中学教
科书）第三章数列中3.2节的内容，主要包括：等差数列的概念和等差数列的通项 公式．数列
在整个中学数学教学内容中处于一个知识的汇合点的地位，尤其是等差数列与等比数列，有< br>着广泛的实际应用．数列还起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决数列
的某些 问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；另一方面，学
习数列又为进一步学 习数列的极限等内容作好了准备．请补充分析本节内容与前后内容之间
的关系。
教学重点与难点：
重点是等差数列概念的理解及等差数列的通项公式；
难点是等差数列“等差”的特点及通项公式含义的理解．
2. 学习者分析
学习者 是高中一年级第一学期的学生．通过初中的学习和平时生活经验的积累，对“等
差数列”的内容已有一定 的生活经验和认知基础，但是对于把生活问题数学化，用抽象的数
学符号语言来准确地描述，还有一定的 难度．
3. 教学目标：
教学目标有误：“了解”“掌握”都是含糊的动词，请改为相应的行 为动
词，行为动词请参照课标，请用明确、具体的行为动词。教学目标的行为主体是学生，而非
教师，因此诸如“激发学生自主学习的兴趣和热情；”的行为主体就是教师了，

（1）知识与技能
①会用定义判断已知数列是否为等差数列；
②会写出已知等差数列的通项公式；
③能用函数观点分析等差数列和一次函数的关系，能用一次函数的知识来认识等差数
列的性质．
（2）过程与方法
①经历等差数列概念的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想方法；
②通过等差数列的通项公式的探究活动，体验数学发现和创造的历程；
（3）情感态度与价值观
①体验探索发现知识带来的快乐；
②感受数学思想和数学文化的深刻内涵；
③形成自主学习的兴趣和热情；
④养成勇于探究的科学精神．
4. 教学准备

与课堂教学相关的多媒体课件．
5. 教学过程设计
（1）创设情境——引入概念：
某饮料公司拟推出一项有利于环境保护的回收饮料瓶的措施，规定每3个饮料罐可
换1罐饮料……
填写下列表格：
购买的罐数
喝到的罐数
购买的罐数
喝到的罐数
1
1
2
2
3
4
4
5
5
7
6
8
7
10
8
11
9
13
10
14
问题一:①购买11罐，可喝到几罐?
②购买12罐，可喝到几罐?
③购买13罐，可喝到几罐?
④若购买77罐饮料，可喝到几罐饮料？
⑤若购买
m
罐饮料，可喝到几罐饮料？
创设废品回收的问题情景，渗透环保意识，增加人文气息．
在概念教学时，应更多地从概念的产生和 发展的过程中为学生提供思维情境，让他们通
过观察、比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象．因为 数学知识的学习过程是一种包含
猜测、试误、证明与反驳、实验与改进的复杂过程，所以数学课堂教学过 程应该经历从现实
背景中抽象出数学知识的全过程．
（2）观察归纳——形成概念：
为回答以上问题,先看下面的数列：
1，3，5，7，9， ①
1，4，7，10，13； ②
2，4，6，8，10； ③
2，5，8，11，14； ④
问题二：能用数学文字语言来描述这些数列的共同特征吗？
启发学生积极思考,大胆猜想,归纳出共同特点,引出等差数列的定义.
若从教材的几个数列 出发，马上提问“这些数列有什么共同特点”，尤其是让学生从“每一项
减前一项的差都相等”这一特征 去发现问题，造成学生的思维定势，没有一个让学生自主观察、
发现、探索的空间，不利于数学概念的形 成．
让学生用数学文字语言和符号语言来描述，并展示学生学习理解的过程，实现概念的数
学化．

要求学生在不看课本的前提下总结等差数列的定义，学生可能会下“后一项与前一项的差
等于常数”、“每一项与它前一项的差等于同一个常数”的等差数列的定义，尽管总结的语言很可
能不严密、不流畅，教师也不要着急地去照本宣科，否定学生的回答，相信学生在经历了一
番挫折后会 逐步完善他们的语言表述，这样一方面使形成的知识记忆牢固，另一方面能真正
将培养能力落到实处．
能用数学符号语言来描述这些数列的共同特征吗？
a
n
a
n1
d
（
d
为常数，
nN*
且
n2
）
无论是数学文字语言还是数学符号语言的描述都是十分严谨的，容不得丝毫偏差．
严谨求实是数学最基本的科学态度．它也是数学人文价值的重要体现之一．
实际生活中这样的数列例子很多，让学生举例．
例如：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码；衬衫尺寸；堆垛等．
数学源于生活．加深对数列的感性认识．
满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的 数列取一个名字．教师可将为数列取
名的任务交给学生，让学生切身体会数学家思想轨迹．
定 义：1、文字语言:一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于
同一个常数，那 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字
母
d
表示．
2、数学符号语言：
a
n
a
n1
d
（d
为常数，
nN*
且
n2
）．
对定义进行分析，强调：
ⅰ．从第２项起；
ⅱ．相邻两项的差，且后一项减去前一 项；（防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可
以是正数、负数、也可以是零）
ⅲ．差为同一个常数；
ⅳ．
nN*
且
n2
，对所有的ｎ都成立，无一例外．
数学史介绍：等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列．在
1858年苏格 兰收藏家收藏的、出自埃及的、约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等
差数列（10人分1 0斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少
1
）；在我国出土的春
8
秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置；成书于公元前二世纪的《周髀
算经》上有“ 七衡图”……这些都记载着对等差数列的大量研究，被誉为“数字推理的第一
思维”．
数学史 是人类文化的重要组成部分，贯穿数学文化的发展历程．有意识地融入数学史

的教学，利 用它激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，促进学生对数学的理解和对数
学价值的认识，构筑数学 与人文之间的桥梁．
抽象出的4个数列都是等差数列，分别说出它们的公差．
引导 学生发现公差
d
对数列的影响，当
d0
时，数列的递增的，当
d 0
时，数列是递
减的，当
d0
时，数列是常数列．
（3）变式训练——巩固概念：
问题三：将数列①的项的次序颠倒，得到下列数列9,7,5 ,3,1,是否与原数列一样？是否是等
差数列？若是，公差是多少？
练习：判断下列数列是否为等差数列？若是，公差是多少？若不是，说明理由．
① ２，０，２，４，６，８；
②
3,12,27
；
③
7x< br>，
3x
，
x
，
5x
，
9x
；
④
a,a,a,a,,a,
．（需分类讨论）
通过变式训练，巩 固概念．注意对数列概念严谨性的分析，尤其是③和④，应分析公差
d
是一个不随项数
n
的改变而改变的常数．
变式要有一定的难度，但要体现由易到难，层层递进，让问题始 终处于学生思维水平的
最近发展区．设计变式一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间．
（4）讨论研究——深化概念：
Ⅰ．通项探究：
回到引入的问题一，其中的①②③ 都易解决，但④比较麻烦…引导学生得出：若能求出
通项公式，问题就容易解决了，并把问题推广到一般 情况．
问题四：已知等差数列
{a
n
}
的首项是
a
1
，公差是
d
，
a
2
,a
3
,a
4
是多少？
a
n
又是多少（用首
项
a
1
及公差
d
表示）？
方法1：
234n
n2
时，
a
2
a
1
d

n3
时，
a
3
a
2
da
1
2d

n4
时 ，
a
4
a
3
da
1
3d

…

a
n
a
n1
da
1
(n1)d

n1
时，也成立．
（归纳，猜想．培养学生的合情推理的能力）
方法2：
a
2
a
1
d


a
3
a
2
d


a
4
a
3
d


a
5
a
4
d

…

a
n
a
n1
d

用叠加，得
an
a
1
(n1)d
，
n1
时，也成立．
整理，得：
a
n
a
1
(n1)d

nN


在学生讨论探索的基础上，点评小结：
方法1的通项公 式是由
a
2
,a
3
,a
4
……归纳得到的，归纳得 出的公式对
a
1
是否成立需要补
充说明．
这种由前几项归纳得出 一般的通项公式的方法（由特殊到一般），我们称为不完全归纳法，
其结果不一定可靠，还需证明的，这 里证明省略．归纳法，也是我们今后已知数列的递推式
求通项公式的常用方法．
方法2叫累差叠加法．
在分析过程中引导学生得出：在叠加时，从上到下少加一行，就会得到
a
n
a
2
(n2)d
，少加两行就会得到
a
n
a
3
(n3)d
…，

即得到
a
n
a
m
(nm)d

m,nN
．
引导学生思考：在等差数列
{a
n
}
中，确定其中任意的两项，这个等差数列的通项确定吗？
弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生 的“再创造”．教师不必将各种规则，定律灌输
给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子 ，让学生在实践活动的过程中，自
己“再创造”出各种运算方法，或是发现有关的各种规律．
说明：等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
（
nN*
）
① 已知一个等差数列的首项和公差，可以确定这个数列中的任何一项.
② 等差数列的通项公式反映的是第
n
项与首项、公差的关系．

③ 公式中一共有
a
1
,a
n
,n,d四个量，其中
a
1
与
d
是基本量，只要知道其中的任意三个量< br>的值，就可以利用方程思想求出第四个量的值，即知三求一．
④ 公式记忆：等差数列的第
n
项是其首项与公差的
(n1)
倍之和．
数学教师要不要培养学生的记忆能力？这是有争议的．我认为，数学教师有可能、也有
必要培养学生的 记忆能力．
写出①②③④四个数列的通项公式．
Ⅱ．简单应用：
例：在等差数列
{a
n
}
中，已知
a
5
10
，
a
12
31
，求
a
n
．

a
1
4d10
解：由题意可知


a11d31

1
解方程组，得
a
1
2,d3

即这个等差数列的首项是
2
，公差是
3
；通项公式为< br>a
n
3n5
．
引导学生一题多解，注意让学生分析，并通过学 生的不同解释，加深对数列基本法的理
解，以及决定等差数列要素的选择．本解法采用待定系数法，通过 解方程（组），求出首项和
公差．方程思想，是数学中常用的解题思想方法．
方程思想的核心 是运用数学的符号化语言，将问题中已知量和未知量（或参变量）之间
的数量关系，抽象为方程（或方程 组）、不等式等数学模型，然后通过对方程（或方程组）、
不等式的变换求出未知量的值，使问题获解． 方程思想体现了已知和未知的对立统一．
练习：解决引入问题．
若是消费者购买了77罐饮料，则可以喝到115罐饮料；
若是消费者购买了
m罐饮料，则当
m
是奇数时，可以喝到
时，可以喝到
3m1
罐饮 料；当
m
是偶数
2
3m2
罐饮料．
2
Ⅲ．挖掘等差数列的函数特征：
在数列的通项公式中，任取一个
n
，都有唯一一个
a
n
与之对应，联系映射的思想，挖掘
数列的函数特征．
问题五：数列的通项公式的实质是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，那么，等

差数列的通项公式是什么函数？
a
n
a
1
(n1 )ddna
1
d
，
等差数列的通项公式也可以表示成
a< br>n
pnq
（设
pd,qa
1
d
）．
结论：当
p0
即公差
d0
时，它是关于
n
的一次函数，当
p0
即公差
d0
时，它
是常数函数．
在讲等差数列的概念时，凸现它与一次函数的联系，便于利用所学过的一次函数的知识
来认识等差数列的 性质．对于任意一个
n
，都有唯一确定的
a
n
与之对应，这与以前学 过的什
么内容类似，引发学生联想，归纳，学生自然会想到一次函数，并告诉学生这不是新的知识，而是函数旧知识的延伸和拓展．
问题六：数列图像是一群孤立的点，那么，等差数列的图像又有什么特征？
结论：用图象表示 时，从图上看，表示这个数列的各点
(n,a
n
)
均匀排列在直线
y pxq
的图象上，其首项是
pq
，公差是
p
．由两个点唯一确 定一条直线的性质，任意两项可以确
定一个等差数列的通项．
（5）总结反思——提高认识
1． 用三种数学语言表述等差数列的概念；
2． 首项是
a
1
， 公差是
d
的等差数列的通项公式为
a
n
a
1
( n1)d
（
nN*
），在这
a
1
,a
n
,n,d
四个量中可知三求一，体现方程思想；
3． 等差数列的通项公式的推导方法．
数学教学的目的不仅仅是向学生传授新知识，它的根本任务是塑造学生良好的认知结
构，只有 搞清楚新旧知识之间的内在联系，找出新旧知识之间的逻辑联系，才能使学生整体
把握知识结构，进而内 化为自己头脑里的认知结构，取得融会贯通、灵活应用的效果．



【形成性练习】
① 下列数列中，成等差数列的是
Ａ．
1,
1111111
,,,
Ｂ．
1,2,3,4,

2342345

Ｃ．
2,2,2,2,
Ｄ．
0.5,0.5,1.5,2.5,

234
3159
,,,,
的一个通项公式是
2222
1373
Ａ．
2n
Ｂ．
2n
Ｃ．
2n
Ｄ．
2n

2222
② 等差数列③在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
3,a100
36
，则
a
36
a
56


④已知
a
5
21,a
10
36
，求
a
1
，
d
．
（6）任务后延——自主探究
1． 阅读课本第114至116，作业：第118习题1，2，3．
2． 在引入的问题中，要喝到58罐 ，需购买几罐？要喝到56罐呢？要喝到60罐呢？能否
得出问题的一般形式？
3． 问题：等差数列有哪些性质？
“问题是数学的心脏”．问题推动着数学的发展，问题也推动着学生的数学学习．

参考文献
1． 胡庆彪 高中数学教例剖析与教案研制 广西教育出版社2005.1
2． 唐瑞芬主编 数学教学理论选讲 华东师范大学出版社 2002.5
罗增儒 中学数学课例分析 陕西师范大学出版社 2



你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。 （舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风）我不去想悠 悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那
桃花扇底悄悄 探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵 牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人和日月星
辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵 树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做 了多么明智合理的选择，在结果出来之前，
谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那 个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后 ，大家焦虑地等待，
却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月 亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了……记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。 灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦 荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了
一切太阳还可以重 新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在
我就不会悲哀冬雪 终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都 落了一只蓝蜻蜓。 一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青
丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤 莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责 别人说谎，其实是太渴望那消息真实。 原
来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下 永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童 的稚语，夕阳下相
互搀扶的老人.......那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖 变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。 孔明灯真的很漂
亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。 原 来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄
昏。风。无垠的旷野。一棵树。----就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在 骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样...... 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影
的地方，必定有光 最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。我们会 不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄 然远去。谁也阻
止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天，明明是最火热的季节，却承载着最盛大的离别 。睡着你的秘密，醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。人生有很多选择，一个选择又
决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。人生 最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的 早春二月，
乍暖还寒的时候，鹅 黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘 扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之
际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著 ，这是晚晴的暮年……人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。 有个地方，名为汴梁，那 年桃花肆意，旧年，桃花消散在汴梁。
桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离。那个 汴梁有个童谣：桃花屋外飞满天，桃花谷里醉缠绵。桃花屋内冷桃茶，夭夭桃花葬桃恋。问桃花十八为几年，不谈 墨离负花颜，
江河暗流痴情魂，温柔十里桃花人。竹马青梅，亦是无猜，满眼繁花，只为那十八年的傻傻 等候，公子俊秀，书画幔纱，唯有流逝一瞬，继过千年。 1、起地你出小起时，我们手牵手，看过声地