萧然高中-也能

课 题：
3.1 等差数列（一）
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道
an
,a
1
,d,n
中的三个，求另外一个的问题
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：等差数列的性质
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次 函
数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从
图象上看，为 什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项
可以决定一个等差数列(从几何上看两 点可以决定一条直线)
教学过程：
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定 义及给出数列和表示的数列的几种方法——列
举法、通项公式、递推公式、图象法和前n项和公式..这 些方法从不同的角度反
映数列的特点下面我们看这样一些例子

1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次
为：5，15，2 5，35，…

（问：多少天后他的单词量达到3000？）
2．小芳觉得自 己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不
再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉 5个单词，那么从今天开始，她的单词量
逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985 ，…
（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）
从上面两例中，我们分别得到两个数列
① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，…
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·共同特征：从第二项起，每 一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；
（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是 后项减前项），我们给具有这
种特征的数列一个名字——等差数列
二、讲解新课：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的
差等于同 一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差
（常用字母“d”表示）
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N

，
则此数列是等差数列，d 为公差 < br>2．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(n1)d
【或
a
n

a
m
(nm)d
】
等 差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列

a
n

的首项
是
a
1
，公差是d，则据其定义可得：
a
2
a
1
d
即：
a
2
a
1
d

a
3
a
2
d
即：
a
3
a
2
da
1
2d

a
4a
3
d
即：
a
4
a
3
da
1
3d

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a< br>n
a
1
(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要 知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项
a
n

如数列①1，2，3，4，5，6；
a
n
1(n1)1n
（1≤n≤6）
数列②10，8，6，4，2，…；
a
n
10(n1)(2)122n
（n≥1）
数列③
;,;,1,

;

a
n
(n1)
（n≥1）
由上述关系还可得：
a
m
a
1
(m1)d

即：
a
1
a
m
(m1)d

则：< br>a
n

a
1
(n1)d
=
a
m
(m1)d(n1)da
m
(nm)d

即的第二通项公式
a
n

a
m
(nm)d
∴ d=
如：
a
5
a
4
da
3
2da
2
3da
1
4d

三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
8,d58253

n=20，得
a
20
8(201)(3)49

⑵由
a
1
5,d9(5)4

得数列通项公式为：
a
n
54(n1)

由题意可 知，本题是要回答是否存在正整数n，使得
40154(n1)
成立解
之得 n=100，即-401是这个数列的第100项
1234
5555
1
5< br>1
5
n
5
a
m
a
n

mn

例2 在等差数列

a
n

中，已知
a
5
10
，
a
12
31
，求
a
1
,
d
,
a
20
,a
n

解法一：∵
a
5
10
，
a
12
3 1
，则



a
1
4d10

a
1
11d31
a



1
2

d3
∴
a
n
a
1
(n1)d3n5

解法二 ：∵
a
12
a
5
7d31107dd3

∴
a
20
a
12
8d55

a
n
a
12
(n12)d3n5

小结：第二通项公式
a
n
a
m
(nm)d

例3将一个等差数列 的通项公式输入计算器数列
u
n
中，设数列的第s项和第t
项分别为
u
s
和
u
t
，计算
u
s
u
t< br>的值，你能发现什么结论？并证明你的结论
st
uu
解：通过计算发现
st
的值恒等于公差
s t
证明：设等差数列{
u
n
}的首项为
u
1
，末项 为
u
n
，公差为d，
⑴-⑵得
u
s
u
t
(st)d


u
s
u
t
d

st
小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率
例4 梯子最 高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽
度成等差数列，计算中间各级 的宽度
解：设

a
n

表示梯子自上而上各级宽度所成的 等差数列，
由已知条件，可知：
a
1
=33,
a
12
=110，n=12
∴
a
12
a
1
(121)d
,即10=33+11
d
解得：
d7

因此，
a
2
33740,a3
40747,a
4
54,a
5
61,
< br>答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，
75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
例5 已知数列{
a
n< br>}的通项公式
a
n
pnq
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否

一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定

a
n

是不是等 差数列，只要看
a
n
a
n1
（n≥2）
是不是一个与n 无关的常数
解：当n≥2时, （取数列

a
n

中的任 意相邻两项
a
n1
与
a
n
（n≥2））
an
a
n1
(pnq)[p(n1)q]
pnq(p npq)p
为常数
∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
pq
，公差为p
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{
a
n< br>}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次
函数y=px+q的图象上,一次项 的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列的充 要条件是其通项
a
n
=pn+q (p、q是常数)称其为第
3通项公式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个
四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从
而求出所求项.
解：根据题意可知：
a
1
=3,
d
=7－3=4.
∴该数列的通项公式为：
a
n
=3+（
n
－1）×4,即
a
n
=4
n
－1（
n
≥1,
n
∈N*）
∴
a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,
d
=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：
a
n
=10+（
n
－1）×（－2）,即：
a
n
=－2
n
+12,
∴
a
20
=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，…… 的项？如果是，是第几项？如果不
是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中 一项，则关键是要看是否存在一
正整数
n
值，使得
a
n
等于 这一数.
解：根据题意可得：
a
1
=2,
d
=9－2=7.
∴此数列通项公式为：
a
n
=2+（
n
－1）×7=7
n
－5.
令7
n
－5=100,解得：
n
=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是， 是第几项？
如果不是，说明理由. 解：由题意可知：
a
1
=0,
d
=－3 ∴此数列的通项公式为：
a
n
=－
n
+,
7
2< br>7747
令－
n
+=－20,解得
n
=
22
7
77
因为－
n
+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
22
7
2
1
2
1
2
2.在等差数列{a
n
}中，（1）已知
a
4
=10,
a
7=19,求
a
1
与
d
;
（2）已知
a
3
=9,
a
9
=3,求
a
12
.

a
1
3d10

a
1
1
解：（1）由题意得：

, 解之得：

.
a6d19
d3


1
（2）解法一：由题意可得：


a
1
2d 9

a11
, 解之得

1

d1

a
1
8d3
∴该数列的通项公式为：
a
n
=11+（
n
－1）×（－1）=12－
n
,∴
a12
=0
解法二：由已知得：
a
9
=
a
3< br>+6
d
,即：3=9+6
d
,∴
d
=－1