书香屋-奚落的反义词

标准

第一讲 数列定义及其性质
一、基本概念：
1、通项公式：
a
n
； 2、前
n
项和：
S
n

3、关系：
a
n< br>S
n
S
n1
(n2)

二、性质： 1、单调性：增数列：
a
n
a
n1
；减数列：
a< br>n
a
n1
；常数列：
a
n
a
n1< br>
2、最值：


最大值：减数列

a
n



最小值：增数列


最大值：+++(0) 




若S
7
最大，则a
70,a
8
0



S
n

若S
7
或S
8
最大，则a
7
0,a
8
=0,a
9
0,






最小值:与上面相反
3、前
n
项积
T
n
有最大值：
三、几种常见数列：
1、
-1,7,-13,19
2、
7,77 ,777,
3、
，，




135
248
16

9
2468
5、
，， ,
3153563
，，，4
4、
11





★随堂训练：

文案

标准
1、已知数列
{a
n
}
通项公式是
a
n

2n
，那么这个数列是（ ）
3n1
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列

2、已知数列
{a
n
}< br>满足
a
1
0
，
a
n1
1
，那么这个数列是（ ）
a
n
2
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
2
*
3、已知数列< br>{a
n
}
通项公式是
a
n
nkn2
， 若对任意
nN
，都有
a
n1
a
n
成立，则< br>实数
k
的取值范围是（ ）
4、已知数列
{a
n}
通项公式是
a
n

n10
,T
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项积，即
T
na
1
a
2
a
3
2n1
a
n
，
当
T
n
取到最大值是，n的值为（ ）
5、设数列{a
n
}
的前
n
项和
S
n
n
2
，则
a
8
的值是（ ）
文案

标准
等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数
列就叫做等差 数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示．

2．等差数列的通项公式
若等差数列{
a
n
}的首项是
a
1
，公差是
d
，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
＝(
n
－
m< br>)
d
＝
p
.

3．等差中项
如果三个数
x
，
A
，
y
组成等差数列，那么
A
叫做< br>x
和
y
的等差中项，如果
A
是
x
和
y
的等差
中项，则
A
＝

4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：
a
n
＝
a
m
＋(
n－
m
)
d
(
n
，
m
∈N)．
(2)若{
a
n
}为等差数列，且
m
＋
n
＝p
＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝< br>a
p
＋
a
q
(
m
，
n
，< br>p
，
q
∈N)．
(3)若{
a
n
}是等差 数列，公差为
d
，则
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋2
m
，…(
k
，
m
∈N)是公差为
md
的等差数列．
(4)数列
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
S
3
m
－
S
2
m
，…也是等差数列．
(5)
S2
n
－1
＝(2
n
－1)
a
n
. < br>(6)若
n
为偶数，则
S
偶
－
S
奇
＝；
2
若
n
为奇数，则
S
奇
－
S
偶
＝
a
中
(中间项)．
5．等差数列的前
n
项和公式
若已知首项
a
1
和 末项
a
n
，则
S
n
＝
前
n
项和公 式为
S
n
＝
na
1
＋

6．等差数列的前
n
项和公式与函数的关系
*
*
*
x
＋
y
2
.
nd
na
1
＋
a
n
2
，或等差数列{
a
n< br>}的首项是
a
1
，公差是
d
，则其
nn
－1
2
d
.
d

d

S
n
＝
n
2
＋

a
1
－

n
，数列{
a
n
}是等差数列的充要条件是
S
n
＝
A n
2
＋
Bn
(
A
，
B
为常数)．
2

2


7．最值问题
在等差数列{
a
n
}中，
a
1
＞0，
d
＜0，则
Sn
存在最大值，若
a
1
＜0，
d
＞0，则
S< br>n
存在最小值．
文案

标准
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前
n
项和公式：
S
n
＝< br>a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
，①
S
n
＝
a
n
＋
an
－1
＋…＋
a
1
，②
①＋②得：
S
n
＝
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和 为定值时，可设为…，
a
－2
d
，
a
－
d
，
a
，
a
＋
d
，
a
＋2
d
，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，
a
－3
d
，
a
－
d
，
a
＋
d
，
a
＋3
d
，…，其
余各项再依据等差数列的定义进行对称设元
．
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于
n
≥2的任意 自然数，验证
a
n
－
a
n
－1
为同一常数； (2)等差中项法：验证2
a
n
－1
＝
a
n
＋
a
n
－2
(
n
≥3，
n
∈N)都成立；
(3)通项公式法：验证
a
n
＝
pn
＋
q
；
(4)前
n
项和公式法：验证
S
n
＝
An＋
Bn
.
注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

基础训练：（公式的运用，定义的把握）
1．已知等差数列{a
n
}中，a
3
=9，a
9
=3，则公差d的值为（ ）
A．

B． 1 C．

D． ﹣1
2
*
na
1
＋
a
n
2
.
2．已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5，则此数列是（ ）
A． 以7为首项，公差为2的等差数列
C． 以5为首项，公差为2的等差数列
B． 以7为首项，公差为5的等差数列
D． 不是等差数列
3．在等差数列{a
n
}中，a
1
=13，a
3
=12，若a
n
=2，则n等于（ ）
A． 23 B． 24 C． 25 D． 26
4．两个数1与5的等差中项是（ ）
A． 1 B． 3 C． 2 D．

5．（2005•黑龙江）如果数列{a
n
}是等差数列，则（ ）
A． a
1
+a
8
＞a
4
+a
5
B． a
1
+a
8
=a
4
+a
5
C． a
1
+a
8
＜a
4
+a
5
D． a
1
a
8
=a
4
a
5

文案

标准

考点1:等差数列的通项与前n项和
题型1：已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法
【例1】已知
a
n

为等差数列，
a
15
8,a
60
20
，则
a
75







对应练习：
1、已知
a
n

为等差数列，
a
m
p,a
n
q
（
m,n,k
互不相等），求
a
k
.



2、已知
5
个数成等差数列，它们的和为
5
， 平方和为
165
，求这
5
个数.



题型2：已知前
n
项和
S
n
及其某项，求项数.
【解题思路】
⑴利用等差数列的通项公式
a
n
a
1(n1)d
求出
a
1
及
d
，代入
S
n
可求项数
n
；
⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出
a
1
a
n
，代入
S
n
可求项数
n
.
【例2】已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
a
4
9,a
9
6, S
n
63
，求
n


对应练习：
3、 若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列
的项数n
.
文案

标准


4 、已知
S
n
为等差数列

a
n

的前n
项和，
a
1
1,a
4
7,S
n
100
，则
n
.
题型3：求等差数列的前n项和 【解题思路】（1）利用
S
n
求出
a
n
，把绝对值符号 去掉转化为等差数列的求和问题.
（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.
2
【例3】已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
S
n
12nn
.
（1）





a
1
a
2
a
3
； ⑵求
a
1
a
2
a
3
a
10
；⑶求
a< br>1
a
2
a
3
a
n
.

练习：




对应练习：5、已知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
S
10
100,S
100
10
，求
S
110
.


文案

标准


考点2 ：证明数列是等差数列
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：
1、定义法：
a
n1
a
n
d
（
nN
，
d
是常数）


a
n

是等差数列；
2、中项法：
2a
n1
a
n
a
n2
(
nN

)


a
n

是等差数列；
3、通项公式法：
a
n
knb
（k,b
是常数）


a
n

是等差数列； < br>2
4、项和公式法：
S
n
AnBn
（
A,B是常数，
A0
）


a
n

是等差 数列.
【例4】已知
S
n
为等差数列

a
n
的前
n
项和，
b
n










S
n
(nN
)
.求证：数列

b
n

是等差数列. < br>n
对应练习：6、设
S
n
为数列

a
n
的前
n
项和，
S
n
pna
n
(n N

)
，
a
1
a
2
.

（1） 常数
p
的值； （2） 证：数列

a
n

是等差数列.




考点3 :等差数列的性质
【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.
【例5】1、已知
S
n
为等差数列

a
n
的前
n
项和，
a
6
100
，则
S
1 1

；
文案

标准
2、 知
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
S
n
m,S
m
n(nm)
，则S
mn

.


对应练习：7、含
2n1
个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
A.
2n1
n1n1
n1

B.

C.

D.

nn
n2n
a
S
n
7n2

，则
5

.
b
5
T
n
n3
8.设
Sn
、
T
n
分别是等差数列

a
n
< br>、

a
n

的前
n
项和，


考点4： 等差数列与其它知识的综合
【解题思路】1、利用
an
与
S
n
的关系式及等差数列的通项公式可求；
2、求出
T
n
后，判断
T
n
的单调性.
【例6】已知
S
n
为数列

a
n

的前< br>n
项和，
S
n

1
2
11
nn< br>；数列

b
n

满足：
b
3
11
，
22
b
n2
2b
n1
b
n< br>，其前
9
项和为
153.

⑴ 数列

a< br>n

、

b
n

的通项公式；
⑵设
T
n
为数列

c
n

的前
n
项和，
c
n

6
，求使不等式
(2a
n< br>11)(2b
n
1)
T
n







课后练习：
k
对
nN

都成立的最大正整数
k
的值. < br>57
1.(2010广雅中学)设数列

a
n

是等 差数列，且
a
2
8
，
a
15
5
，< br>S
n
是数列

a
n

的前
n
项
和，则
文案

标准
A．
S
10
S
11
B．
S
10
S
11
C．
S
9
S
10
D．
S
9
S
10

2.在等差数列

a
n

中，
a
5
120
，则
a
2
a
4
a
6
a
8

.


3.数列

a
n

中，
a
n
2n49
，当数列

a
n

的前
n
项和
S
n
取得最小值时，
n
.



4.已知等差数列

a
n

共有
10
项，其奇数项之和为
10
，偶数项之和为
30
， 则其公差是 .



5.设数列

an

中，
a
1
2,a
n1
a
n
n1
，则通项
a
n

.

















对应练习：9.已知
S
n
为数列
⑴ 数列

an

的前
n
项和，
a
1
3
，
S
n
S
n1
2a
n
(n2)
.

a
n

的通项公式；

a
n

中是否存在正整数
k
，使得不等式
a
k
a
k 1
对任意不小于
k
的正整数都成⑵ 数列
文案

标准
立？若存在，求最小的正整数
k
，若不存在，说明理由

















文案