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等差数列通项求和及其性质

1.等差数列概念及通项公式
1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。
2) 等差数列的判定方法:
（1）定义法：对于数列

a
n
，若
a
n1
a
n
d
(常数)，则数列

a
n

是等差数列。
（2）等差中项：对于数列
a
n

，若
2a
n1
a
na
n2
，则数列

a
n

是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：
如果等差数列

a
n
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
an
a
1
(n1)d
。
说明：该公式整理后是关于
n
的一次函数。
通项公式的变形：
a< br>n
＝
a
m
＋(
n
－
m
)
d
，
m
，
n
∈N.
2.等差数列性质
2.1等差 中项：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，且
A
＝
2.2已知{< br>a
n
}为等差数列，
d
为公差，
S
n
为该数 列的前
n
项和．
(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即
a
1
＋
a
n
＝
a
2
＋
a
n
－1
＝
a
3
＋
a
n
－2
＝… ＝
a
k
＋
a
n
－
k
＋1
＝….
(2)等差数列{
a
n
}中，当
m
＋
n
＝
p
＋
q
时，
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
(
m
，
n
，
p
，
q
∈N)．
特别地，若
m
＋
n< br>＝2
p
，则2
a
p
＝
a
m
＋
a
n
(
m
，
n
，
p
∈N)．
(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋2
m
，…仍是等差数列，公差为< br>md
(
k
，
m
∈N)．
(4)若数列{
a
n
}，{
b
n
}是公差分别为
d
1
，d
2
的等差数列，则数列{
pa
n
}，{
a
n
＋
p
}，{
pa
n
＋
qb
n
}都 是等差数列
(
p
，
q
都是常数)，且公差分别为
pd
1
，
d
1
，
pd
1
＋
qd
2< br>.
2.3等差数列的单调性
当
d
>0时，数列{
a
n
}为递增数列；
当
d
<0时，数列{
a
n
}为递减数列；
当
d
＝0时，数列{
a
n
}为常数列．
3.等差数列求和（倒序相加法）
等差数列的前
n
项和：①
S< br>n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
d
②
S
n
na
1

2
2*
*
*
*
a
＋
b
2
.
说明：对于公式②整理后是关于
n
的没有常数项的二次函数。
4.等差数列求和性质
1

已知{
a
n
}为等差数列，
d
为公差，
S
n
为该数列的前
n
项和．
(1)
S
2
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
，…也成等差数列，公差为
nd
.
(2)


S
n


n


也成等差数列，其首项与 {
a
1
n
}首项相同，公差是{
a
n
}的公差的< br>2
.
(3)在等差数列{
a
n
}中，
①若项数为 偶数2
n
，则
S
S
奇
a
2
n
＝< br>n
(
a
1
＋
a
2
n
)＝
n
(
a
n
＋
a
n
＋1
)；
S
偶
－
S
奇
＝
nd
；
S
＝
n.
偶
a
n
＋1
②若项数为奇数2
n
－1，则
S
S
奇
n
2
n
－1
＝(2
n－1)
a
n
；
S
奇
－
S
偶
＝
a
n
；
S
＝
1
.
偶
n
－
(4)若数列{
a
，则
S
2
m
－1
n< br>}与{
b
n
}均为等差数列，且前
n
项和分别是
S< br>n
和
T
n
T
＝
a
m
.
2
m
－1
b
m
题型一 基本量运算
【例1】等差 数列{
a
n
}中，如果
a
1
＋
a
4
＋
a
7
＝39，
a
3
＋
a
6
＋
a
9
＝27，则数列{
a
n
}前9项的和为(
A．297 B．144 C．99 D．66

【例2】在数 列{an}中，a
1
=2，2a
n
+1=2a
n
+1，则a
101
的值为 （ ）
A．49 B．50 C．51 D．52

【例3】等差数列前10项的和为140，其中，项 数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

【例4】设Sn是等差数列

a
n

的前n项和，若
a
5

5
,则S
9
a

（ ）
3
9S
5
A．1 B．－1 C．2 D．
1
2

【例5】等差数列< br>{a
n
}
中，已知
a
1
1

3，
a
2
a
5
4
，
a
n
 33
，则n为（ ）
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51

2
)

题型二 数列求和与最值问题
【例1】已知等差数列的公差
d
＜0，前
n
项 和记为
S
n
，满足
S
20
＞0，
S
21< br>＜0，则当
n
＝________时，
S
n
达
到最大 值．




【例2】已知等差数列{a
n
}中 ，S
3
=21，S
6
=64，求数列｛|a
n
|｝的前n项 和T
n
．




S
3
1S
6
【例3】设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和．若＝，则＝________.
S
7
3
S
7


【例4】等差数列{a
n
}中，设
S
n
为其前
n
项和，且
a
1
>0，
S
3
＝
S
11
，则当
n
为多少时，
S
n
最大？



【例5】等差数列

a
n

中，已知
a
1a
2
a
3
La
10
p
，
a
n9
a
n8
La
n
q
，则其前
n
项和
S
n

？





3

【过关练习】
(1)已知：等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
6
＋a
15
＋a
17
＝50，求S
20
；





(2)已知：等差数列{a
n
}中，a
n
=33－3n，求S
n< br>的最大值．





课后练习
【补救练习】
S
3
1
S
6
1. 设
S< br>n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和．若＝，则＝__ ______.
S
7
3
S
7
2.在数列{
an
}中，
a
1
＝1，
a
2
＝2.数列{
b
n
}满足
b
n
＝
a
n
＋1
＋ (－1)
a
n
，
n
∈N.
(1)若数列{
an
}是等差数列，求数列{
b
n
}的前6项和
S
6；
(2)若数列{
b
n
}是公差为2的等差数列，求数列{
a
n
}的通项公式．





3.在等 差数列{a
n
}中，已知a
6
＋a
9
＋a
12＋a
15
＝34，求前20项之和．



n
*
4

【巩固练习】
1.在等差数列{
a
n
}中，已知
a
1
＝20，前
n
项和为
S
n
，且
S
10
＝
S
15
，求当
n
取何值时，
S
n
取得最大值，并求出它
的最大值．







【拔高练习】
1.已知数 列{
a
n
}的通项公式是
a
n
＝4
n
－2 5，求数列{|
a
n
|}的前
n
项和．








2.（探索）已知各项均为正数的数 列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，满足8< br>S
n
＝
a
n
＋4
a
n
＋3(
n
∈N)，且
a
1
，
a
2
，
a
7
依次
是等比数列{
b
n
}的前三项．
(1)求数列{
a
n
}及{
b
n
}的通项公式；
(2)是否存在常数
a
>0且
a
≠1，使得数列{
a
n
－log
a
b
n
}(
n
∈N)是常数列？若存 在，求出
a
的值；若不存在，
请说明理由．
*
2*
5