经典等差数列性质练习题目含答案详细讲解

玛丽莲梦兔
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2020年12月31日 06:02
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2020年12月31日发(作者:陶盛德)



等差数列基础习题选(附有详细解答)
一.选择题(共26小题) 1.已知等差数列{a
n
}中,a
3
=9,a
9
=3, 则公差d的值为( )
A. B. 1 C. D. ﹣1

2.已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5,则此数列是( )
A. 以7为首项,公差为2的等差数列 B. 以7为首项,公差为5的等差数列
C. 以5为首项,公差为2的等差数列 D. 不是等差数列

3.在等差数列{a< br>n
}中,a
1
=13,a
3
=12,若a
n
=2,则n等于( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
4.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
3
= 6,a
4
=8,则公差d=( )
A. 一1 B. 2 C. 3 D. 一2

5.两个数1与5的等差中项是( )
A. 1 B. 3 C. 2 D.

6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起 为负数,则它的公差是(
A. ﹣2 B. ﹣3 C. ﹣4 D. ﹣5

7.(2012•福建)等差数列{a
n
}中,a
1
+a
5
=10,a
4
=7,则数列{a
n
}的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=( )
A. 0 B. 8 C. 3 D. 11

9.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为( )
A. 25 B. 24 C. 20 D. 19

10.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,若满足a
n
=a
n﹣1
+2(n≥2),且S
3
=9,则a
1
=( )
A. 5 B. 3 C. ﹣1 D. 1

11.(2005•黑龙江)如果数列{a
n
}是等差数列,则( )
A.
a
B.
1
+a
8
>a
4
+a
5
a
1
+a
8
=a
4
+a
5

C.
a
1
+a
8
<a
4
+a
5

D.
a
1
a
8
=a
4
a
5


12.(2004•福建)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和, 若=( )
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D.



13.(2009•安徽)已知{a
n
}为等差数列,a
1< br>+a
3
+a
5
=105,a
2
+a
4
+a
6
=99,则a
20
等于( )
A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. 7

14.在等差数列{a
n
}中,a
2
=4,a
6
=12,,那么数列{}的前n项和等于( )
A. B. C. D.

15.已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项的和,a
2
+a
5
=4,S
7
=21,则a7
的值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

16.已知数列{a
n
}为等差数列,a
1
+a
3
+a< br>5
=15,a
4
=7,则s
6
的值为( )
A. 30 B. 35 C. 36 D. 24

17.(2012•营口)等差数 列{a
n
}的公差d<0,且,则数列{a
n
}的前n项和S
n取得最大值时的项数n是(
A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 6或7

18.(2012•辽宁)在等差数列{a
n
}中,已知a
4
+a< br>8
=16,则该数列前11项和S
11
=( )
A. 58 B. 88 C. 143 D. 176

19.已知数列{a
n
}等 差数列,且a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=10,a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
=20,则a
4
=( )
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2

20.(理)已知数列{a
n
}的前n 项和S
n
=n
2
﹣8n,第k项满足4<a
k
<7,则k= ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

21.数列a
n
的前n项和为S
n
,若S
n
=2n
2
﹣17n ,则当S
n
取得最小值时n的值为( )
A. 4或5 B. 5或6 C. 4 D. 5

22.等差数列{a
n
}中,a
n
=2 n﹣4,则S
4
等于( )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 4

23.若{a
n
}为等差数列,a
3
=4,a
8
=19,则数列{a
n
}的前10项和为( )
A. 230 B. 140 C. 115 D. 95

24.等差数列{a
n
}中 ,a
3
+a
8
=5,则前10项和S
10
=( )
A. 5 B. 25 C. 50 D. 100


25.设S
n
是公差不为0的等差数列{a
n
}的前n项和,且S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,则等于( )
A. 1

26.设a
n
=﹣2n+21,则数列{a
n}从首项到第几项的和最大( )
A. 第10项

二.填空题(共4小题)
27.如果数列{a
n
}满足:= _________ .

28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)= _________ .

29.等差数列{a
n
}的前n项的和,则数 列{|a
n
|}的前10项之和为 _________ .

30.已 知{a
n
}是一个公差大于0的等差数列,且满足a
3
a
6
=55,a
2
+a
7
=16.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式:
(Ⅱ)若数列{a
n
}和数列{b
n
}满足等式:a
n=
=(n为正整数),求数列{b
n
}的前n项和S
n



B. 第11项 C. 第10项或11项 D. 第12项
B. 2 C. 3 D. 4
参考答案与试题解析


一.选择题(共26小题)
1.已知等 差数列{a
n
}中,a
3
=9,a
9
=3,则公差d的值为 ( )
A.

考点: 等差数列.
专题: 计算题.
B. 1 C. D. ﹣1
分析: 本题可由题意,构造方程组,解出该方程组即可得到答案.
解答:
解:等差数列{a
n
}中,a
3
=9,a
9
=3,
由等差数列的通项公式,可得
解得,即等差数列的公差d=﹣1.
故选D
点评: 本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数基础题.

2.已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5,则此数列是( )
A. 以7为首项,公差为2的等差数列
C. 以5为首项,公差为2的等差数列

考点: 等差数列.
B. 以7为首项,公差为5的等差数列
D. 不是等差数列


专题: 计算题.
分析:
解答:
直接根据数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.
解:因为a
n
=2n+5,
所以 a
1
=2×1+5=7;
a
n+1
﹣a
n
=2(n+1)+5﹣(2n+5)=2.
故此数列是以7为首项,公差为2的等差数列.
故选A.
点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.

3.在等差数列{a
n
}中,a
1
=13,a
3
= 12,若a
n
=2,则n等于( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26

考点: 等差数列.
专题: 综合题.
分析:
根据a
1
=13,a
3
=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根 据首项和公差写出数列的通项公式,
让其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.
解答:
解:由题意得a
3
=a
1
+2d=12,把a1
=13代入求得d=﹣,
则a
n
=13﹣(n﹣1)=﹣n+=2,解得n=23
故选A
点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.

4.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
3
=6, a
4
=8,则公差d=( )
A. 一1 B. 2 C. 3 D. 一2

考点: 等差数列.
专题: 计算题.
分析: 根据等差数列的前三项 之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的;两项,根据等差数列
的通项公式,得到数 列的公差.
解答:
解:∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n

S
3
=6,
∴a
2
=2
∵a
4
=8,
∴8=2+2d
∴d=3,
故选C.
点评: 本题考查等差数列的通项,这是一个基础题,解题时注意应用数列的性质,即前三项的和等于第 二项的三


倍,这样可以简化题目的运算.

5.两个数1与5的等差中项是( )
A. 1

考点: 等差数列.
B. 3 C. 2 D.
专题: 计算题.
分析: 由于a,b的等差中项为,由此可求出1与5的等差中项.
解答: 解:1与5的等差中项为:=3,
故选B.
点评: 本题考查两个数的等差中项,牢记公式a,b的等差中项为:是解题的关键,属基础题.

6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( )
A. ﹣2

考点: 等差数列.
专题: 计算题.
B. ﹣3 C. ﹣4 D. ﹣5
分析:
设等差数列{a
n
}的公差为d,因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以,结合公差为整数进而求出
数列的公差 .
解答:
解:设等差数列{a
n
}的公差为d,
所以a
6
=23+5d,a
7
=23+6d,
又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,
所以,
因为数列是公差为整数的等差数列,
所以d=﹣4.
故选C.
点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,并且结合正确的运算.

7.(20 12•福建)等差数列{a
n
}中,a
1
+a
5
=10,a
4
=7,则数列{a
n
}的公差为( )
A. 1

B. 2 C. 3 D. 4
考点: 等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析:
解答:
设数列{a
n
}的公差为d,则由题意可得 2a
1
+4d=10,a
1
+3d=7,由此解得d的值.
解:设 数列{a
n
}的公差为d,则由a
1
+a
5
=10,a4
=7,可得 2a
1
+4d=10,a
1
+3d=7,解得 d=2,
故选B.
点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.

8.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=( )
A. 0 B. 8 C. 3

考点: 等差数列的通项公式.
D. 11


专题: 计算题.
分析: 先确定等差数列的通项,再利用,我们可以求得的值.
解答: 解:∵为等差数列,,,

∴b
n
=b
3
+(n﹣3)×2=2n﹣8

∴b
8
=a
8
﹣a
1

∵数列的首项为3
∴2×8﹣8=a
8
﹣3,
∴a
8
=11.
故选D
点评: 本题考查等差数列的通项公式的应用,由等差数列的任意两项,我们可以求出数列的通项,是基础题.

9.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为( )
A. 25 B. 24 C. 20 D. 19

考点: 等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析: (法一):根据两个等差数列的相同的项 按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的
最小公倍数求解,
(法二)由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解.
解答: < br>解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a
n
},则a
1
=11
∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4,
∴{a
n
}的公差d=3×4=12,
∴a
n
=11+12(n﹣1)=12n﹣1.
又∵5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399,
∴a
n
=12n﹣1≤302,即n≤25.5.
又∵n∈N*,
∴两个数列有25个相同的项.
故选A
解法二:设5,8,11,与3,7,11 ,分别为{a
n
}与{b
n
},则a
n
=3n+2,bn
=4n﹣1.
设{a
n
}中的第n项与{b
n
}中的第m项相同,
即3n+2=4m﹣1,∴n= m﹣1.
又m、n∈N*,可设m=3r(r∈N*),得n=4r﹣1.
根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
点评: 解法一利用了等差数列的性质,解法二利用 了不定方程的求解方法,对学生的运算能力及逻辑思维能力的


要求较高.

10.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,若满足a
n
=a
n﹣1
+2(n≥2),且S
3
=9,则a
1
=( )
A. 5 B. 3 C. ﹣1 D. 1

考点: 等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析:
解答:
根据递推公式 求出公差为2,再由S
3
=9以及前n项和公式求出a
1
的值.
解 :∵a
n
=a
n﹣1
+2(n≥2),∴a
n
﹣a
n﹣1
=2(n≥2),
∴等差数列{a
n
}的公差是2,
由S
3
=3a
1
+=9解得,a
1
=1.
故选D.
点评: 本题考查了等差数列的定义,以及前n项和公式的应用,即根据代入公式进行求解.

11.(2005•黑龙江)如果数列{a
n
}是等差数列,则( )
A.
a
1
+a
8
>a
4
+a
5


考点: 等差数列的性质.
B.
a
1
+a
8
=a
4
+a
5

C.
a
1
+a
8
<a
4
+a
5

D.
a
1
a
8
=a
4
a
5

分析:
解答:
用通项公式来寻求a
1
+a
8与
a
4
+a
5
的关系.
解:∵a
1
+a
8
﹣(a
4
+a
5)
=2a
1
+7d﹣(2a
1
+7d)=0
∴a
1
+a
8
=a
4
+a
5

∴故选B
点评: 本题主要考查等差数列通项公式,来证明等差数列的性质.

12.(2004•福建)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和, 若=( )
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D.

考点: 等差数列的性质.
专题: 计算题.
分析: 充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.
解答:
解:设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,由等差数列的性质可得 < br>a
1
+a
9
=2a
5
,a
1
+a< br>5
=2a
3

∴====1,
故选A.
点评: 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,


已 知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,则有如下关系S
2n﹣1< br>=(2n﹣1)a
n


13.(2009•安徽)已知{an
}为等差数列,a
1
+a
3
+a
5
=105 ,a
2
+a
4
+a
6
=99,则a
20
等 于( )
A. ﹣1

考点: 等差数列的性质.
专题: 计算题.
B. 1 C. 3 D. 7
分析:
根据已知条件和等差中项的性质 可分别求得a
3
和a
4
的值,进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通项
公式求得答案.
解答:
解:由已知得a
1
+a
3
+a
5
=3a
3
=105,
a
2
+a
4
+a
6
=3a
4
=99,
∴a
3
=3 5,a
4
=33,∴d=a
4
﹣a
3
=﹣2.
∴a
20
=a
3
+17d=35+(﹣2)×17=1.
故选B
点评: 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是 利用等差数列中等差中项的
性质求得a
3
和a
4

< br>14.在等差数列{a
n
}中,a
2
=4,a
6
=1 2,,那么数列{}的前n项和等于( )
A.

考点: 数列的求和;等差数列的性质.
专题: 计算题.
B. C. D.
分析: 求 出等差数列的通项,要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列,利用错位相减法求出数
列 的前n项的和.
解答:
解:∵等差数列{a
n
}中,a
2
=4,a
6
=12;
∴公差d=;
∴a
n
=a
2
+(n﹣2)×2=2n;
∴;
∴的前n项和,

=
两式相减得
=

故选B
点评: 求数列的前n项的和,先判断通项的特点,据通项的特点选择合适的求和方法.

< br>15.已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项的和,a
2+a
5
=4,S
7
=21,则a
7
的值为( )
A. 6

考点: 等差数列的性质.
B. 7 C. 8 D. 9
专题: 计算题.
分析:
由a
2
+a
5
= 4,S
7
=21根据等差数列的性质可得a
3
+a
4
=a< br>1
+a
6
=4①,根据等差数列的前n项和公式可得,,
联立可求d, a
1
,代入等差数列的通项公式可求
解答:
解:等差数列{a
n
}中,a
2
+a
5
=4,S
7
=21
根 据等差数列的性质可得a
3
+a
4
=a
1
+a
6< br>=4①
根据等差数列的前n项和公式可得,
所以 a
1
+a
7
=6②
②﹣①可得d=2,a
1
=﹣3
所以a
7
=9
故选D
点评: 本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用,属于基础试题.

16.已知数列{a
n
}为等差数列,a
1
+a
3
+a5
=15,a
4
=7,则s
6
的值为( )
A. 30 B. 35

考点: 等差数列的性质.
C. 36 D. 24
专题: 计算题.
分析:
利用等差中项的性质求得a
3
的值,进 而利用a
1
+a
6
=a
3
+a
4
求得a< br>1
+a
6
的值,代入等差数列的求和公式中求
得答案.
解答:
解:a
1
+a
3
+a
5
=3a< br>3
=15,
∴a
3
=5
∴a
1
+a6
=a
3
+a
4
=12
∴s
6
=×6=36
故选C
点评: 本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.

17.(2012•营口)等 差数列{a
n
}的公差d<0,且,则数列{a
n
}的前n项和S
n
取得最大值时的项数n是( )
A. 5

B. 6 C. 5或6 D. 6或7
考点: 等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.


专题: 计算题.
分析:
由,知a
1
+a
11
=0.由此能求出数列{a
n
}的前n项和S
n
取得最大值时 的项数n.
解答: 解:由,
知a
1
+a
11
=0.
∴a
6
=0,
故选C.
点评: 本题主要考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.

18.(2 012•辽宁)在等差数列{a
n
}中,已知a
4
+a
8
= 16,则该数列前11项和S
11
=( )
A. 58

考点: 等差数列的性质;等差数列的前n项和.
专题: 计算题.
分析:
根据等差数列的定义和性质得 a
1
+a
11
=a
4
+a
8
=16,再由S
11
= 运算求得结果.
B. 88 C. 143 D. 176
解答:
解:∵在等差数列{a
n
}中,已知 a
4
+a
8
=16,∴a
1
+a
11
=a
4
+a
8
=16,∴S
11
==88,
故选B.
点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n项和公式的应用,属于中档题.

19.已知数列{a
n
}等差数列,且a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=10,a
2< br>+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
=2 0,则a
4
=( )
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2

考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.
专题: 计算题.
分析:
由等差数列得性质可得:5a
5
=10,即a
5
=2.同理可得5a
6
=20,a
6
=4,再由等差中项可知:a
4
=2a5
﹣a
6
=0
解答:
解:由等差数列得性质可得:a
1
+a
9
=a
3
+a
7
=2a
5
,又a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a9
=10,
故5a
5
=10,即a
5
=2.同理可得 5a
6
=20,a
6
=4.
再由等差中项可知:a
4
=2a
5
﹣a
6
=0
故选B
点评: 本题考查等差数列的性质及等差中项,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题.

20 .(理)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
﹣8n, 第k项满足4<a
k
<7,则k=( )
A. 6

专题: 计算题.
B. 7 C. 8 D. 9
考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.


分析:
解答:
先利 用公式a
n
=求出a
n
,再由第k项满足4<a
k
<7,建 立不等式,求出k的值.
解:a
n
=
=
∵n=1时适合a
n
=2n﹣9,∴a
n
=2n﹣9.
∵4<a
k
<7,∴4<2k﹣9<7,
∴<k<8,又∵k∈N
+
,∴k=7,
故选B.
点评:

本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式a
n
=的合理运用,属于基础题.
21.数列a
n
的前n项和为S
n
,若S
n
=2n
2
﹣17n,则当S
n
取得最小值时n的值为( )
A. 4或5 B. 5或6 C. 4 D. 5

考点: 等差数列的前n项和.
专题: 计算题.
分析:
把数列的前n项的和S
n
看作是关于n 的二次函数,把关系式配方后,又根据n为正整数,即可得到S
n

得最小值时n的值 .
解答:
解:因为S
n
=2n
2
﹣17n=2﹣,
又n为正整数,
所以当n=4时,S
n
取得最小值.
故选C
点评: 此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力,是一道基础题.

22 .等差数列{a
n
}中,a
n
=2n﹣4,则S
4
等于( )
A. 12 B. 10

考点: 等差数列的前n项和.
C. 8 D. 4
专题: 计算题.
分析:
利用等差数列{a
n
} 中,a
n
=2n﹣4,先求出a
1
,d,再由等差数列的前n项和公式求S< br>4

解答:
解:∵等差数列{a
n
}中,a
n
=2n﹣4,
∴a
1
=2﹣4=﹣2,
a
2
=4﹣4=0,
d=0﹣(﹣2)=2,
∴S
4
=4a
1
+


=4×(﹣2)+4×3
=4.
故选D.
点评: 本题 考查等差数列的前n项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意先由通项公式求出首项和
公差 ,再求前四项和.

23.若{a
n
}为等差数列,a
3
=4,a
8
=19,则数列{a
n
}的前10项和为( )
A. 230

考点: 等差数列的前n项和.
专题: 综合题.
分析: 分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式,得到①和②,联立即可求出首项和公差,然 后利用求
出的首项和公差,根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.
B. 140 C. 115 D. 95
解答:
解:a
3
=a
1+2d=4①,a
8
=a
1
+7d=19②,
②﹣①得5d=15,
解得d=3,
把d=3代入①求得a
1
=﹣2,
所以S
10
=10×(﹣2)+×3=115
故选C.
点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道基础题.

24.等差数列{a
n
}中,a
3
+a
8
=5,则前10项 和S
10
=( )
A. 5

B. 25 C. 50 D. 100
考点: 等差数列的前n项和;等差数列的性质.
专题: 计算题.
分析:
根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a
1
+a
10
=5,代入前10项和S
10
= 运算求得结果.
解答:
解:等差数列{a
n
}中,a
3
+a
8
=5,∴a
1
+a
10
=5,
∴前10项和S
10
==25,
故选B.
点评:
本 题主要考查等差数列的定义和性质,以及前n项和公式的应用,求得a
1
+a
10=5,是解题的关键,属于基
础题.

25.设S
n
是公差 不为0的等差数列{a
n
}的前n项和,且S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,则等于( )
A. 1 B. 2

考点: 等差数列的前n项和.
C. 3 D. 4
专题: 计算题.


分析:
由S
1
,S
2
,S
4成等比数列,根据等比数列的性质得到S
2
2
=S
1
S
4
,然后利用等差数列的前n项和的公式分
别表示出各项后,代入即可得到首项和公差的关系式 ,根据公差不为0,即可求出公差与首项的关系并解
出公差d,然后把所求的式子利用等差数列的通项公 式化简后,把公差d的关系式代入即可求出比值.
解答:
解:由S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,
∴(2a
1
+d)
2
=a
1
(4a
1
+6 d).
∵d≠0,∴d=2a
1

∴===3.
故选C
点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值, 是一道综
合题.

26.设a
n
=﹣2n+21,则数列{a< br>n
}从首项到第几项的和最大( )
A. 第10项 B. 第11项 C. 第10项或11项 D. 第12项

考点: 等差数列的前n项和;二次函数的性质.
专题: 转化思想.
分析:
方法一:由a
n
,令n=1求出数列 的首项,利用a
n
﹣a
n﹣1
等于一个常数,得到此数列为等差数列,然后根
据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式,得到前n项的和与n成二次函数关系,其图象为开
口向下的抛物线,当n=﹣时,前n项的和有最大值,即可得到正确答案;
方法二:令an
大于等于0,列出关于n的不等式,求出不等式的解集即可得到n的范围,在n的范围中找
出最大的正整数解,从这项以后的各项都为负数,即可得到正确答案.
解答:
解:方法一 :由a
n
=﹣2n+21,得到首项a
1
=﹣2+21=19,a
n ﹣1
=﹣2(n﹣1)+21=﹣2n+23,
则a
n
﹣a
n﹣1
=(﹣2n+21)﹣(﹣2n+23)=﹣2,(n>1,n∈N
+
),
所以此数列是首项为19,公差为﹣2的等差数列,
则S
n
=19n+•( ﹣2)=﹣n
2
+20n,为开口向下的抛物线,
当n=﹣=10时,S
n
最大.
所以数列{a
n
}从首项到第10项和最大.
方法二:令a
n
=﹣2n+21≥0,
解得n≤,因为n取正整数,所以n的最大值为10,
所以此数列从首项到第10项的和都为正数,从第11项开始为负数,
则数列{a
n
}从首项到第10项的和最大.
故选A
点评: 此 题的思路可以先确定此数列为等差数列,根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到
n 的值;也可以直接令a
n
≥0,求出解集中的最大正整数解,要求学生一题多解.



二.填空题(共4小题)
27.如果数列{a
n
}满足:= .

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析: 根据所给的数列的递推式, 看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项,
根据等差数列的通项公式写 出数列,进一步得到结果.
解答: 解:∵根据所给的数列的递推式
∴数列{}是一个公差是5的等差数列,
∵a
1
=3,
∴=,
∴数列的通项是

故答案为:
点评: 本题看出数列的递推式和数列的 通项公式,本题解题的关键是确定数列是一个等差数列,利用等差数列的
通项公式写出通项,本题是一个 中档题目.

28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)= 101 .

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析: 由f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f(1)=2,依次令n=1,2,3,…,总结 规律得到f(n)=n+1,由此
能够求出f(100).
解答: 解:∵f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,
f(1)=2,
∴f(2)=f(1)+1=2+1=3,
f(3)=f(2)+1=3+1=4,
f(4)=f(3)+1=4+1=5,

∴f(n)=n+1,
∴f(100)=100+1=101.
故答案为:101.
点评: 本题考查数列的递推公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

29.等差 数列{a
n
}的前n项的和,则数列{|a
n
|}的前10项之和为 58 .

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析:
先求出等差数列的前两项,可得通项公式为a
n
=7﹣2n,从而得 到n≤3时,|a
n
|=7﹣2n,当n>3时,
|a
n
|=
2n﹣7.分别求出前3项的和、第4项到第10项的和,相加即得所求.
解答:
解:由于等差数列{a
n
}的前n项的和,故a
1
=s
1
= 5,


∴a
2
=s
2
﹣s
1
=8﹣ 5=3,故公差d=﹣2,故a
n
=5+(n﹣1)(﹣2)=7﹣2n.
当n≤3 时,|a
n
|=7﹣2n,当n>3时,|a
n
|=2n﹣7.
故前10项之和为 a
1
+a
2
+a
3
﹣a
4
﹣a
5
﹣…﹣a
10
=+=9+49=58,
故答案为 58.
点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,前n项和公式及其应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

30.已知{a
n
}是一个公差大于0的等差数列,且满足a
3
a
6
=55,a
2
+a
7
=16.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式:
(Ⅱ)若数列{a
n
}和数列{b
n
}满足等式:a
n=
=(n为正整数),求数列{b
n
}的前n项和S
n


考点: 数列的求和;等差数列的通项公式.
专题: 计算题.
分析:
(1)将已知条件 a
3
a
6
=55,a
2
+a
7
=16,利 用等差数列的通项公式用首项与公差表示,列出方程组,求出
首项与公差,进一步求出数列{a
n
}的通项公式
(2)将已知等式仿写出一个新等式,两个式子相减求出数列{b
n
}的通项,利用等比数列的前n项和公式求
出数列{b
n
}的前n项和Sn

解答:
解(1)解:设等差数列{a
n
} 的公差为d,则依题设d>0
由a2+a7=16.得2a
1
+7d=16 < br>①由a
3
•a
6
=55,得(a
1
+2d)(a1
+5d)=55 ②
由①得2a
1
=16﹣7d 将其代入②得(16﹣3d)(16+3d)=220.
即256﹣9d
2
=220∴d
2
=4,又d>0,
∴d=2,代入①得a
1
=1
∴a
n
=1+(n﹣1)•2=2n﹣1
所以a
n
=2n﹣1
(2)令c
n
=,则有a
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
,a
n+1=c
1
+c
2
+…+c
n﹣1

两式相减得a
n+1
﹣a
n
=c
n+1

由(1)得a
1
=1,a
n+1
﹣a
n
=2


∴c
n+1
=2,c
n
=2(n≥2),
即当n≥2时,b
n
=2
n+1
又当n=1时,b
1
=2a
1
=2
∴b
n
=<BR>
于是S
n
= b
1
+b
2
+b
3
…+b
n
=2+23
+2
4
+…+2
n+1
=2+2
2
+23
+2
4
+…+2
n+1
﹣4=﹣6,
即S
n
=2
n+2
﹣6
点评: 求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项,利用通项的特点,然后选择合适的求和的方法.

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