非主流qq分组大全-大学生兼职的利与弊

等差数列知识点总结与基本题型
一、基本概念
1、等差数列的概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。
（2）对于公差
d
，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要 防止把被减数与减数弄
颠倒。
（3）
d


0
等差数列为递增数列
d0
等差数列为常数列
d0
等差数列为递减数列
（4）一个等差数列至少由三项构成。
2、等差数列的通项公式
（1）通项公式：
a
n
（当
n1
时，等式也成立）；
a
1
(n1)d
，
归纳而得， （2）推导方法：①不 完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由
a
1
,a
2
,a< br>3
,a
4
,
这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法 。
②迭加法：也称之为逐差求和的方法：
a
2
a
1
d,a
3
a
2
d,
a
4
a
3
d,,a
n
a
n1
d
，上述式子相加，
a
n
a
1
(n1)d
，即
a
n
a
1
(n1)d
。
③迭代法：
a
n
a
n1
d(a
n2
d )da
n2
2d(a
n3
d)2d

a
n3
3da
1
(n1)d
。
（3）通项公式的应用与理解
①可根据
d
的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。
②用于研究数列的图象。

a
n
a
1
(n1 )ddn(a
1
d)
，
d0
时，
a
n
是

（Ⅰ）
n< br>的一次函数，由于
nN

，因此，数列

a
n
的图象是直线
a
n
dn(a
1
d)
上 的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。
（Ⅱ）
d0
时，
an
a
1
，表示平行于
x
轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷 ）个孤立点。不难
得出，任意两项可以确定一个等差数列。
③从函数知识的角度考虑 等差数列的通项公式：
a
n
的一次式
(nN

a
1
(n1)ddna
1
d
，
a
n
是关 于
n
。
)
，所以等差数列的通项公式也可以表示为
a
n< br>pnq
（设
pd,qa
1
d
）
④等差数列具有下列关系：

（Ⅰ）数列中任意两项
a
n与
a
k
，满足：
a
n
（Ⅱ）在等差数列中，若
mn
3、等差数列的等差中项
（1）定义：如果
a,A,b
成等差数列，那么
（2）充要条件：
a ,A,b
成等差数列

a
k
(nk)d
或
d 
a
n
a
k
nk
。
pq
，则< br>a
m
a
n
a
p
a
q
。
A
叫做
a
与
b
的等差中项。
ab
。
2
a
n
a
n2
（3）推论：

a
n

是等差数列
a
n1

。
2
A
4、等差数列的主要性质
①若
mn2k(m,n,kN
②

)
，则
a
m
a
n
2a
k
。

a
n< br>
是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即
 a
i1
a
ni

。
a
1
an
a
2
a
n1

③若
④

a
n

为等差数列，则
a
1
a2
a
3
,a
4
a
5
a
6
,a
7
a
8
a
9
，…仍构成等差数列。
仍成等差数列。

a
n

是等差数列，则
a1
,a
3
,a
5
,
⑤下标成等差数列且公差为
m
的项：
a
k
,a
km
,a
k2m< br>,
⑥数列
(k,mN

)
组成公差为
md
的等差数列。 < br>

a
n
b

（

,b
为常数）是公差为

d
的等差数列。
二、基本题型
例1、判断下列数列是否是等差数列：
（1）
a
n
2
（2）
a
n
n2n
。
4n3
；
分析：用定义去判断。
解：（1）
a
n1
a
n
（2）由


4(n1)3

(4n3)4
，∴数列

an

是等差数列。
，则，
a
2
a
1
5,a
3
a
2
7
2
得
a
1
3,a
2
8,a
3
15
a
n
n2n< br>a
2
a
1
a
3
a
2
，∴数列

a
n

不是等差数列。
评注：如果判断一个数 列为等差数列，需用定义去证明，但若一个数列不是等差数列，只要取特殊值
说明即可。
例2、求等差数列
10,8,6,
解：
的第20项。
a< br>n
10(n1)(2)2n12
，
a
20
 2201228
。
例3、在等差数列

a
n

中，已知
a
5
1
，
a
8
2
，求
a
1
与
d
。

解：由题意知：


a
1
(51)d1
解得
a
1
5,d1
。

a
1
(81)d2
例 4、已知


1


为等差数列，且
a
2
21,a
4
21
，求
a
10
。
a

n


1

分析：有的同学 习惯于数列

a
n

等差数列，对于

是等差数 列就束手无策了，关键还是对定义
a

n

理解不透彻。
解：∵


1

1111
为等差数列，
 (21)(21)22d
，

a
aa
2121< br>
n

42
d1
，又
11111
 1
，
11(21)122
，
a
2
a
1
a
1
a
2
21

11
( n1)d22(m1)(1)n23
，
a
n
a
1

1
127
。
 102327
，则
a
10

a
10
4 7
27
例5、等差数列

a
n

中，已知
a
2
a
3
a
10
a
11
36< br>，则
a
5
a
8

。
分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出
2a
1
1 1d
的值。
解法1：根据题意，有
(a
1
d)(a< br>1
2d)(a
1
9d)(a
1
10d)36，
4a
1
22d
则
2a
1
11d
36
，
18
。而
a
5
a
8
(a
1
4d)(a
1
7d)2a
1
11d
， 因此，
a
5
a
8
18
。
a
8a
3
a
10
a
2
a
11
3 6218
。 解法2：根据等差数列性质，可得
a
5
评 注：解法1设出了
a
1
,d
但并没有求出
a
1
,d
，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学
中常用，它体现了整体的思想，解法2实 际上运用了等差数列的性质：若
pqmn
，
p,q,m,nN
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
。
例6、三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的平方和等于35，求这三个数。
分析：若设这三个数为
a,b,c
，则需列三个方程；若根据等差数列的定义，设这三个数为< br>ad,a,ad
，只需列两个方程，因此，采用后一种设法更好。
解：设 这三个数为
ad,a,ad
，由题意得

(ad)a(ad) 9
解得

222

(ad)a(ad)35

a3,d2
，

这三个数为
1,3,5
，或
5,3,1
。
评注：注意最终结果的写法，为了避免引起歧义，这三个数写出来时，就写成数列的形式。
例7、等差 数列

a
n

中，
a
9
p,a
18
q
，求
a
36
。
p,a
18
 q
，直接列方程组；解出两个基本量
a
1
和
d
，这是常规解 法，但比较麻烦， 分析：由
a
9
观察
a
9
,a18
,a
36
的下标，可以联想到
a
9
,a
1 8
,a
27
,a
36
成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解 题
速度。
解法1：
d
a
18
a
9< br>qp

1899
，
a
36
a
18< br>(3618)dq18
qp
3q2p
。
9
解法2：

2a
18
a
9
a
27
,< br>

a
9
,a
18
,a
27
,a< br>36
成等差数列，

2aaa,
1836

27
a
36
2a
27
a
18
2(2a
18
a
9
)a
18
3a
18
2a
9
3q2p
。
例8、在
1
与7之间顺次插入三个数
a,b,c
，使这五个数成等差数列，则这个数列为 。
分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解。
解法1：设这几个 数组成的等差数列为
得
d

a
n

，由已知
a
1
1,a
5
7
，
71(51)d。解
2
，所求数列为
1,1,3,5,7
。
解法 2：可利用等差数列，
b
是
1,7
的等差中项，
a
是< br>1,b
的等差中项，
c
是
b,7
的等差中项。
即< br>b
171bb7
3,a1,c5
。
222
∴所求数列为
1,1,3,5,7
。
例9、设< br>
a
n

是公差为
2
的等差数列，如果
a
1
a
4
a
7
a
97
50
，那么
a
3
a
6
a
9
a
99< br>
（ ）
A、
182
B、
78
C、
62
D、
82

解：
a
3
a
6
 a
9
a
99
(a
1
2d)(a
4
2d)(a
7
2d)(a
97
2d)

( a
1
a
4
a
7
a
97
)33 2d50332(2)82
。 评注：直接从所求入手，观察已
a
7
a
97
50
整体代入，使问题简单化。答案：D 知与未知的联系，将
a
1
a
4