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等差数列和等比数列知识点梳理
第一节：等差数列的公式和相关性质
1、等 差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一
个定值，则称这个数列为等差数列， 记：
a
n
a
n1
d
（d为公差）（
n2< br>，
nN
*
）

2、等差数列通项公式：
an
a
1
(n1)d
，
a
1
为首项，d
为公差
推导过程：叠加法


推广公式：
a
n
a
m
(nm)d


变形推广：
d

3、等差中项
（1）如果
a，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
或
2Aab


（2）等差中项：
数列

a
n

是等差数列2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2an1
a
n
a
n2



4、等差数列的前n项和公式：

S
n




前N相和的推导:当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
m n2p
时，则有
a
m
a
n
2a
p
。（注：
a
1
a
n
a
2
a
n1< br>a
3
a
n2

，）当然扩充到3项、
4 项„„都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

n(a
1< br>a
n
)
n(n1)
na
1
d
22
d
2
1
n(a
1
d)n
An
2
Bn

22
ab
2
a
n
a
m

nm

5、等差数列的判定方法
（1） 定义法：若
a< br>n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN

)



a
n

是等差数列．

（2）等差中项：数列

a
n

是等差数列
2 a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n 1
a
n
a
n2



（ 3）数列

a
n

是等差数列

a
nknb
（其中
k,b
是常数）。

（4）数列

a
n

是等差数列

S
n
An
2
Bn
,（其中A、B是常数）。


6、等差数列的证明方法
定义法或者等差中项发



a
n

是等差数列．


7、等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及 到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为 基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便
可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(n1)d
②奇数个数成等差，可设为„，
a2d,ad,a,ad,a2d
„（公差为d
）；
③偶数个数成等差，可设为„，
a3d,ad,ad,a3d< br>,„（注意；公差为
2
d
）

8、等差数列的性质： （1）当公差
d0
时，等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的
一 次函数，且斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
na1

的二次函数且常数项为0。


n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
222

（2）若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差
d0
， 则为递减等差数列，若
公差
d0
，则为常数列。


（ 3）当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a< br>p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
（注：
a
1
a
n
a
2
a
n1
 a
3
a
n2

，）当然扩充到3项、4项„„
a
m
a
n
2a
p
。
都是可以的，但要保证等号两 边项数相同，下标系数之和相等。


（4）

a
n

、

b
n

为等差数列，则

a
n
b

，


1
a< br>n


2
b
n

都为等差数列
【新数列可以化为一次函数的形式】


(5) 若{
a
n}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n
,S< br>3n
S
2n
，„也成等差数列
推导过程：



(6) 数列
{a
n
}
为等差数列,每隔k (k

N
*
)项取出一项(
a
m
,a
m k
,a
m2k
,a
m3k
,
)仍
为等差 数列
推导过程：


（7）

a
n< br>
、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A< br>n
、
B
n
，则



（8）等差数列
{a
n
}
中，
若
S
m
n
，
S
n
m
，则
S
mn


mn

（1）
若
a< br>n
m,a
m
n
，则
a
mn
0
（2）
推导：
S
n
An
2
Bn
解出A和B 就可以推导出（1）
（2）式直接用推广公式即可

a
n
A
2n1


b
n
B
2n1

(9)求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项和是关于< br>n
的二次函数，故可转化为求二次函数的
最值，但要注意数列的特殊性
nN< br>*
。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是 所有非负项之
和

a
n
0
即当
a
1< br>0，d0，
由

可得
S
n
达到最大值时的
n
值．
a0

n1


（2） “首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。

a0
即 当
a
1
0，d0，
由

n
可得
S
n
达到最小值时的
n
值．

a
n1
0
或求

a
n
< br>中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前
n
项和的图像是过原点的
二次函数，故
n
取离二次函数对称轴最近的整数时，
S
n
取最大值（或最小值）。
若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n













pq

2

等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义：

2、通项公式：
a
n
q

q0

n2

，
q
为公比
a
n1
a
n
a
1
q
n1
，
a
1
为首项，
q
为公比

推广公式：
a
n
a
m
q
nm



q
nm


3、等比中项
（1）如果
a,A,b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
2
ab
或
a
n

a
m
Aab

注意：
同号的两个数才有等比中项，并且它们的等
比中项有两个
（两个等比中项互为相反数）

（2）数列

a
n

是等比数列
a
n
2
a
n1
a
n1

4、等比数列的前n项和
S
n
公式：
(1) 当
q1
时，
S
n
na
1


(2) 当
q1
时，
S
n



推导过程：

a
1

1q
n

1q

a
1
a
n
q

1 q
a
1
a

1
q
n
AAB
n
A'B
n
A'
（
A,B,A',B'
为常数）
1q1q

5、等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n, 都有
a
n1
qa
n
或
等比数列
（2） 等比中项：
a
n
2
a
n1
a
n1
（
a
n1
a
n1

0）

{a
n
}
为等比数列

（3） 通项公式：
a
n
A B
n

AB0


{a
n
}
为等比数列

（4） 前n项和公式：
a
n1
q(q为常 数，a
n
0)

{a
n
}
为
a
n
S
n
AAB
n
或S
n
A'B
n
A'

A,B,A',B'为常数


{a
n< br>}
为等比数列


6、 等比数列的证明方法
依据定义：若


7、等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项 公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
q

q0

< br>n2,且nN
*

或
a
n1
qa
n

{a
n
}
为等比数列
a
n1
an
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称 作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便
可求出其余2个，即知3求2。
（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
a
n
a
1
q
n1

如奇数个数成等比，可设为„，
注意隐含条件公比
q
的正负

8、等比数列的性质：
(1) 当
q1
时
①等比数列通项公式
a
n
a
1
q
n1

类指数函数，底数 为公比
q

a
1
n
qAB
n

AB0

是关于
n
的带有系数的
q
aa
,, a,aq,aq
2
„（公比为
q
，中间项用
a
表示）；2
qq

②前
n
项和
S
n
a
1

1q
n

1q
a
1
a
1
q
n
a
1
a

1
q< br>n
AAB
n
A'B
n
A'
，系数
1q1q1q
和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
q


(2) 对任何m,n

N
*
,在等比数列
{a
n
}
中,有
a
n
a
m
q
nm
, 特别的,当m=1时,便得到
等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若
mnst
(
m,n,s,t

N
*
),则
a
n
a
m
a
s
 a
t
。特别的,当
mn2k
时,得
a
n
a< br>m
a
k
2

a
k
(4) 列
{a
n
}
,
{b
n
}
为等比数列,则数列
{}
,
{ka
n
}
,
{a
n
k
}< br>,
{ka
n
b
n
}
{
n
} (k为非零
b
n
a
n
常数) 均为等比数列。
【可 以化为
a
n
AB
n

AB0


{a
n
}
为等比数列】

(5) 数列
{an
}
为等比数列,每隔k(k

N
*
)项取出一项(< br>a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,
)仍为
等比数列

(6) 如果
{a
n
}
是各项均为正数的等比数列,则数列
{log
a
a
n}
是等差数列


(7) 若
{a
n
}为等比数列,则数列
S
n
，
S
2n
S
n，
S
3n
S
2n
,
，成等比数列


(8) 若
{a
n
}
为等比数列,则数列
a1
a
2
a
n
,
a
n1
a
n2
a
2n
,
a
2n1
 a
2n2
a
3n
成
等比数列
备注：和（7）本质上是一样的。

(9) ①当
q1
时， ②当
0时，
{
a
1
0，则{a
n}为递增数列
a
1
0，则{a
n
}为递减数列
,
{
a
1
0，则{a
n
}为递减数列
a
1
0，则{a
n
}为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q<0时,该数列为摆动数列。

(10)在等比数列
{a
n
}
中, 当项数为2n (n

N
*
)时,

(11)若
{a
n< br>}
是公比为q的等比数列,则
S
nm
S
n
q< br>n
S
m




S
奇
1

,。
S
偶
q