等差数列、等比数列知识点梳理
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等差数列和等比数列知识点梳理
第一节:等差数列的公式和相关性质
1、等
差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一
个定值,则称这个数列为等差数列,
记:
a
n
a
n1
d
(d为公差)(
n2<
br>,
nN
*
)
2、等差数列通项公式:
an
a
1
(n1)d
,
a
1
为首项,d
为公差
推导过程:叠加法
推广公式:
a
n
a
m
(nm)d
变形推广:
d
3、等差中项
(1)如果
a,
A
,
b
成等差数列,那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项.即:
A
或
2Aab
(2)等差中项:
数列
a
n
是等差数列2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2an1
a
n
a
n2
4、等差数列的前n项和公式:
S
n
前N相和的推导:当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
,特别地,当
m
n2p
时,则有
a
m
a
n
2a
p
。(注:
a
1
a
n
a
2
a
n1<
br>a
3
a
n2
,)当然扩充到3项、
4
项„„都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。
n(a
1<
br>a
n
)
n(n1)
na
1
d
22
d
2
1
n(a
1
d)n
An
2
Bn
22
ab
2
a
n
a
m
nm
5、等差数列的判定方法
(1) 定义法:若
a<
br>n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)
a
n
是等差数列.
(2)等差中项:数列
a
n
是等差数列
2
a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n
1
a
n
a
n2
(
3)数列
a
n
是等差数列
a
nknb
(其中
k,b
是常数)。
(4)数列
a
n
是等差数列
S
n
An
2
Bn
,(其中A、B是常数)。
6、等差数列的证明方法
定义法或者等差中项发
a
n
是等差数列.
7、等差数列相关技巧:
(1)等差数列的通项公式及前
n
和公式中,涉及
到5个元素:
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
,其中
a
1
、
d
称作为
基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便
可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项
a
n
a
1
(n1)d
②奇数个数成等差,可设为„,
a2d,ad,a,ad,a2d
„(公差为d
);
③偶数个数成等差,可设为„,
a3d,ad,ad,a3d<
br>,„(注意;公差为
2
d
)
8、等差数列的性质: (1)当公差
d0
时,等差数列的通项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的
一
次函数,且斜率为公差
d
;前
n
和
S
n
na1
的二次函数且常数项为0。
n(n1)dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
222
(2)若公差
d0
,则为递增等差数列,若公差
d0
,
则为递减等差数列,若
公差
d0
,则为常数列。
(
3)当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a<
br>p
a
q
,特别地,当
mn2p
时,则有
(注:
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2
,)当然扩充到3项、4项„„
a
m
a
n
2a
p
。
都是可以的,但要保证等号两
边项数相同,下标系数之和相等。
(4)
a
n
、
b
n
为等差数列,则
a
n
b
,
1
a<
br>n
2
b
n
都为等差数列
【新数列可以化为一次函数的形式】
(5) 若{
a
n}是等差数列,则
S
n
,S
2n
S
n
,S<
br>3n
S
2n
,„也成等差数列
推导过程:
(6) 数列
{a
n
}
为等差数列,每隔k
(k
N
*
)项取出一项(
a
m
,a
m
k
,a
m2k
,a
m3k
,
)仍
为等差
数列
推导过程:
(7)
a
n<
br>
、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A<
br>n
、
B
n
,则
(8)等差数列
{a
n
}
中,
若
S
m
n
,
S
n
m
,则
S
mn
mn
(1)
若
a<
br>n
m,a
m
n
,则
a
mn
0
(2)
推导:
S
n
An
2
Bn
解出A和B
就可以推导出(1)
(2)式直接用推广公式即可
a
n
A
2n1
b
n
B
2n1
(9)求
S
n
的最值
法一:因等差数列前
n
项和是关于<
br>n
的二次函数,故可转化为求二次函数的
最值,但要注意数列的特殊性
nN<
br>*
。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前
n
项和的最大值是
所有非负项之
和
a
n
0
即当
a
1<
br>0,d0,
由
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a0
n1
(2)
“首负”的递增等差数列中,前
n
项和的最小值是所有非正项之和。
a0
即 当
a
1
0,d0,
由
n
可得
S
n
达到最小值时的
n
值.
a
n1
0
或求
a
n
<
br>中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前
n
项和的图像是过原点的
二次函数,故
n
取离二次函数对称轴最近的整数时,
S
n
取最大值(或最小值)。
若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n
pq
2
等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义:
2、通项公式:
a
n
q
q0
n2
,
q
为公比
a
n1
a
n
a
1
q
n1
,
a
1
为首项,
q
为公比
推广公式:
a
n
a
m
q
nm
q
nm
3、等比中项
(1)如果
a,A,b
成等比数列,那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项.即:
A
2
ab
或
a
n
a
m
Aab
注意:
同号的两个数才有等比中项,并且它们的等
比中项有两个
(两个等比中项互为相反数)
(2)数列
a
n
是等比数列
a
n
2
a
n1
a
n1
4、等比数列的前n项和
S
n
公式:
(1)
当
q1
时,
S
n
na
1
(2) 当
q1
时,
S
n
推导过程:
a
1
1q
n
1q
a
1
a
n
q
1
q
a
1
a
1
q
n
AAB
n
A'B
n
A'
(
A,B,A',B'
为常数)
1q1q
5、等比数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n,
都有
a
n1
qa
n
或
等比数列
(2)
等比中项:
a
n
2
a
n1
a
n1
(
a
n1
a
n1
0)
{a
n
}
为等比数列
(3) 通项公式:
a
n
A
B
n
AB0
{a
n
}
为等比数列
(4) 前n项和公式:
a
n1
q(q为常
数,a
n
0)
{a
n
}
为
a
n
S
n
AAB
n
或S
n
A'B
n
A'
A,B,A',B'为常数
{a
n<
br>}
为等比数列
6、 等比数列的证明方法
依据定义:若
7、等比数列相关技巧:
(1)等比数列的通项
公式及前
n
和公式中,涉及到5个元素:
a
1
、
q
、
n
、
a
n
q
q0
<
br>n2,且nN
*
或
a
n1
qa
n
{a
n
}
为等比数列
a
n1
an
及
S
n
,其中
a
1
、
q
称
作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便
可求出其余2个,即知3求2。
(2)
为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:
a
n
a
1
q
n1
如奇数个数成等比,可设为„,
注意隐含条件公比
q
的正负
8、等比数列的性质:
(1) 当
q1
时
①等比数列通项公式
a
n
a
1
q
n1
类指数函数,底数
为公比
q
a
1
n
qAB
n
AB0
是关于
n
的带有系数的
q
aa
,,
a,aq,aq
2
„(公比为
q
,中间项用
a
表示);2
qq
②前
n
项和
S
n
a
1
1q
n
1q
a
1
a
1
q
n
a
1
a
1
q<
br>n
AAB
n
A'B
n
A'
,系数
1q1q1q
和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比
q
(2) 对任何m,n
N
*
,在等比数列
{a
n
}
中,有
a
n
a
m
q
nm
,
特别的,当m=1时,便得到
等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若
mnst
(
m,n,s,t
N
*
),则
a
n
a
m
a
s
a
t
。特别的,当
mn2k
时,得
a
n
a<
br>m
a
k
2
a
k
(4) 列
{a
n
}
,
{b
n
}
为等比数列,则数列
{}
,
{ka
n
}
,
{a
n
k
}<
br>,
{ka
n
b
n
}
{
n
} (k为非零
b
n
a
n
常数) 均为等比数列。
【可
以化为
a
n
AB
n
AB0
{a
n
}
为等比数列】
(5) 数列
{an
}
为等比数列,每隔k(k
N
*
)项取出一项(<
br>a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,
)仍为
等比数列
(6) 如果
{a
n
}
是各项均为正数的等比数列,则数列
{log
a
a
n}
是等差数列
(7) 若
{a
n
}为等比数列,则数列
S
n
,
S
2n
S
n,
S
3n
S
2n
,
,成等比数列
(8) 若
{a
n
}
为等比数列,则数列
a1
a
2
a
n
,
a
n1
a
n2
a
2n
,
a
2n1
a
2n2
a
3n
成
等比数列
备注:和(7)本质上是一样的。
(9)
①当
q1
时,
②当
0时,
{
a
1
0,则{a
n}为递增数列
a
1
0,则{a
n
}为递减数列
,
{
a
1
0,则{a
n
}为递减数列
a
1
0,则{a
n
}为递增数列
③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
④当q<0时,该数列为摆动数列。
(10)在等比数列
{a
n
}
中, 当项数为2n
(n
N
*
)时,
(11)若
{a
n<
br>}
是公比为q的等比数列,则
S
nm
S
n
q<
br>n
S
m
S
奇
1
,。
S
偶
q